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文档简介
专题2.6幂函数与二次函数(举一反三专项训练)
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1比较幂值的大小】.......................................................................................................................................1
【题型2幂函数图象的判断及应用】.......................................................................................................................3
【题型3幂函数的图象和性质】...............................................................................................................................5
【题型4求二次函数的解析式】...............................................................................................................................7
【题型5二次函数的图象】.......................................................................................................................................9
【题型6二次函数的单调性与最值】.....................................................................................................................12
【题型7二次函数的恒成立问题】.........................................................................................................................14
第二部分分层突破
A组基础跟踪练
B组培优提升练
C组真题·实战演练
【题型1比较幂值的大小】
1.(2026·辽宁·二模)已知,则()
0.30.30.6
A.B.�=2,�=0.2C,�.=0.2D.
【答案】D�>�>��>�>��>�>��>�>�
【解题思路】由幂函数与指数函数的单调性比较指数幂的大小即可.
【解答过程】对于,由于在单调递增,所以,
0.30.30.3
对于,由于�,�单调递�=减�,故0,+∞.2>0.2
�0.30.6
所以�,�.�=0.20.2>0.2
故选:�>D.�>�
.(天津北辰三模)设1,则的大小关系为()
22026··π1
2
2sin6−4
�=3,�=2,�=3�,�,�
A.B.
C.�<�<�D.�<�<�
【答案】�D<�<��<�<�
【解题思路】首先根据指数函数性质得到最大,再利用幂函数的单调性比较出大小关系即可
1.
2
��=��,�
【解答过程】因为1,则,,
π1
20
22sin62
0<3<30<�<1�=2=2=2>1
,即,
1
−40
0<3<30<�<1
1,
112
−4−2
�=3=3
接下来比较和的大小关系,因为,而,
1122
−22−21241
333=33=9>3
则,根据幂函数在,上单调递增得11,
111
22
−2222−2
即3<.3�=�0+∞3>3
故�>�.
故选�<:�D<.�
3.(2026·陕西榆林·一模)已知,,且,则下列不等式恒成立的是()
��∈R�<�
A.B.C.D.
��
111133
【答案】C�>�2<2�<�ln�−�>0
【解题思路】取特殊值判断AD,根据与的单调性判断BC.
�
13
�=2�=�
【解答过程】解:对于A,取,满足,但不满足,故错误;
11
�=−1,�=1�<��>�
对于B,由于指数函数在上单调递减,所以当时,,故错误;
1�1�1�
对于C,由于函数�在=2单调R递增,当时,�<,�故正确2;>2
333
对于D,取�=�,满R足,此时�<��<�,故错误.
故选:C.�=1,�=2�<�ln�−�=ln1=0
4.(2026高三·全国·专题练习)已知,则()
2���
A.�⋅3=B�.⋅3=�⋅2=1
C.�<�<�D.�<�<�
【答案】�D<�<��<�<�
【解题思路】将等式变形,作出函数图像,利用数形结合的思想判定交点即可.
11
2��
�=�,�=�,�=3,�=2
【解答过程】由得,
111
2���2���
�⋅3=�⋅3=�⋅2=1�=3,�=3,�=2
画出的图像如下图所示,
11
2��
�=�,�=�,�=3,�=2
则是与图像交点的横坐标,是与图像交点的横坐标,
11
2��
��=��=3��=��=3
是与图像交点的横坐标,由图可知.
1
�
��=��=2�<�<�
故选:D.
【题型2幂函数图象的判断及应用】
5.(25-26高一上·辽宁·期末)如图,①②③④对应四个幂函数的图象,则①对应的幂函数可以是()
..
A1B2
−23
�=��=�
..
C3D3
42
【答案】�C=��=�
【解题思路】根据①对应的函数图象特点分析.
【解答过程】由图可知,①对应的幂函数:函数的定义域为,在第一象限内单调递增,
且图象呈现上凸趋势,则指数的值满足,排除选0项,+A∞D;
�0<�<1
又的定义域为R,的定义域为,
2334
3243
�=�=��=�=�0,+∞
故符合题意
3.
4
�=�
故选:C.
6.(2026高一上·全国·专题练习)若幂函数的大致图象如图所示,则()
2�
�=3�−4�+2��=
A.B.C.D.
11
3221
【答案】A
【解题思路】根据幂函数的定义,得到,求得或,再根据幂函数的性质,即
21
可求得实数的值;3�−4�+2=1�=3�=1
【解答过程】�根据幂函数定义可知,,解得或,
21
3�−4�+2=1�=3�=1
当时,,当时,,
1
13
�=3�=��=1�=�
由图可知不合题意,所以.
1
�=1�=3
故选:A.
.(高一上全国课前预习)如图,函数在上的图象对应的
725-26··1
33−2
编号依次为()��=�,��=�,��=�0,+∞
A.②①③B.②③①C.①③②D.①②③
【答案】B
【解题思路】根据幂函数的单调性判断即可.
�
【解答过程】根据幂函数�=��∈R的单调性,
�
当时,在上�=单调�递�增∈,R
且�>0时,在0,+∞上的图象增长速度越来越快,
�>时1,在0,+∞上的图象匀速增长,
�=10,+∞
时,在上的图象的图象增长速度越来越慢,
0当<�<时1,在0,+∞上单调递减,
因为�<00,+∞,所以②为的图象,③为的图象,①为的图象.
1
133−2
故选:3B>.1>3>0>−2��=���=���=�
8.(2026高三·全国·专题练习)若幂函数与在第一象限内的图象如图所示,则与
−1��
的取值情况为()�=�,�=��=���
A.B.
1
−1<�<0<�<1−1<�<0<�<2
C.D.
1
−1<�<0<�<2−1<�<0<�<1
【答案】D
【解题思路】根据幂函数的图像性质,逐项分析判断即可求解.
【解答过程】当时,幂函数在上单调递增,且时,图象上凸,.
�
当时,幂�函>数0在�=�上单(调0,递+减∞.)不妨令,由0图<象�得<1,则∴0<�.<1
�−1�
综上�<可0知,�=�(0,+.∞)�=22<2−1<�<0
故选:D.−1<�<0<�<1
【题型3幂函数的图象和性质】
9.(2026·湖南·一模)已知幂函数在上单调递增,则m的值为()
2�+2
A.1B.-3��=�C+.2-4�−2�0,+D∞.1或-3
【答案】A
【解题思路】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解.
�或
【解答过程】由题意可得.
2
�+2�−2=1�=−3�=1
故选:⇒⇒�=1
A.�+2>0�>−2
10.(25-26高三上·四川成都·期中)幂函数在上单调递减,则()
2�−1
A.或B.�C�.=�−�−1�D.0,+或∞�=
【答案】B2−1−12−2−1
【解题思路】根据幂函数的定义以及单调性列出关于的方程与不等式,则结果可求.
【解答过程】由题意可知,解得�,
2
�−�−1=1�=−1
故选:B.�−1<0
11.(2026·四川绵阳·模拟预测)关于函数,下列说法错误的是()
−2
A.函数的定义域为��=�
B.函数的值域为−∞,0∪0,+∞
C.函数在上0,单+调∞递减,在上单调递增
D.函数是偶−函∞,数00,+∞
【答案】C
【解题思路】整理可得,结合二次函数分析定义域、值域以及单调性,即可判断ABC;再根据偶函
1
2
��=�
数的定义判断D.
【解答过程】因为函数,
1
−22
��=�=�
对于选项A:令,解得,
2
所以函数的定�义≠域0为�≠0,故A正确;
�−∞,00,+∞
对于选项�B:因为,则∪,可得,
1
22
�≠0�>0��=�>0
所以函数的值域为,故B正确;
对于选项�C:�因为0在,+∞上单调递减,在上单调递增,
2
所以函数在上�=�单−调∞递,0减,在上单0调,+递∞增,故C错误;
对于选项�D�:因为函0,数+∞的定义域为−∞,0,关于原点对称,
且��,可知函数−∞,为0偶∪函0数,+,∞故D正确;
11
22
�−�=−�=�=����
故选:C.
12.(2026·湖北·模拟预测)已知幂函数,则下列结论正确的是()
��−2
A.为奇函数�(�)B=.2+在�其�定义域上单调递减
C.�(�)D.�(�)
�(�+1)>�(2)�(�−1)<�(−2)
【答案】C
【解题思路】由幂函数的定义求出,由函数奇偶性得到A错误,求出定义域,求导得到函数的单调性,
从而判断BCD.�=0
【解答过程】因为是幂函数,根据幂函数的定义可知,
��−2�
当时,�(�)=,(2等式+�成)立�,2+�=1
0
因为�=02在+0R=上1单调递增,故为唯一解.
�
�=2+��=0
此时,其定义域为.
1
−22
�(�)=�=�(−∞,0)∪(0,+∞)
A选项,,所以是偶函数,A选项错误.
11
22
�(−�)=(−�)=�=�(�)�(�)
B选项,对求导,可得.
12
2′3
当时,�(�)=�,当时�(,�)=−�,
′′
�>在0�上�单<调0递增�,<在0��上>单0调递减,
�所(�以)(−在∞其,0定)义域上不单调递(减0,的+,∞B)错误;
�(�)
C选项,,在上单调递减.
1
2
�+1=1�(�)=�(0,+∞)
因为,所以,即,C选项正确.
D选项1<,2�(1),>�(2)在�(�+上1)单>调�递(2增),,
所以�−1=−1,即�(�)(−∞,0),D错误−.2<−1
故选:�−C.2<�−1�(�−1)>�(−2)
【题型4求二次函数的解析式】
13.(25-26高三上·山东·开学考试)二次函数过点,且对任意实数都有
2
,则()��−1,0�4�−12≤��≤2�−
8�+A6.��=B.C.D.
222
【答案】C�+2�+1�−4�−5�−2�−36�+6
【解题思路】注意到时,,则过点,且在处的切线为,
2
结合导数的几何意义�计=算3即可4得�−12,=再2检�验−即8�可+得6解.��3,03,0�=4�−12
【解答过程】当时,��、,
2
故有�=,3则4�过−点12=1,2且−在12=0处的2�切−线8为�+6=18−2,4+6=0
则可设0二≤次�函3数≤0��3,03,0�=4,�−12
2
��=��+1�−3=��−2��−3�(�≠0)
,有,故,
′′
�则�=2��−2�,�3=6�−2�=4�=4�=1
2
此时��=�−2�−3,
22
��−4�+12=�−6�+9=�−3≥0,符合要求.
222
�故�选:−C2�.+8�−6=−�+6�−9=−�−3≤0
14.(25-26高一上·广东江门·期中)已知二次函数满足,且,则的
解析式是()����+1=��+2��1=2��
A.B.
22
C.�(�)=�−�+2D.�(�)=�+�+2
22
【答案】�A(�)=�−�+1�(�)=�+�+1
【解题思路】设二次函数,利用待定系数法解得即可.
2
【解答过程】设��=��+��+,�则�≠0,
22
由��=�,�得+��+��≠0��+1=��+1+��,+1+�
22
化简��得+1=��+2���+1,+��+1+�=��+��+�+2�
2�+��+,�解+得�=�+2�,
2�+�=�+2�=1
∴
由�+�,=得0,�=−1
故�1=2�=2.
2
故选��:A=.�−�+2
15.(2026高一上·全国·专题练习)已知二次函数满足条件,且.则
___________.���0=1��+1−��=2�
【�答�案=】
2
【解题思路�】−先�写+1出二次函数的一般形式,再代入求出常数项,并利用构造方
程组求出各项系数,从而求出的解析式.�0=1��+1−��=2�
【解答过程】是二次函数�,�设,
2
,∵����=��+��+��≠0
∵�0=,1
∴又�=1,
∵��+1−��=2�,
22
∴即��+1+��+,1+1−��+��+1=2�
2��+�+�=2�
,解得,
2�=2�=1
∴
�+�=0.�=−1
2
∴故答�案�为=:�−�+1.
2
16.(25-26�高−一�上+·1广东惠州·阶段检测)已知二次函数满足,则函数的
2
解析式为___________.����+2+��=2�−2��
【答案】
2
【解题思路��】设=�−2�−1,待定系数法求解.
2
【解答过程】设��=��+��+��≠0,
2
因为��=��+��+��≠0
22
��+2+��=�(�+2)+��+2+�,+��+��+�
22
=2��+4�+2��+4�+2�+2�=2�−2
所以,解得,
2�=2�=1
4�+2�=0�=−2
所以4�+2�+2�=−2.�=−1
2
故答案��为:=�−2�−1.
2
��=�−2�−1
【题型5二次函数的图象】
17.(25-26高一上·湖南株洲·阶段检测)不等式的解集为,则函数
212
的图象大致为()��+��+�>0�−1<�<2�=��+
��−�
A.B.
C.D.
【答案】B
【解题思路】根据不等式的解集得到,为的两个根,由韦达定理得到
121
�<0−1,2��+��+�=0�=2�<
,从而根据二次函数的对称轴,开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案.
1
0,�=−2�>0�
【解答过程】由题意得,为的两个根,
12
�<0−1,2��+��+�=0
故,即,
1�1�11
−1+2=−�,−1×2=��=2�<0,�=−2�>0
开口向下,AC选项错误,
2
�=��+��−�
对称轴为1,D选项错误.
�−2�1
所以B选�项=正−确2�.=−�=2>0
故选:B.
18.(25-26高一上·北京·阶段检测)二次函数的图象如图所示,对称轴是直线.下列
2
结论:①;②;③�=��.其+中��结+论�正确的为()�=1
22
���<03�+�>0�+�−�<0
A.②B.①②C.①③D.②③
【答案】D
【解题思路】由二次函数图象开口、对称轴、特殊点及与坐标轴的交点个数,即可判断.
【解答过程】由图象得:图象的开口向上,所以,
图象的对称轴在轴的右侧,所以,�>0
又图象与轴的交�点在负半轴,所以�<0,
所以�,故①错误;�<0
从图象��观�>察0得,当时,,所以,
又,所以�=−1,代入�>得0�−�+�>,0
�
所以−2�=1成�立=,−故2�②正确;�−−2�+�>0
当3�+时�,>0,所以,即,
又�=1,所�以<0�+�+�,<故0③正�确+;�<−�
22
综上�+得�>结�论正确的�是+�②③−,�<0
故选:D.
19.(25-26高一上·湖南常德·期中)已知二次函数(为常数,且)的部分图像
2
如图所示,则()�=��+��+� �,�,��≠0
A.B.
���<0�+�>0
C.D.不等式的解集为
21
�+�+�>0��−��+�>0� −2<�<1
【答案】D
【解题思路】根据函数的图像,结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系,再利用的符号
及相互关系逐一分析判断各选项.�,�,��,�,�
【解答过程】由函数图像可知二次函数开口向上,对称轴为正值,函数的两个零点为和2,
−1
��>0,
−2�>0�>0
�
∴⇒�=−�<0
�1+�2=−�=1
��=−2�<0
12�
选项A�:�==−2,,又,,故A错误;
选项B:∵�<0,�,<0∴��>0∵�,>故0B错∴误��;�>0
选项C:∵�=−�∴�+�=�−,�=0,故C错误;
选项D:∵�=−�,�=−2�,�>0,∴�+�+�=�−�−2�=−2�<0
∵�=−�,�=−2�,�>0,
222
∴��−,��+原�不=等−式2等��价+于��−�=�−2�+�+1>0,解得,
21
∵�>0∴2�−�−1=�−12�+1<0−2<�<1
不等式的解集为,故D正确.
1
∴� −2<�<1
故选:D.
20.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)如图,已知二次函数的图象顶点在第
2
一象限,且经过、两个点.则下列说法正确的个数是:�①=��+�;�+②��≠0;③;
④�−.1(,0)�0,1���>0�<−10<�<1
0<�+�+�<2
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.
【解答过程】①由图象可知二次函数图象开口向下,则,
图象与轴交点为,所以,�<0
顶点在第�一象限,�对0称, 1轴�=1>,0又,所以,
�
所以,故①错误;�=−2�>0�<0�>0
②因为��图�<象0经过、两个点,所以,解得,
�−�+�=0
�−1, 0�0, 1�=�+1
因为,,所以,故②错误;�=1
③由�<0�>,0得−1<�<0,即,故③正确;
④因为−1图<象�顶<点0在第一0象<限�+,1且<经1过0<�,<1
由二次函数的对称性可知与轴另一个�交−点1,的 0横坐标在上,
所以当时,�,1,+∞
又�=1,�+�+�,>0,所以,即,故④正确.
故选−1:<B�.<00<�<1�=1�+�+�<20<�+�+�<2
【题型6二次函数的单调性与最值】
21.(25-26高一上·河北衡水·阶段检测)已知函数在上不具有单调性,则实数的
2
取值范围是()��=�−��−83,4�
A.B.C.D.
【答案】A6,8−∞,6∪8,+∞8,+∞−∞,6
【解题思路】二次函数在给定区间内不具有单调性,只需对称轴在给定区间内,列不等式求解即可.
【解答过程】函数的对称轴为.
2�
��=�−��−8�=2
因为函数在上不具有单调性,所以,解得.
�
��3,43<2<46<�<8
故选:A.
22.(25-26高一上·全国·期末)已知二次函数的最大值为,则()
2
A.B�.�=��+��+��4
C.�5>�2>�8D.�8>�5>�2
【答案】�A8>�2>�5�2>�8>�5
【解题思路】根据二次函数的对称性和单调性即可得到答案.
【解答过程】因为二次函数的最大值为,
2
所以,且��=�的�图+象��关+于�直线对�称4,
2
所以�<0�,�且=��在+��+�上是减函数,�=4
故�2=�6��4.,+∞
故选�5:A>.�6=�2>�8
23.(25-26高一上·天津武清·阶段检测)已知函数在上单调递减,则的取值
2
范围为()��=2�−��+5−∞,2�
A.B.C.D.
【答案】A8,+∞4,+∞−∞,4−∞,8
【解题思路】根据的图象列不等式即可求解.
2
【解答过程】函数��=2�−��+5的图象开口向上,对称轴为,
2�
所以若函数��=2�−��在+5上单调递减,�=4
2
则,解�得�=2�,−��+5−∞,2
�
4≥2�≥8
所以的取值范围为.
故选:�A.8,+∞
24.(25-26高三上·北京丰台·期中)当时,函数在时取
2
得最大值,则的取值范围是()�∈[0,2]�(�)=��+4(�−1)�−3(�>0),�=2
A.�B.C.D.
112
[3,+∞)[2,+∞)[3,+∞)[1,+∞)
【答案】C
【解题思路】根据二次函数的性质即可求解.
【解答过程】当时,此时为开口向上的二次函数,其对称轴为.
2
�>0�(�)�=�−2
由题意知:,解得.
2
2�>02�>0�>0
⇒⇒�≥3
故选:C.�−2−2≥�−2−01−2�≥1−��(3�−2)≥0
【题型7二次函数的恒成立问题】
25.(25-26高二上·甘肃陇南·期末)已知函数,且不等式对任
22
意恒成立,则实数a的取值范围为(��)=��−3��+�−3�<0��<4
�A∈.−3,3B.C.D.
7
(−7,7)−4,0(−7,0)(−4,0)
【答案】D
【解题思路】由题意得到对任意恒成立,根据开口方向和对称轴,得到
22
,求出答案.��−3��+�−7<0�∈
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