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文档简介

专题1.7基本不等式及其应用(举一反三复习讲义)

【全国通用】

(1)了解基本不等式的推导过程

考点要求(2)会用基本不等式解决最值问题

(3)理解基本不等式在实际问题中的应用

考点2024年2025年2026年

高考真题上海卷(春考):第6

北京卷:第6题,4分题,4分

基本不等式及上海卷(春考):第6

统计上海卷(秋考):第8上海卷(秋考):第7

其应用题,4分

题,5分题,5分

天津卷:第7题,5分

1、基本不等式及其应用

基本不等式是每年高考数学的重点、热点内容,从近三年的高考情况来

命题规律看,对基本不等式的考查比较稳定,考查内容、频率、题型难度均变化不大,

基本不等式主要以单选题或填空题的形式考查,一般最多考查题,分值为

分析1

4分或5分,主要考查利用基本不等式求最值、由基本不等式比较大小,难

度不大,是基础题;复习时要加强对基本不等式的练习。

知识点1两个不等式

1.两个不等式

不等式内容等号成立条件

重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”

基本不等式(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”

叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.

基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

【注】:“当且仅当a=b时,等号成立”是指若a≠b,则a2+b2≠2ab,,即只能有a2+b2>2ab,

.

2.基本不等式的常见变形

(1).

(2).

知识点2利用基本不等式求最值

1.基本不等式与最值

已知x,y都是正数,

(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值;

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值.

【注】:从上面可以看出,利用基本不等式求最值应满足三个条件:“一正、二定、三相等”.

2.常见的求最值模型

nn

(1)模型一:mx2mn(m0,n0),当且仅当x时等号成立;

xm

nnn

(2)模型二:mxm(xa)ma2mnma(m0,n0),当且仅当xa时等号成

xaxam

立;

x11c

(3)模型三:(a0,c0),当且仅当x时等号成立;

2c

axbxcaxb2acba

x

mx(nmx)1mxnmxn2nn

(4)模型四:x(nmx)()2(m0,n0,0x),当且仅当x时

mm24mm2m

等号成立.

3.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法:条件和问题间存在基本不等式的关系,可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法:利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法:主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题,先将转化为

,再用基本不等式求最值.

(4)消元法:当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常

数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不等式求最值.

【题型1由基本不等式比较大小】

【例1】(2026·北京房山·一模)若,且,则下列不等式一定成立的是()

A.𝑎>0B�.<�

2211

�<��<�

C.D.

���+�

�+�>22>𝑎

【答案】C

【解题思路】取即可判断A、B、D选项是错误的,由基本不等式即可判断C选项是正确的.

【解答过程】取�=−3,�=−2满足,且,此时,A错误;

22

�=−3,�=−2𝑎>0�<��>�

取满足,且,此时,B错误;

11

�=−3,�=−2𝑎>0�<��>�

可得,C正确;

������

�>0,�>0�+�>2�⋅�=2

取满足,且,此时,D错误.

�+�

�=−3,�=−2𝑎>0�<�2<𝑎

故选:C.

【变式1-1】(24-25高三·全国·三轮复习)设a、b为正数,且,比较ab的值与的大小()

1

�+2�=18

A.B.C.D.

1111

𝑎≤8𝑎<8𝑎≥8𝑎>8

【答案】A

【解题思路】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可.

【解答过程】因为,所以,

11�+2�211

𝑎=2(�⋅2�)≤22=8𝑎≤8

当且仅当且,即且时,取等号.

11

�=2��+2�=1�=2�=4

故选:A.

【变式1-2】(2026·安徽蚌埠·模拟预测)已知实数满足且,则下列不等关系一定正确

的是()�,�,��<�<�𝑎�<0

A.B.

��<��𝑎<��

C.D.

����

�+�>2�+�>2

【答案】C

【解题思路】由不等式的性质判断A、B,根据基本不等式可判断C、D.

【解答过程】因为且,所以或,

对A:若�<�,<则�𝑎�<0,若�<0<�<,�则�<�<,�A<错0误;

对B:∵�<0,<�<�,∴��<��,B错�误<;�<�<0��>��

�<��<0𝑎>��

对C:由或,知且,∴,C正确;

�����

�<0<�<��<�<�<0�>0�<��+�>2��=2

对D:当时,有,从而

���

�<0<�<��<0�+�<0

当,则且,∴,D错误.

�����

故选�<:�C.<�<0�>0�<��+�>2�×�=2

【变式1-3】(25-26高一上·湖南邵阳·期中)汽车现在已经是我们出行不可分离的工具,小明由于经常出差,

每次出差需要加油两次,两次加油单价不同.现有两种方案,第一种方案:第一次加油元,第二次加油

元;第二种方案:第一次加油升,第二次加油升;请你比较下这两种方案,20哪0种方案更经济实

2惠0(0)3030

A.第一种B.第二种C.不确定D.一样实惠

【答案】A

【解题思路】分别设两次加油的单价,计算全程的均价,结合基本不等式比较大小即可判断.

【解答过程】设第一次加油的单价为元/升,第二次加油的油单价为元/升,

则方案一的均价:�,当且仅当时等号�成立;

200+2002��

200200

�=�+�=�+�≤���=�

方案二的均价:,当且仅当时等号成立;

30�+30��+�

又两次加油单价不�=同,60=2≥���=�

则方案一的均价,方案二的均价,

所以,�<���>��

故选:�<A.�

【题型2基本不等式求积的最大值】

【例2】(2026·天津河西·一模)已知,,且,则的最大值为()

A.1B.�>0�C>.02�+�=1D.𝑎

111

489

【答案】C

【解题思路】直接利用基本不等式求解即可.

【解答过程】由基本不等式得到,即,

2�+�211

2𝑎≤2=4𝑎≤8

当且仅当,即时,等号成立.

11

2�=��=4,�=2

的最大值为,

1

𝑎8

故选:C.

【变式2-1】(2026·福建泉州·二模)已知正数满足,则的最大值为()

2�

�,��+�=1�

A.B.C.D.

1121

【答案】A8442

【解题思路】由题设可得,,进而得到,再根据基本不等式求解即可.

11−���1−�

�=20<�<1�=2

【解答过程】由题意,为正数,且,则,即,

211−�

�,��+�=1�=20<�<1

所以�+1−�2,

��1−�21

当且仅�=当2≤,2即=8时等号成立,

1

�=1−��=2

则的最大值为.

�1

�8

故选:A.

【变式2-2】(2026·河南南阳·模拟预测)已知正数,满足,则的最大值为_________.

2

【答案】8��16�+��=64��

【解题思路】将已知等式变形为,利用基本不等式建立与的关系,从而求得的

22

最大值.�(16+�)=6416+����

【解答过程】因为,为正数,所以,

22

根据基本不等式可�得�16�+�,�(当=且�仅(1当6+16�),即时等号成立);

222

则16+�≥,2即161�6=8�,=��=4

22

因为�(16+�)≥�×8,�所=以8���,+可�得�≥8�.�

2

即的�最+大�值�为=8.6464≥8����≤8

故答��案为:8.

【变式2-3】(2025·海南·一模)已知,且,则xy的最大值为__________.

【答案】1�>0,�>0�+4�=4

【解题思路】直接利用基本不等式即可.

【解答过程】因,则,所以,

当且仅当�>0,时�等>号0成立4,=�+4�≥2�⋅4�=4����≤1

1

�=2,�=2

则xy的最大值为.

故答案为:.1

1

【题型3基本不等式求和的最小值】

【例3】(2026·山东济南·模拟预测)已知,,且,则的最小值是()

A.4B.5�>0C.�6>0�+2�−D2�.�7=0�+2�

【答案】A

【解题思路】先将变形得,然后用“1”的代换与相乘,化简整理后再利用基

11

�+2�−2��=0�+2�=1�+2�

本不等式即可求出最小值.

【解答过程】由,得,

11

�+2�−2��=0�+2�=1

所以,

112��2��

�+2�=�+2��+2�=2+�+2�≥2+2�⋅2�=4

当且仅当时,即时等号成立,将其代入,解得,

2��

�=2��=2��+2�−2��=0�=2,�=1

所以的最小值是.

故选:�+A2.�4

【变式3-1】(2026·山东泰安·二模)当时,的最小值是()

41

0<�<3�+3−�

A.3B.4C.D.

108

33

【答案】A

【解题思路】由配凑法结合换1法得出,再使用基本不等式即可求解.

41141

�+3−�=3�+3−��+3−�

【解答过程】由题意得,

11

�>0,3−�>0

则

41141

�+3−�=3�+3−��+3−�

,

1�4(3−�)1�4(3−�)

=34+3−�+�+1≥35+23−�⋅�=3

当且仅当即时等号成立.

�4(3−�)

3−�=��=2

故选:A.

【变式3-2】(2026·陕西榆林·模拟预测)已知,则的最小值为__________.

�2�

�>2�>0�−2�+�

【答案】9

【解题思路】对进行变形,然后利用基本不等式求解其最小值.

�2�

�−2�+�

【解答过程】因为,则,.

所以�>2�>0�−2�>0�>0

�2��−2�+2�2�−2�+4�2�2�−2�

�−2�+�=�−2�+�=1+�−2�+�+4

.

2�2�−2�2�2(�−2�)

=5+�−2�+�≥5+2�−2�×�=9

当且仅当时,即等号成立.

2�2�−2�

�−2�=��=3�

因此,的最小值为9.

�2�

�−2�+�

故答案为:9.

【变式3-3】(2026·安徽合肥·模拟预测)已知实数,满足,则的最小值为___________.

�4�

��𝑎>0�+�+�

【答案】3

【解题思路】设,将待求式化为关于的函数式,再利用基本不等式求解即得.

�

�=��

【解答过程】设,因,则,

�

�

且�=𝑎>0�>0,

�4��444

�

�+�+�=�+1+�=�+�+1=�+1+�+1−1

因,当且仅当时取等,

444

�+1+�+1≥2(�+1)⋅�+1=4�+1=�+1

即时,也即时,取得最小值4,此时的最小值为3.

4�4�

�=1�=��+1+�+1�+�+�

故答案为:3.

【题型4二次与二次(或一次)的商式的最值】

【例】(高一上江西阶段检测)已知,则的最大值是()

425-26··2

�−�+14

A.B.�C<.−51�+1D.8

【答案】A−11−8

【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可.

【解答过程】易知.

22

�−�+14�+1−3�+1+1616

因为,所以�+1=,所以�+1=�+1,+�+1−3

�<−1�+1<0−�+1>0

则,

1616

�+1+�+1=−−�+1+−�+1≤−8

当且仅当,即时,等号成立,

16

−�+1=−�+1�=−5

故,则的最大值是.

2

16�−�+14

故选�+:1A+.�+1−3≤−11�+1−11

【变式】(高一下重庆沙坪坝阶段检测)已知正数满足,则的最小值为()

4-125-26··2

�+�

�,��+2�=1��

A.B.C.D.

11

222222+122+1

【答案】D

【解题思路】将目标式整理为齐次式,再结合均值不等式即可求得结果.

【解答过程】,因为,故,

2222

�+��+�(�+2�)�+��+2��2��2�

��=��=��=�+�+1�>0,�>0�>0,�>0

则,当且仅当,也即取得等号,

�2��2��2�2

�+�+1≥2�×�+1=22+1�=�,�+2�=1�=2−1,�=1−2

故的最小值为

2.

�+�

��22+1

故选:D.

【变式】(高一上河北承德期末)已知,则的最小值为()

4-225-26··2

3�−5�+5

A.4B.5C.�6>1�−1D.7

【答案】D

【解题思路】令,化简得到,结合基本不等式,即可求解

2.

3�−5�+53

【解答过程】令�=�−1,则,�−1因为=3�+,�可+得1,

可得�=�−1�=�+1�>1�>0,

22

3�−5�+53(�+1)−5(�+1)+533

�−1=�=3�+�+1≥23�⋅�+1=2×3+1=7

当且仅当时,即时,即时,等号成立,

3

3�=��=1�=2

所以的最小值为

2.

3�−5�+5

故选:D�−.17

【变式4-3】(25-26高三上·河南漯河·期末)设正实数、、满足,则的最大值为()

22��

����−��+�−�=0�

A.B.C.D.

【答案】D4231

【解题思路】由已知条件可得出,利用基本不等式可求得的最大值.

��1��

��

�=�+�−1�

【解答过程】因为正实数、、满足,则,

2222

所以,����−,��+�−�=0�=�+�−��

����11

��

22��

��+�−���+�−1

==≤2�⋅�−1=1

当且仅当时,即当时,等号成立,

��

�=��>0,�>0�=�

故的最大值为.

��

�1

故选:D.

【题型5条件等式求最值】

【例5】(2026·广东江门·二模)已知,,且,则的最小值为()

A.11B.12�>1�C>.113𝑎=�+�+3D.144�+�

【答案】C

【解题思路】方法一:条件等式可化为,再结合关系利

用基本不等式求结论;�−1�−1=44�+�=4�−1+�−1+5

方法二:由条件等式可得,消元变形可得,再利用基本不等式求其最小值

�+316

�=�−14�+�=5+�−1+�−1

即可.

【解答过程】(方法一)由,可得,

因为,,所以𝑎=�+,�+3,�−1�−1=4

则�>1�>1�−1>0�−1>0,

当且4�仅+当�=4�−1+�−,1即+5≥,24�−时1,等�号−1成立+,5=13

故的4最�−小1值为=�13−.1�=2�=5

(方4法�二+)�由,可得,因为,所以,

�+3

𝑎=�+�+3�=�−1�>1�−1>0

则,

4�+121616

4�+�=�−1+�=5+�−1+�−1≥5+2�−1⋅�−1=13

当且仅当,即时,等号成立,

16

�−1=�−1�=2,�=5

故的最小值为13.

故选4�:+C�.

【变式5-1】(2026·贵州贵阳·模拟预测)已知,,且,则的最小值

114

是()�>3�>13��−3�−�=13�−1+�−1

A.2B.4C.D.

【答案】D2322

【解题思路】根据已知得,代入目标式并应用基本不等式求最小值即可.

2

3�−1=�−1

【解答过程】由,则,,,故,

12

3��−3�−�=1(3�−1)(�−1)=2�>3�>13�−1=�−1

所以,

14�−14�−14

3�−1+�−1=2+�−1≥22⋅�−1=22

当且仅当,此时取等号.

�−1412

故选:D.2=�−1⇒�=1+22�=3+6

【变式5-2】(2026·河南南阳·模拟预测)已知正数满足,则的最小值为()

4�1

�,��+�=��+�

A.7B.9C.10D.12

【答案】B

【解题思路】根据题设条件求得,代入所求式利用基本不等式即可求解.

1�

�=�−4

【解答过程】由可得,显然,则有,

4��−41�

由,可得�+�=,��=��≠4�=�−4

则�,�>0�>4,

1�444

�+�=�−4+�=�+1+�−4=�−4+�−4+5≥5+2(�−4)⋅�−4=9

当且仅当,即时等号成立,

41

�−4=�−4�=6,�=3

此时的最小值为9.

1

�+�

故选:B.

【变式5-3】(2026·广东·二模)若,且,则的最小值为()

12

�>0,�>0�+�=���−1+�−1

A.2B.C.3D.

9

222

【答案】B

【解题思路】由条件可得,然后由基本不等式代入计算,即可得到结果.

【解答过程】因为�−,1即�−1=1,即,

且,则�+�=��,��−�−�+1=1�−1�−1=1

则�>0,�>0�>1,�>1,

12122

�−1+�−1≥2�−1⋅�−1=2�−1�−1=22

当且仅当时,即时,等号成立,

122

�−1=�−1�=1+2,�=1+2

所以的最小值为.

12

�−1+�−122

故选:B.

【题型6基本不等式“1”的妙用求最值】

【例6】(2026·甘肃酒泉·二模)已知,且满足,则的最小值为()

31

�>0,�>03�+�=8�+�

A.B.C.D.

167

7224

【答案】B

【解题思路】直接由条件和基本不等式可得最小值.

【解答过程】因为,所以,且,

1

3�+�=883�+�=1�>0,�>0

所以,

3113113�3�13�3�1

�+�=8�+�3�+�=810+�+�≥810+2�⋅�=8×16=2

当且仅当且时等号成立,由得(舍去),

3�3�3�3�

代入�=�,解3�得+�=8,�=��=��=−�

所以当3�+�=8时,�=的�最=小2值为.

31

�=�=2�+�2

故选:B.

【变式6-1】(2026·安徽滁州·二模)已知,则的最小值为()

11

�+�=1𝑎>0�+�

A.1B.2C.4D.

5

4

【答案】C

【解题思路】根据基本不等式“1”的用法求解即可.

【解答过程】因为,所以,

��

�+�=1𝑎>0�>0,�>0

所以,当且仅当时等号成立,

1111��1

�+�=�+��+�=2+�+�≥2+2=4�=�=2

所以的最小值为4.

11

�+�

故选:C.

【变式6-2】(2026·湖北十堰·一模)已知正数,满足,则的最小值为()

A.6B.7�C.�8�+�=��D.�+94�

【答案】D

【解题思路】整理可得,利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.

11

�+�=1

【解答过程】因为正数,满足,则,

11

���+�=���+�=1

可得,

114��4��

�+4�=�+��+4�=5+�+�≥5+2�⋅�=9

当且仅当,即时,等号成立,

4��

�=��=2�=3

所以的最小值为9.

故选:�+D4.�

【变式6-3】(2026·浙江台州·一模)已知,且,则的最小值为()

19

�,�∈−1,+∞�+�+1=2�+�+2

A.2B.C.D.3

95

42

【答案】D

【解题思路】可利用配凑法与“1的妙用”,结合基本不等式进行求解.

【解答过程】由题可知,,又因为,

1

�+2+�+1=4�+2>0,�+1>0

则

9119

�+1+�+2=4(�+2+�+1)(�+1+�+2)

,

191

=4[(�+2)(�+1)+(�+2)(�+1)+10]≥4(6+10)=4

当且仅当时,即当时,等号成立.

�=1,�=0

因此(�+2)的(�最+小1值)=为34,

9

�+1+�+2

故的最小值为3.

9

�+�+2

故选:D.

【题型7基本不等式的恒成立、有解问题】

【例7】(2026·吉林延边·一模)已知正实数,满足,且不等式恒成立,则

1

的取值范围是()���+�−2��=0�+�−�>0�

A.B.C.D.

【答案】B�<2�<8�<6�<4

【解题思路】对题目等式变形得,再利用乘“1”法即可得到答案.

111

�+�=2

【解答过程】因为正实数,满足,所以,

1111

���+�−2��=0�+�=2

则:,

11��

当且仅�+当�=2(�+�时)取�等+号�,=因2为2不+等�+式�≥8恒成立,所以.

故选:B.�=�=4�+�−�>0�<8

【变式7-1】(25-26高一上·安徽池州·期中)已知,且,若恒成立,

41

�+1�+2

则实数的取值范围是()�>0,�>0�+�=5+≥2�+1

A.�B.C.D.

121

−∞,16−∞,5−∞,2−∞,4

【答案】A

【解题思路】由已知条件得出,将代数式与相乘,展开后

411

�+1+�+2=8�+1+�+28�+1+�+2

利用基本不等式求出的最小值,根据题意可得出关于的不等式,解之即可.

41

【解答过程】因为�+,1+�+2,且,则�,

则�>,0�>0�+�=5�+1+�+2=8

�+2�+1

�+1>0,�+2>0

所以

4114114�+2�+1

�+1+�+2=8�+1+�+2�+1+�+2=85+�+1+�+2

,

14�+2�+19

≥85+2�+1⋅�+2=8

当且仅当4�+2�+1时,

�+1=�+2

�+1+�+2=8

即当,�>时0,,�所>以0的最小值为

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