2027年高考数学一轮复习专题2.8 指数与指数函数（解析版）

专题2.8指数与指数函数（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1指数幂的运算】...........................................................................................................................................1

【题型2指数函数的图象及应用】...........................................................................................................................2

【题型3比较指数幂的大小】...................................................................................................................................5

【题型4解指数不等式】...........................................................................................................................................6

【题型5指数（型）函数的单调性问题】...............................................................................................................8

【题型6指数（型）函数的最值（值域）问题】.................................................................................................10

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

C组真题·实战演练

【题型1指数幂的运算】

．（四川乐山三模）已知，，则的值为（）

12026··3�−2�

�2

2lg2=�10=310

A．B．C．D．

648422

【答案】B9333

【解题思路】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可.

【解答过程】由可得，又因为，

�

2�

2lg2=�10=210=3

�3

3�

所以2，

3�−2�210

2108

��

故选：10B.=10=10=3

2．（2026·河南新乡·二模）（）

83+5

5

2=

A．16B．C．32D．

【答案】A82162

【解题思路】应用指数幂运算的性质化简求值.

【解答过程】由.

3+533+5

823−53+54

55

故选：A.2=2=2=2=16

3．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（）

43

5

�>0�⋅�

．．．．

A2B3C2D3

3255

【答案】A����

【解题思路】利用分数指数幂的运算法则化简.

【解答过程】1．

4354812

533×43

故选：A.�⋅�=�⋅�=�=�

4．（25-26高三上·河南许昌·期中）放射性物质的衰变规律为：�，其中指初始质量，为衰

1�

00

变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射�性=物�质的×半2衰期分别�为，（单位：�天），

12

若两种物�质的初始质量�相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（�）�

11

�2−�1=

A．B．C．D．

3113

10245121024512

【答案】A

【解答过程】由题意可得10241024，计算即可得解.

1�11�2

�0×2=8�0×2

【解题思路】由题意可得10241024，

1�11�2

�0×2=8�0×2

即，即.

10241024113

�1=�2−3�2−�1=1024

故选：A.

【题型2指数函数的图象及应用】

．（辽宁模拟预测）函数的部分图象大致为（）

52026··�

9−1

�2

��=3⋅�

A．B．

C．D．

【答案】D

【解题思路】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项.

【解答过程】由，可得的定义域为，

��−�

9−13−3

�22

��=3⋅�=���−∞,0∪0,+∞

且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除项；

−��B

3−3

2

�−�=(−�)=−����

，排除C项；

8

�1=3>0

当时，，排除A项.

故选�→：+D∞.��→+∞

6．（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）．

�=����

．．．．

A�B�C2D

e+1e−1��

��33

��=e−1��=e+1��=4��=4

【答案】D�−1�−1

【解题思路】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.

【解答过程】对于�0，=0在处无意义，故错误；

A�A

e+1

�

��=e−1�=0

对于：的定义域为，故错误；

B�B

e−1

�

��=e+1R

对于：的定义域为，

C2

�

34

且��=�−1�，|�则≠±1为偶函数，故错误；

22C

−��

3

344

�−�=−�−1=�−1=����

对于D，满足图中要求，故D正确.

�

34

��=�−1

故选：D.

．（高一上江苏无锡期中）函数的图象大致为（）

725-26··�−�

e−e

|�|

�=e

A．B．

C．D．

【答案】A

【解题思路】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据时可确定选项.

1

2�

�≥00≤1−e<1

【解答过程】设，则，

�−�−��−��

e−ee−ee−e

|�||−�||�|

eee

∴函数为奇�函�数=，选项B错�误−.�===−��

当�时�，，

�−�

e−e1

�−2�2�

由�≥0得，��=e，=1−e=1−e

2�0

�≥0e≥e=1

∴，∴，CD错误，选项A符合要求.

11

2�2�

0<e≤10≤1−e<1

故选：A.

8．（2026·陕西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）

����

A．B．

2

�−��

��=e−e��=1−e+1

C．D．

�

2

��=����=ln�+2

【答案】D

【解题思路】结合指数函数的图象与性质即可判断AB选项错误，对C代入判断C错误，则可得到D

正确.�=2

【解答过程】根据函数的图象，知，而对A选项排除A；

−1

对B选项�(，�)因为，�(则1)≈1，�1=e−e>2

22

���

��=1−e+1e+1>1e+1∈0,2

则，但图象中函数值可以大于1，排除B；

2

�

��=1−e+1∈−1,1

根据C选项的解析式，，而根据函数的图象，知，排除C.

故选：D.�(2)=22≈2.8�(�)�(2)≈1

【题型3比较指数幂的大小】

．（河南模拟预测）设1，则的大小关系为（）

92026··1

3

112−4

A．�=3,�=logB2．5,�=3�,�,�

C．�<�<�D．�<�<�

【答案】�A<�<��<�<�

【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小.

【解答过程】因为单调递减，所以11，

1

�340

11−411

因为单调�递=减3，所以�=3，<�=3=3<3=1

11211

�=log2��=log25>log22=1

则的大小关系为.

故选�,�：,�A.�<�<�

10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知，则（）.

0.12.73.5

A．�=0.7B5．,�=1.01,�=1.01

C．�>�>�D．�>�>�

【答案】�C>�>��>�>�

【解题思路】根据指数函数的单调性判断即可.

【解答过程】因为函数在上是增函数，函数在上是减函数，且，

��

所以�=1.01R，即�=0.75.R3.5>2.7

3.52.7000.1

故选：1.0C1.>1.01>1.01=1=0.75>0.75�>�>�

11．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，则（）

���

A．B．�>2C5．+12=13D．，但和的大小关系无法确定

【答案】B�>2>��>�>2�>�>2�>2��

【解题思路】利用指数函数的单调性证出且，得出结论即可.

【解答过程】由于，所以�>2�<�，因此，

���222

又因为�>213=5+12>5，+因1此2=13，即�>2，

��22

�−�512512

所以13=.13+13<13+13=1�−�<0�<�

故选：2B<.�<�

12．（2026·河南许昌·模拟预测）已知，，，则（）

log23.4log163.31log20.3

�=3�=9�=(3)

A．B．C．D．

【答案】D�>�>��>�>��>�>��>�>�

【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性结合指对数运算比较大小.

【解答过程】由题意知，，

110

log163.32log23.3log23.31log20.3−log20.3log23

�=9=3=3�=(3)=3=3

又函数在上单调递增，而3.4，即，

1010

�=log2�(0,+∞)>3>3.3log23.4>log23>log23.3

又在上单调递增，所以，即

10.

�log23.4log23log23.3

故选�=:D3.R3>3>3�>�>�

【题型4解指数不等式】

13．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，则（）

3�1

�=��<1�=�2>2

A．B．

C．�∩�=��<−1D．�∩�=�−1<�<1

【答案】�B∪�=��<−1�∪�=��<1

【解题思路】根据幂函数、指数函数单调性解出不等式，再利用集合交并集定义即可得到答案.

【解答过程】因为集合，集合，

3�1

�=��<1=��<1�=�2>2=��>−1

所以，.

故选：�∩B.�=�−1<�<1�∪�=�

14．（2026·河北邯郸·一模）已知集合，若全集，则

−�

�=�2<1, �=�log�2>0�=��∩∁��=

（）

A．B．C．D．

【答案】D−∞, 11, +∞−1, 10, 1

【解题思路】解出指数不等式与对数不等式后利用交集与补集定义计算即可得解.

【解答过程】由，可得，

−�

由，可2得<1，�>0

则log�2>0�>1，则，

则�=��>0, �=.��>1∁��=−∞, 1

故选�：∩D∁.��=0, 1

15．（25-26高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解

�−�2

集是（）��=2−2+3��−2�+�2�−9>6

A．B．

C．−3,0∪3,+∞D．−∞,−3∪3,+∞

【答案】B−∞,−3∪0,3−3,0∪0,3

【解题思路】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，将不等式转化

�−�

为��=��−3，=得2到−2��，结合R的单调性，即可求解.

22

【解�答�过−程2】�设−函3数+�2�−9−3>0�，�可−得2�其定>义�域−2为�+，9关于原点�对�称，

�−�

且��=��−3=2−2，即，R所以为奇函数，

−���−�

因为�−�=是2−上2的增=−函(数2，−2)=−是��上的减�函−数�，=−����

�−�

所以�=2R是上的�增=函2数，R

�−�

由��=2−2R等价于，

22

即��−2�+�2�−9>6，��−2�−3+�2�−9−3>0

2

又因�为�−2�是+奇�函2数�，−可9得>0，

2

可得��，即��−，2�解>得−�2�或−9=�.−2�+9

22

所以不�等−式2�的>解−集2�为+9�>9�.>3�<−3

故选：B.(−∞,−3)∪(3,+∞)

16．（2026·广东肇庆·一模）已知，若成立，则x的取值范围是（）

�−�

A．B．�(�)=e−eC．��+1+��−D1．>0

【答案】A0,+∞1,+∞−1,+∞−∞,0∪0,+∞

【解题思路】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式.

【解答过程】函数的定义域为R，，则函数是奇函数，

�−�−��

而函数�(�)=在eR−上e都单调递增，则函�数(−�)在=Re上−单e调递=−增�，(�)�(�)

�−�

不等式�=e,�=−e，则�(�)，解得，

所以x的�(取�+值1范)>围−是�(�−1)=.�(−�+1)�+1>−�+1�>0

故选：A.0,+∞

【题型5指数（型）函数的单调性问题】

17．（2026·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（）

|�−�|

A．B．��C=．51,+∞D．

【答案】D1,+∞1,+∞−∞,1−∞,1

【解题思路】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出的范围.

【解答过程】函数在上单调递增，而函数是R�上的增函数，

|�−�|�

则函数�=5(1,+∞在)上单调递增，�于=是5，

�−�,�≥�

�=|�−�|=(1,+∞)�≤1

所以a的取值范围为−�+�．,�<�

故选：D.−∞,1

18．（2026·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（）

2

2�−2�

A．B．ln�−Cln．�=1�(�)=D�．

【答案】D−∞,0−∞,10,+∞1,+∞

【解题思路】根据给定条件求出，再利用复合函数单调性求出递增区间.

【解答过程】由，�得，解得，函数定义域为R，

2

2�−2�

函数ln在�−ln�=上1单调递ln减�，=在1�=上e单调递增�(，�)=e

2

而函数�=�−在2�R上(−单∞调,1递]增，所以函数[1,的+单∞调)递增区间为.

�

故选：D�.=e�(�)[1,+∞)

19．（2026·山东济宁·二模）若函数2在上单调递减，则实数的取值范围是（）

1�−��

A．B．��=2C．1,+∞D．�

【答案】A�≤2�≥2�≤1�≥1

【解题思路】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函

2

1�−��1�2

�(�)=(2)�=(2)�=�−��

数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围.

�

【解答过程】是由与复合而成，

2

1�−��1�2

�(�)=(2)�=(2)�=�−��

在中，，，所以在上单调递减.

1�11�

�=(2)�=2�=(2)R

因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减，

2

1�−��1�

�(�)=(2)1,+∞�=(2)R

根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增.

2

对于二次函数，其图象开口向上，对�称=轴�为−��1,+∞.

2−��

二次函数在对称�=轴�右侧−单��调递增，要使在�=−2上×1单=调2递增，

2

则对称轴需满足，解得.�=�−��1,+∞

�

2≤1�≤2

故选：A.

．（浙江绍兴二模）已知函数，则（）

202026··�

e

2�

��=1+�e

A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增

B．当�=1时，��是奇函数，且在区间0,1上单调递减

C．当�=1时，��是偶函数，且在区间0,1上单调递减

D．当�=−1时，��是奇函数，且在区间0,1上单调递增

【答案】D�=−1��0,1

【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的取值，对函数进行分析，即可判断和选择.

【解答过程】对：当时，，其定义域为，�，故为偶

AB�−��

eee

2�−2�2�

函数；�=1��=1+e��−�=1+e=1+e=�(�)�(�)

又，当时，令，

�

e1

2��−��

��=1+e=e+e�∈(0,1)�=e∈(1,e)

因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增，

1��−�

�=�+��∈(1,e)�=e�∈(0,1)�=e+e(0,1)

故在单调递减，故AB都错误；

1

�−�

��=e+e(0,1)

对：当时，，其定义域为，，故为奇函数；

CD�−��

eee

2�−2�2�

�=−1��=1−e��−�=1−e=e−1=−�(�)�(�)

又，当时，均为减函数，故为上的减函数，

�

e1

2�−��−��−��

��=1−e=e−e�∈(0,1)�=e,�=−e�=e−e(0,1)

故为上的增函数，故C错误，D正确.

1

−��

��=e−e(0,1)

故选：D.

【题型6指数（型）函数的最值（值域）问题】

21．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）函数在区间上的最小值为（）

�

A．2B．3C�．�4=2+1D0,．15

【答案】A

【解题思路】分析可知函数在区间上单调递增，结合单调性求最值.

�

【解答过程】因为在区�间�=2上+单1调递增，0则,1函数在区间上单调递增，

��

所以函数�=2在区间0,1上的最小值为��=2+.10,1

�0

故选：A.��=2+10,1�0=2+1=2

22．（2026·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（）

�

2−1,�<−2

��=2

A．B．C�．−1,�≥−2D．

33

−1,+∞−1,−4�−1,−4

【答案】A

【解题思路】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域.

【解答过程】当�时�，−∞,−2，−因2,为+函∞数在上单调递增，��

��

所以�<−2，此时��=2−1�=；2−∞,−2

�−21�3

当0<2时，<因2为=函4数��=2在−1∈−上1为,−减4函数，在上为增函数，

2

故�≥−2，即��=�−1在−1,0上的值域为0,+∞.

2

综上��所述≥，�函0数=−1的值�域�为=�−1.−2,+∞−1,+∞

故选：A.��−1,+∞

23．（2026高三·全国·专题练习）若函数且在上的值域为，则的值为

��

（）��=��>0�≠1−1,23,9�

A．或B．0或C．或D．或

【答案】A−4−1−2−2−1−4−2

【解题思路】分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解．

【解答过程】∵函0数<�<1在�>1上的值域为，

��

当时，�=�在−1,2上单调递减，则3,9，解得，

�−11

0<�<1�=�−1,2�=9�=9

则，得，

�21

当3=�时，=81在�=−4上单调递增，则，解得或（舍去），

�2

�>1�=�−1,2�=9�=3−3

则，得，

�−11

综上3，=�=3或�．=−1

故选：A�．=−4−1

24．（25-26高三上·北京·阶段检测）若函数有最小值，则t的取值范围是（）

��

A．B．�C�．=�⋅4+2�−1⋅D2．

1111

0,20,22,+∞2,+∞

【答案】A

【解题思路】设，将转化为关于的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可.

�

【解答过程】设�=2，则��，��，有最小值.

�2

当时，二次�函=数2�开>口0向下�，�无=最�小�值；=�⋅�+2�−1⋅��>0

当�<0时，��无最小值；

�=0��=−�

当时，若在上有最小值，则对称轴，解得.

2�−11

�>0��0,+∞−2�>00<�<2

故选：A.

一、单选题

1．（2026·广西·三模）已知集合，，则（）

�

A．�={�|2<�B<．5}�={�|2≤8}�∪�=

C．{�|2<�≤3}D．{�|�<5}

【答案】{B�|3≤�<5}{�|�≤3}

【解题思路】先求出集合，再根据并集的定义求解即可.

【解答过程】由�，解得，所以，

�3

因为2≤8=，2所以�≤3�.={�|�≤3}

故选：�=B．{�|2<�<5}�∪�={�|�<5}

2．（25-26高三上·北京·开学考试）设，则（）

0.4

A．B．�=logC30．.4,�=log43,�=3D．

【答案】A�<�<��<�<��<�<��<�<�

【解题思路】借助指数函数与对数函数的单调性可得、、范围，即可得解.

【解答过程】由，���，即，

�=，l故og30.4<log.31=0log41<�=log43<log440<�<1

0.40

�故=选3：A>.3=1�<�<�

3．（2026·湖南·模拟预测）“”是“”的（）

��22

A．充分不必要条件2026>2026≥B．1必要�不>充�分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】化简可得，然后根据与的推出关系判断即可.

��22

【解答过程】由2026>2026≥及1指数函�>数�的≥单0调性可得�>�≥，0此时�>�成立，

��22

反之不成立，例2如026>2026≥1，显然�不>成�立≥，0�>�

��

所以“�=−2”,是�=“−1”的充20分26不必>要20条26件≥，1

��22

故选：20A2．6>2026≥1�>�

4．（2026·山东聊城·模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（）

�

A．B．�⋅2=�⋅Clo．g2�=1D．

【答案】B�<�<��<�=��=�<�