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文档简介

专题2.6幂函数与二次函数(举一反三专项训练)

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1比较幂值的大小】.......................................................................................................................................1

【题型2幂函数图象的判断及应用】.......................................................................................................................3

【题型3幂函数的图象和性质】...............................................................................................................................5

【题型4求二次函数的解析式】...............................................................................................................................7

【题型5二次函数的图象】.......................................................................................................................................9

【题型6二次函数的单调性与最值】.....................................................................................................................12

【题型7二次函数的恒成立问题】.........................................................................................................................14

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

C组真题·实战演练

【题型1比较幂值的大小】

1.(2026·辽宁·二模)已知,则()

0.30.30.6

A.B.�=2,�=0.2C,�.=0.2D.

【答案】D�>�>��>�>��>�>��>�>�

【解题思路】由幂函数与指数函数的单调性比较指数幂的大小即可.

【解答过程】对于,由于在单调递增,所以,

0.30.30.3

对于,由于�,�单调递�=减�,故0,+∞.2>0.2

�0.30.6

所以�,�.�=0.20.2>0.2

故选:�>D.�>�

.(天津北辰三模)设1,则的大小关系为()

22026··π1

2

2sin6−4

�=3,�=2,�=3�,�,�

A.B.

C.�<�<�D.�<�<�

【答案】�D<�<��<�<�

【解题思路】首先根据指数函数性质得到最大,再利用幂函数的单调性比较出大小关系即可

1.

2

��=��,�

【解答过程】因为1,则,,

π1

20

22sin62

0<3<30<�<1�=2=2=2>1

,即,

1

−40

0<3<30<�<1

1,

112

−4−2

�=3=3

接下来比较和的大小关系,因为,而,

1122

−22−21241

333=33=9>3

则,根据幂函数在,上单调递增得11,

111

22

−2222−2

即3<.3�=�0+∞3>3

故�>�.

故选�<:�D<.�

3.(2026·陕西榆林·一模)已知,,且,则下列不等式恒成立的是()

��∈R�<�

A.B.C.D.

��

111133

【答案】C�>�2<2�<�ln�−�>0

【解题思路】取特殊值判断AD,根据与的单调性判断BC.

�

13

�=2�=�

【解答过程】解:对于A,取,满足,但不满足,故错误;

11

�=−1,�=1�<��>�

对于B,由于指数函数在上单调递减,所以当时,,故错误;

1�1�1�

对于C,由于函数�在=2单调R递增,当时,�<,�故正确2;>2

333

对于D,取�=�,满R足,此时�<��<�,故错误.

故选:C.�=1,�=2�<�ln�−�=ln1=0

4.(2026高三·全国·专题练习)已知,则()

2���

A.�⋅3=B�.⋅3=�⋅2=1

C.�<�<�D.�<�<�

【答案】�D<�<��<�<�

【解题思路】将等式变形,作出函数图像,利用数形结合的思想判定交点即可.

11

2��

�=�,�=�,�=3,�=2

【解答过程】由得,

111

2���2���

�⋅3=�⋅3=�⋅2=1�=3,�=3,�=2

画出的图像如下图所示,

11

2��

�=�,�=�,�=3,�=2

则是与图像交点的横坐标,是与图像交点的横坐标,

11

2��

��=��=3��=��=3

是与图像交点的横坐标,由图可知.

1

�

��=��=2�<�<�

故选:D.

【题型2幂函数图象的判断及应用】

5.(25-26高一上·辽宁·期末)如图,①②③④对应四个幂函数的图象,则①对应的幂函数可以是()

..

A1B2

−23

�=��=�

..

C3D3

42

【答案】�C=��=�

【解题思路】根据①对应的函数图象特点分析.

【解答过程】由图可知,①对应的幂函数:函数的定义域为,在第一象限内单调递增,

且图象呈现上凸趋势,则指数的值满足,排除选0项,+A∞D;

�0<�<1

又的定义域为R,的定义域为,

2334

3243

�=�=��=�=�0,+∞

故符合题意

3.

4

�=�

故选:C.

6.(2026高一上·全国·专题练习)若幂函数的大致图象如图所示,则()

2�

�=3�−4�+2��=

A.B.C.D.

11

3221

【答案】A

【解题思路】根据幂函数的定义,得到,求得或,再根据幂函数的性质,即

21

可求得实数的值;3�−4�+2=1�=3�=1

【解答过程】�根据幂函数定义可知,,解得或,

21

3�−4�+2=1�=3�=1

当时,,当时,,

1

13

�=3�=��=1�=�

由图可知不合题意,所以.

1

�=1�=3

故选:A.

.(高一上全国课前预习)如图,函数在上的图象对应的

725-26··1

33−2

编号依次为()��=�,��=�,��=�0,+∞

A.②①③B.②③①C.①③②D.①②③

【答案】B

【解题思路】根据幂函数的单调性判断即可.

�

【解答过程】根据幂函数�=��∈R的单调性,

�

当时,在上�=单调�递�增∈,R

且�>0时,在0,+∞上的图象增长速度越来越快,

�>时1,在0,+∞上的图象匀速增长,

�=10,+∞

时,在上的图象的图象增长速度越来越慢,

0当<�<时1,在0,+∞上单调递减,

因为�<00,+∞,所以②为的图象,③为的图象,①为的图象.

1

133−2

故选:3B>.1>3>0>−2��=���=���=�

8.(2026高三·全国·专题练习)若幂函数与在第一象限内的图象如图所示,则与

−1��

的取值情况为()�=�,�=��=���

A.B.

1

−1<�<0<�<1−1<�<0<�<2

C.D.

1

−1<�<0<�<2−1<�<0<�<1

【答案】D

【解题思路】根据幂函数的图像性质,逐项分析判断即可求解.

【解答过程】当时,幂函数在上单调递增,且时,图象上凸,.

�

当时,幂�函>数0在�=�上单(调0,递+减∞.)不妨令,由0图<象�得<1,则∴0<�.<1

�−1�

综上�<可0知,�=�(0,+.∞)�=22<2−1<�<0

故选:D.−1<�<0<�<1

【题型3幂函数的图象和性质】

9.(2026·湖南·一模)已知幂函数在上单调递增,则m的值为()

2�+2

A.1B.-3��=�C+.2-4�−2�0,+D∞.1或-3

【答案】A

【解题思路】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解.

�或

【解答过程】由题意可得.

2

�+2�−2=1�=−3�=1

故选:⇒⇒�=1

A.�+2>0�>−2

10.(25-26高三上·四川成都·期中)幂函数在上单调递减,则()

2�−1

A.或B.�C�.=�−�−1�D.0,+或∞�=

【答案】B2−1−12−2−1

【解题思路】根据幂函数的定义以及单调性列出关于的方程与不等式,则结果可求.

【解答过程】由题意可知,解得�,

2

�−�−1=1�=−1

故选:B.�−1<0

11.(2026·四川绵阳·模拟预测)关于函数,下列说法错误的是()

−2

A.函数的定义域为��=�

B.函数的值域为−∞,0∪0,+∞

C.函数在上0,单+调∞递减,在上单调递增

D.函数是偶−函∞,数00,+∞

【答案】C

【解题思路】整理可得,结合二次函数分析定义域、值域以及单调性,即可判断ABC;再根据偶函

1

2

��=�

数的定义判断D.

【解答过程】因为函数,

1

−22

��=�=�

对于选项A:令,解得,

2

所以函数的定�义≠域0为�≠0,故A正确;

�−∞,00,+∞

对于选项�B:因为,则∪,可得,

1

22

�≠0�>0��=�>0

所以函数的值域为,故B正确;

对于选项�C:�因为0在,+∞上单调递减,在上单调递增,

2

所以函数在上�=�单−调∞递,0减,在上单0调,+递∞增,故C错误;

对于选项�D�:因为函0,数+∞的定义域为−∞,0,关于原点对称,

且��,可知函数−∞,为0偶∪函0数,+,∞故D正确;

11

22

�−�=−�=�=����

故选:C.

12.(2026·湖北·模拟预测)已知幂函数,则下列结论正确的是()

��−2

A.为奇函数�(�)B=.2+在�其�定义域上单调递减

C.�(�)D.�(�)

�(�+1)>�(2)�(�−1)<�(−2)

【答案】C

【解题思路】由幂函数的定义求出,由函数奇偶性得到A错误,求出定义域,求导得到函数的单调性,

从而判断BCD.�=0

【解答过程】因为是幂函数,根据幂函数的定义可知,

��−2�

当时,�(�)=,(2等式+�成)立�,2+�=1

0

因为�=02在+0R=上1单调递增,故为唯一解.

�

�=2+��=0

此时,其定义域为.

1

−22

�(�)=�=�(−∞,0)∪(0,+∞)

A选项,,所以是偶函数,A选项错误.

11

22

�(−�)=(−�)=�=�(�)�(�)

B选项,对求导,可得.

12

2′3

当时,�(�)=�,当时�(,�)=−�,

′′

�>在0�上�单<调0递增�,<在0��上>单0调递减,

�所(�以)(−在∞其,0定)义域上不单调递(减0,的+,∞B)错误;

�(�)

C选项,,在上单调递减.

1

2

�+1=1�(�)=�(0,+∞)

因为,所以,即,C选项正确.

D选项1<,2�(1),>�(2)在�(�+上1)单>调�递(2增),,

所以�−1=−1,即�(�)(−∞,0),D错误−.2<−1

故选:�−C.2<�−1�(�−1)>�(−2)

【题型4求二次函数的解析式】

13.(25-26高三上·山东·开学考试)二次函数过点,且对任意实数都有

2

,则()��−1,0�4�−12≤��≤2�−

8�+A6.��=B.C.D.

222

【答案】C�+2�+1�−4�−5�−2�−36�+6

【解题思路】注意到时,,则过点,且在处的切线为,

2

结合导数的几何意义�计=算3即可4得�−12,=再2检�验−即8�可+得6解.��3,03,0�=4�−12

【解答过程】当时,��、,

2

故有�=,3则4�过−点12=1,2且−在12=0处的2�切−线8为�+6=18−2,4+6=0

则可设0二≤次�函3数≤0��3,03,0�=4,�−12

2

��=��+1�−3=��−2��−3�(�≠0)

,有,故,

′′

�则�=2��−2�,�3=6�−2�=4�=4�=1

2

此时��=�−2�−3,

22

��−4�+12=�−6�+9=�−3≥0,符合要求.

222

�故�选:−C2�.+8�−6=−�+6�−9=−�−3≤0

14.(25-26高一上·广东江门·期中)已知二次函数满足,且,则的

解析式是()����+1=��+2��1=2��

A.B.

22

C.�(�)=�−�+2D.�(�)=�+�+2

22

【答案】�A(�)=�−�+1�(�)=�+�+1

【解题思路】设二次函数,利用待定系数法解得即可.

2

【解答过程】设��=��+��+,�则�≠0,

22

由��=�,�得+��+��≠0��+1=��+1+��,+1+�

22

化简��得+1=��+2���+1,+��+1+�=��+��+�+2�

2�+��+,�解+得�=�+2�,

2�+�=�+2�=1

∴

由�+�,=得0,�=−1

故�1=2�=2.

2

故选��:A=.�−�+2

15.(2026高一上·全国·专题练习)已知二次函数满足条件,且.则

___________.���0=1��+1−��=2�

【�答�案=】

2

【解题思路�】−先�写+1出二次函数的一般形式,再代入求出常数项,并利用构造方

程组求出各项系数,从而求出的解析式.�0=1��+1−��=2�

【解答过程】是二次函数�,�设,

2

,∵����=��+��+��≠0

∵�0=,1

∴又�=1,

∵��+1−��=2�,

22

∴即��+1+��+,1+1−��+��+1=2�

2��+�+�=2�

,解得,

2�=2�=1

∴

�+�=0.�=−1

2

∴故答�案�为=:�−�+1.

2

16.(25-26�高−一�上+·1广东惠州·阶段检测)已知二次函数满足,则函数的

2

解析式为___________.����+2+��=2�−2��

【答案】

2

【解题思路��】设=�−2�−1,待定系数法求解.

2

【解答过程】设��=��+��+��≠0,

2

因为��=��+��+��≠0

22

��+2+��=�(�+2)+��+2+�,+��+��+�

22

=2��+4�+2��+4�+2�+2�=2�−2

所以,解得,

2�=2�=1

4�+2�=0�=−2

所以4�+2�+2�=−2.�=−1

2

故答案��为:=�−2�−1.

2

��=�−2�−1

【题型5二次函数的图象】

17.(25-26高一上·湖南株洲·阶段检测)不等式的解集为,则函数

212

的图象大致为()��+��+�>0�−1<�<2�=��+

��−�

A.B.

C.D.

【答案】B

【解题思路】根据不等式的解集得到,为的两个根,由韦达定理得到

121

�<0−1,2��+��+�=0�=2�<

,从而根据二次函数的对称轴,开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案.

1

0,�=−2�>0�

【解答过程】由题意得,为的两个根,

12

�<0−1,2��+��+�=0

故,即,

1�1�11

−1+2=−�,−1×2=��=2�<0,�=−2�>0

开口向下,AC选项错误,

2

�=��+��−�

对称轴为1,D选项错误.

�−2�1

所以B选�项=正−确2�.=−�=2>0

故选:B.

18.(25-26高一上·北京·阶段检测)二次函数的图象如图所示,对称轴是直线.下列

2

结论:①;②;③�=��.其+中��结+论�正确的为()�=1

22

���<03�+�>0�+�−�<0

A.②B.①②C.①③D.②③

【答案】D

【解题思路】由二次函数图象开口、对称轴、特殊点及与坐标轴的交点个数,即可判断.

【解答过程】由图象得:图象的开口向上,所以,

图象的对称轴在轴的右侧,所以,�>0

又图象与轴的交�点在负半轴,所以�<0,

所以�,故①错误;�<0

从图象��观�>察0得,当时,,所以,

又,所以�=−1,代入�>得0�−�+�>,0

�

所以−2�=1成�立=,−故2�②正确;�−−2�+�>0

当3�+时�,>0,所以,即,

又�=1,所�以<0�+�+�,<故0③正�确+;�<−�

22

综上�+得�>结�论正确的�是+�②③−,�<0

故选:D.

19.(25-26高一上·湖南常德·期中)已知二次函数(为常数,且)的部分图像

2

如图所示,则()�=��+��+� �,�,��≠0

A.B.

���<0�+�>0

C.D.不等式的解集为

21

�+�+�>0��−��+�>0� −2<�<1

【答案】D

【解题思路】根据函数的图像,结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系,再利用的符号

及相互关系逐一分析判断各选项.�,�,��,�,�

【解答过程】由函数图像可知二次函数开口向上,对称轴为正值,函数的两个零点为和2,

−1

��>0,

−2�>0�>0

�

∴⇒�=−�<0

�1+�2=−�=1

��=−2�<0

12�

选项A�:�==−2,,又,,故A错误;

选项B:∵�<0,�,<0∴��>0∵�,>故0B错∴误��;�>0

选项C:∵�=−�∴�+�=�−,�=0,故C错误;

选项D:∵�=−�,�=−2�,�>0,∴�+�+�=�−�−2�=−2�<0

∵�=−�,�=−2�,�>0,

222

∴��−,��+原�不=等−式2等��价+于��−�=�−2�+�+1>0,解得,

21

∵�>0∴2�−�−1=�−12�+1<0−2<�<1

不等式的解集为,故D正确.

1

∴� −2<�<1

故选:D.

20.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)如图,已知二次函数的图象顶点在第

2

一象限,且经过、两个点.则下列说法正确的个数是:�①=��+�;�+②��≠0;③;

④�−.1(,0)�0,1���>0�<−10<�<1

0<�+�+�<2

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.

【解答过程】①由图象可知二次函数图象开口向下,则,

图象与轴交点为,所以,�<0

顶点在第�一象限,�对0称, 1轴�=1>,0又,所以,

�

所以,故①错误;�=−2�>0�<0�>0

②因为��图�<象0经过、两个点,所以,解得,

�−�+�=0

�−1, 0�0, 1�=�+1

因为,,所以,故②错误;�=1

③由�<0�>,0得−1<�<0,即,故③正确;

④因为−1图<象�顶<点0在第一0象<限�+,1且<经1过0<�,<1

由二次函数的对称性可知与轴另一个�交−点1,的 0横坐标在上,

所以当时,�,1,+∞

又�=1,�+�+�,>0,所以,即,故④正确.

故选−1:<B�.<00<�<1�=1�+�+�<20<�+�+�<2

【题型6二次函数的单调性与最值】

21.(25-26高一上·河北衡水·阶段检测)已知函数在上不具有单调性,则实数的

2

取值范围是()��=�−��−83,4�

A.B.C.D.

【答案】A6,8−∞,6∪8,+∞8,+∞−∞,6

【解题思路】二次函数在给定区间内不具有单调性,只需对称轴在给定区间内,列不等式求解即可.

【解答过程】函数的对称轴为.

2�

��=�−��−8�=2

因为函数在上不具有单调性,所以,解得.

�

��3,43<2<46<�<8

故选:A.

22.(25-26高一上·全国·期末)已知二次函数的最大值为,则()

2

A.B�.�=��+��+��4

C.�5>�2>�8D.�8>�5>�2

【答案】�A8>�2>�5�2>�8>�5

【解题思路】根据二次函数的对称性和单调性即可得到答案.

【解答过程】因为二次函数的最大值为,

2

所以,且��=�的�图+象��关+于�直线对�称4,

2

所以�<0�,�且=��在+��+�上是减函数,�=4

故�2=�6��4.,+∞

故选�5:A>.�6=�2>�8

23.(25-26高一上·天津武清·阶段检测)已知函数在上单调递减,则的取值

2

范围为()��=2�−��+5−∞,2�

A.B.C.D.

【答案】A8,+∞4,+∞−∞,4−∞,8

【解题思路】根据的图象列不等式即可求解.

2

【解答过程】函数��=2�−��+5的图象开口向上,对称轴为,

2�

所以若函数��=2�−��在+5上单调递减,�=4

2

则,解�得�=2�,−��+5−∞,2

�

4≥2�≥8

所以的取值范围为.

故选:�A.8,+∞

24.(25-26高三上·北京丰台·期中)当时,函数在时取

2

得最大值,则的取值范围是()�∈[0,2]�(�)=��+4(�−1)�−3(�>0),�=2

A.�B.C.D.

112

[3,+∞)[2,+∞)[3,+∞)[1,+∞)

【答案】C

【解题思路】根据二次函数的性质即可求解.

【解答过程】当时,此时为开口向上的二次函数,其对称轴为.

2

�>0�(�)�=�−2

由题意知:,解得.

2

2�>02�>0�>0

⇒⇒�≥3

故选:C.�−2−2≥�−2−01−2�≥1−��(3�−2)≥0

【题型7二次函数的恒成立问题】

25.(25-26高二上·甘肃陇南·期末)已知函数,且不等式对任

22

意恒成立,则实数a的取值范围为(��)=��−3��+�−3�<0��<4

�A∈.−3,3B.C.D.

7

(−7,7)−4,0(−7,0)(−4,0)

【答案】D

【解题思路】由题意得到对任意恒成立,根据开口方向和对称轴,得到

22

,求出答案.��−3��+�−7<0�∈

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