集合与常用逻辑推理

集合与常用逻辑用语，推理与证明，算法，复数，坐标系与参数方程知识点梳理

--集合的概念与运算

1.集合与元素

⑴集合中元素的三个特征：、、

(2)元素与集合的关系是或两种，用符号或表示.

⑶集合的表示法：列举法、描述法.

⑷常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN+（或WZQR

2.集合间的基本关系

关系自然语言符号语言Venn图

集合A中所有元素都在集合B中(即若ASB

子集(o

x£A,则xEB)（或B_A）

或

集合A是集合B的子集，且集合B中至A_

真子集（^）

少有一个元素不在集合A中（或B___A）

集合A,B中元素相同或集合A,B互为

集合相等A二B

子集

3.集合的运算

集合的并集集合的交集集合的补集

图形

符号AUB={}ANB=［_}CuA={____}

4.集合关系与运算的常用结论

(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为个，非空子集个数为个，真子

集有个，

（2）ASB=ANB=A=AUB=B.

［方法与技巧］

1.集合中的元素的三个特任，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检-验,

要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求

其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.

3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一

体现.

［失误与防范］

1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对

可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.

3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系：二是集合与集合的包含关系.

4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示

法时要特别注意端点是实心还是空心.

二.命题及其关系。充分条件与必要条件

1.四种命题及相互关系

2.四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们的真假性：

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

3.充分条件与必要条件

(1)如果p=g,则p是q的条件，同时q是p的条件；

(2)如果p=g，但.g*p，则p是q条件；

(3)如果p=g,且g=p,则p是q的条件：

(4)如果q=p,且pWg,则p是q的条件：

(5)如果p#q,且qp,则p是q的既不充分又不必要条件.

［方法与技巧］

1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定

义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命

题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.

2.充要条件的几种判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.

(2)等价法：即利用A=B与-B=-A;B=A与-A=-B;A=B与B=A的等价关系，对于条

件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.

(3)利用集合间的包含关系判断:设A={xp(x)},B={xlq(x)}:若AEB,则p是q的充分条

件或q是P的必要条件：若A真包含于B,则p是q的充分不必要条件，若人=口，则p是

q的充要条件.

［失误与防范］

1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.

2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p,

则q”的形式.

3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正编理解“p的•个充分而不必要条件

是q”等语言.

三简单的逻辑联结词.全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.

⑵常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.

2.全称命题与特称命题

⑴含有轨量词的命题叫全称命题.

⑵含有存在量词的命题叫特称命题.

3.命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题:特称命题的否定是全称命题.

(2)p或q的否定：非p且非q;p且q的否定：非p或非q.

4.简单的逻辑联结词

(1)命题中的“旦”、“或”、“韭”叫作逻辑联结词.

⑵简单复合命题的真值表：

P或q

PqP-QP且q

真真假假真真

真假假真真假

假真真假真假

假假真真假假

［方法与技巧］

1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的

含义理解.

2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注

意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”.

［失误与防范］

1P或q为真命题，只需P、q有一个为真即可；P且q为真命题，必须p、q同时为真.

2.两种形式命题的否定

P或q的否定：非P旦非q；p=q的否定，非p或非q.

3.命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若P,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定

其条件，又否定其结论；”命题的否定”即“非P”，只是否定命题p的结论.

四.归纳与类比

1.归纳推理

根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性.我们将

这种推理方式称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

归纳推理的基本模式：a、b、c£M且a、b、c具有某属性，

结论：任意d£M,d也具有某属性.

2.类比推理

由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上，根据一类对象的其他特征,推断另一

型象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理.简言之，类比推理是两

类事物特征之间的推理.

类比推理的基本模式；A:具有属性a,b,c,d;B：具有屈性a',b',C'；

结论：B具有属性d'.（a,b,c,d与a',b',c',d'相似或相同）

3.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定一正确.

4.演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.

［方眄技巧］

1.合情推理的过程概括为

从具体问题出发1一「ZU-

归纳、类比一提出猜想

2.演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理方法，

是由一般到特殊的推理.数学问题的证明上要通过演绛推理来进行.

法屿婕

1.合情推理是从已知的结派推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.

2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密

性，书写格