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文档简介
专题1.7基本不等式及其应用(举一反三复习讲义)
【全国通用】
(1)了解基本不等式的推导过程
考点要求(2)会用基本不等式解决最值问题
(3)理解基本不等式在实际问题中的应用
考点2024年2025年2026年
高考真题上海卷(春考):第6
北京卷:第6题,4分题,4分
基本不等式及上海卷(春考):第6
统计上海卷(秋考):第8上海卷(秋考):第7
其应用题,4分
题,5分题,5分
天津卷:第7题,5分
1、基本不等式及其应用
基本不等式是每年高考数学的重点、热点内容,从近三年的高考情况来
命题规律看,对基本不等式的考查比较稳定,考查内容、频率、题型难度均变化不大,
基本不等式主要以单选题或填空题的形式考查,一般最多考查题,分值为
分析1
4分或5分,主要考查利用基本不等式求最值、由基本不等式比较大小,难
度不大,是基础题;复习时要加强对基本不等式的练习。
知识点1两个不等式
1.两个不等式
不等式内容等号成立条件
重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”
叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.
基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
【注】:“当且仅当a=b时,等号成立”是指若a≠b,则a2+b2≠2ab,,即只能有a2+b2>2ab,
.
2.基本不等式的常见变形
(1).
(2).
知识点2利用基本不等式求最值
1.基本不等式与最值
已知x,y都是正数,
(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值;
(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值.
【注】:从上面可以看出,利用基本不等式求最值应满足三个条件:“一正、二定、三相等”.
2.常见的求最值模型
nn
(1)模型一:mx2mn(m0,n0),当且仅当x时等号成立;
xm
nnn
(2)模型二:mxm(xa)ma2mnma(m0,n0),当且仅当xa时等号成
xaxam
立;
x11c
(3)模型三:(a0,c0),当且仅当x时等号成立;
2c
axbxcaxb2acba
x
mx(nmx)1mxnmxn2nn
(4)模型四:x(nmx)()2(m0,n0,0x),当且仅当x时
mm24mm2m
等号成立.
3.利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法:条件和问题间存在基本不等式的关系,可直接利用基本不等式来求最值.
(2)配凑法:利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法:主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题,先将转化为
,再用基本不等式求最值.
(4)消元法:当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常
数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不等式求最值.
【题型1由基本不等式比较大小】
【例1】(2026·北京房山·一模)若,且,则下列不等式一定成立的是()
A.𝑎>0B�.<�
2211
�<��<�
C.D.
���+�
�+�>22>𝑎
【答案】C
【解题思路】取即可判断A、B、D选项是错误的,由基本不等式即可判断C选项是正确的.
【解答过程】取�=−3,�=−2满足,且,此时,A错误;
22
�=−3,�=−2𝑎>0�<��>�
取满足,且,此时,B错误;
11
�=−3,�=−2𝑎>0�<��>�
可得,C正确;
������
�>0,�>0�+�>2�⋅�=2
取满足,且,此时,D错误.
�+�
�=−3,�=−2𝑎>0�<�2<𝑎
故选:C.
【变式1-1】(24-25高三·全国·三轮复习)设a、b为正数,且,比较ab的值与的大小()
1
�+2�=18
A.B.C.D.
1111
𝑎≤8𝑎<8𝑎≥8𝑎>8
【答案】A
【解题思路】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可.
【解答过程】因为,所以,
11�+2�211
𝑎=2(�⋅2�)≤22=8𝑎≤8
当且仅当且,即且时,取等号.
11
�=2��+2�=1�=2�=4
故选:A.
【变式1-2】(2026·安徽蚌埠·模拟预测)已知实数满足且,则下列不等关系一定正确
的是()�,�,��<�<�𝑎�<0
A.B.
��<��𝑎<��
C.D.
����
�+�>2�+�>2
【答案】C
【解题思路】由不等式的性质判断A、B,根据基本不等式可判断C、D.
【解答过程】因为且,所以或,
对A:若�<�,<则�𝑎�<0,若�<0<�<,�则�<�<,�A<错0误;
对B:∵�<0,<�<�,∴��<��,B错�误<;�<�<0��>��
�<��<0𝑎>��
对C:由或,知且,∴,C正确;
�����
�<0<�<��<�<�<0�>0�<��+�>2��=2
对D:当时,有,从而
���
�<0<�<��<0�+�<0
当,则且,∴,D错误.
�����
故选�<:�C.<�<0�>0�<��+�>2�×�=2
【变式1-3】(25-26高一上·湖南邵阳·期中)汽车现在已经是我们出行不可分离的工具,小明由于经常出差,
每次出差需要加油两次,两次加油单价不同.现有两种方案,第一种方案:第一次加油元,第二次加油
元;第二种方案:第一次加油升,第二次加油升;请你比较下这两种方案,20哪0种方案更经济实
2惠0(0)3030
A.第一种B.第二种C.不确定D.一样实惠
【答案】A
【解题思路】分别设两次加油的单价,计算全程的均价,结合基本不等式比较大小即可判断.
【解答过程】设第一次加油的单价为元/升,第二次加油的油单价为元/升,
则方案一的均价:�,当且仅当时等号�成立;
200+2002��
200200
�=�+�=�+�≤���=�
方案二的均价:,当且仅当时等号成立;
30�+30��+�
又两次加油单价不�=同,60=2≥���=�
则方案一的均价,方案二的均价,
所以,�<���>��
故选:�<A.�
【题型2基本不等式求积的最大值】
【例2】(2026·天津河西·一模)已知,,且,则的最大值为()
A.1B.�>0�C>.02�+�=1D.𝑎
111
489
【答案】C
【解题思路】直接利用基本不等式求解即可.
【解答过程】由基本不等式得到,即,
2�+�211
2𝑎≤2=4𝑎≤8
当且仅当,即时,等号成立.
11
2�=��=4,�=2
的最大值为,
1
𝑎8
故选:C.
【变式2-1】(2026·福建泉州·二模)已知正数满足,则的最大值为()
2�
�,��+�=1�
A.B.C.D.
1121
【答案】A8442
【解题思路】由题设可得,,进而得到,再根据基本不等式求解即可.
11−���1−�
�=20<�<1�=2
【解答过程】由题意,为正数,且,则,即,
211−�
�,��+�=1�=20<�<1
所以�+1−�2,
��1−�21
当且仅�=当2≤,2即=8时等号成立,
1
�=1−��=2
则的最大值为.
�1
�8
故选:A.
【变式2-2】(2026·河南南阳·模拟预测)已知正数,满足,则的最大值为_________.
2
【答案】8��16�+��=64��
【解题思路】将已知等式变形为,利用基本不等式建立与的关系,从而求得的
22
最大值.�(16+�)=6416+����
【解答过程】因为,为正数,所以,
22
根据基本不等式可�得�16�+�,�(当=且�仅(1当6+16�),即时等号成立);
222
则16+�≥,2即161�6=8�,=��=4
22
因为�(16+�)≥�×8,�所=以8���,+可�得�≥8�.�
2
即的�最+大�值�为=8.6464≥8����≤8
故答��案为:8.
【变式2-3】(2025·海南·一模)已知,且,则xy的最大值为__________.
【答案】1�>0,�>0�+4�=4
【解题思路】直接利用基本不等式即可.
【解答过程】因,则,所以,
当且仅当�>0,时�等>号0成立4,=�+4�≥2�⋅4�=4����≤1
1
�=2,�=2
则xy的最大值为.
故答案为:.1
1
【题型3基本不等式求和的最小值】
【例3】(2026·山东济南·模拟预测)已知,,且,则的最小值是()
A.4B.5�>0C.�6>0�+2�−D2�.�7=0�+2�
【答案】A
【解题思路】先将变形得,然后用“1”的代换与相乘,化简整理后再利用基
11
�+2�−2��=0�+2�=1�+2�
本不等式即可求出最小值.
【解答过程】由,得,
11
�+2�−2��=0�+2�=1
所以,
112��2��
�+2�=�+2��+2�=2+�+2�≥2+2�⋅2�=4
当且仅当时,即时等号成立,将其代入,解得,
2��
�=2��=2��+2�−2��=0�=2,�=1
所以的最小值是.
故选:�+A2.�4
【变式3-1】(2026·山东泰安·二模)当时,的最小值是()
41
0<�<3�+3−�
A.3B.4C.D.
108
33
【答案】A
【解题思路】由配凑法结合换1法得出,再使用基本不等式即可求解.
41141
�+3−�=3�+3−��+3−�
【解答过程】由题意得,
11
�>0,3−�>0
则
41141
�+3−�=3�+3−��+3−�
,
1�4(3−�)1�4(3−�)
=34+3−�+�+1≥35+23−�⋅�=3
当且仅当即时等号成立.
�4(3−�)
3−�=��=2
故选:A.
【变式3-2】(2026·陕西榆林·模拟预测)已知,则的最小值为__________.
�2�
�>2�>0�−2�+�
【答案】9
【解题思路】对进行变形,然后利用基本不等式求解其最小值.
�2�
�−2�+�
【解答过程】因为,则,.
所以�>2�>0�−2�>0�>0
�2��−2�+2�2�−2�+4�2�2�−2�
�−2�+�=�−2�+�=1+�−2�+�+4
.
2�2�−2�2�2(�−2�)
=5+�−2�+�≥5+2�−2�×�=9
当且仅当时,即等号成立.
2�2�−2�
�−2�=��=3�
因此,的最小值为9.
�2�
�−2�+�
故答案为:9.
【变式3-3】(2026·安徽合肥·模拟预测)已知实数,满足,则的最小值为___________.
�4�
��𝑎>0�+�+�
【答案】3
【解题思路】设,将待求式化为关于的函数式,再利用基本不等式求解即得.
�
�=��
【解答过程】设,因,则,
�
�
且�=𝑎>0�>0,
�4��444
�
�+�+�=�+1+�=�+�+1=�+1+�+1−1
因,当且仅当时取等,
444
�+1+�+1≥2(�+1)⋅�+1=4�+1=�+1
即时,也即时,取得最小值4,此时的最小值为3.
4�4�
�=1�=��+1+�+1�+�+�
故答案为:3.
【题型4二次与二次(或一次)的商式的最值】
【例】(高一上江西阶段检测)已知,则的最大值是()
425-26··2
�−�+14
A.B.�C<.−51�+1D.8
【答案】A−11−8
【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可.
【解答过程】易知.
22
�−�+14�+1−3�+1+1616
因为,所以�+1=,所以�+1=�+1,+�+1−3
�<−1�+1<0−�+1>0
则,
1616
�+1+�+1=−−�+1+−�+1≤−8
当且仅当,即时,等号成立,
16
−�+1=−�+1�=−5
故,则的最大值是.
2
16�−�+14
故选�+:1A+.�+1−3≤−11�+1−11
【变式】(高一下重庆沙坪坝阶段检测)已知正数满足,则的最小值为()
4-125-26··2
�+�
�,��+2�=1��
A.B.C.D.
11
222222+122+1
【答案】D
【解题思路】将目标式整理为齐次式,再结合均值不等式即可求得结果.
【解答过程】,因为,故,
2222
�+��+�(�+2�)�+��+2��2��2�
��=��=��=�+�+1�>0,�>0�>0,�>0
则,当且仅当,也即取得等号,
�2��2��2�2
�+�+1≥2�×�+1=22+1�=�,�+2�=1�=2−1,�=1−2
故的最小值为
2.
�+�
��22+1
故选:D.
【变式】(高一上河北承德期末)已知,则的最小值为()
4-225-26··2
3�−5�+5
A.4B.5C.�6>1�−1D.7
【答案】D
【解题思路】令,化简得到,结合基本不等式,即可求解
2.
3�−5�+53
【解答过程】令�=�−1,则,�−1因为=3�+,�可+得1,
可得�=�−1�=�+1�>1�>0,
22
3�−5�+53(�+1)−5(�+1)+533
�−1=�=3�+�+1≥23�⋅�+1=2×3+1=7
当且仅当时,即时,即时,等号成立,
3
3�=��=1�=2
所以的最小值为
2.
3�−5�+5
故选:D�−.17
【变式4-3】(25-26高三上·河南漯河·期末)设正实数、、满足,则的最大值为()
22��
����−��+�−�=0�
A.B.C.D.
【答案】D4231
【解题思路】由已知条件可得出,利用基本不等式可求得的最大值.
��1��
��
�=�+�−1�
【解答过程】因为正实数、、满足,则,
2222
所以,����−,��+�−�=0�=�+�−��
����11
��
22��
��+�−���+�−1
==≤2�⋅�−1=1
当且仅当时,即当时,等号成立,
��
�=��>0,�>0�=�
故的最大值为.
��
�1
故选:D.
【题型5条件等式求最值】
【例5】(2026·广东江门·二模)已知,,且,则的最小值为()
A.11B.12�>1�C>.113𝑎=�+�+3D.144�+�
【答案】C
【解题思路】方法一:条件等式可化为,再结合关系利
用基本不等式求结论;�−1�−1=44�+�=4�−1+�−1+5
方法二:由条件等式可得,消元变形可得,再利用基本不等式求其最小值
�+316
�=�−14�+�=5+�−1+�−1
即可.
【解答过程】(方法一)由,可得,
因为,,所以𝑎=�+,�+3,�−1�−1=4
则�>1�>1�−1>0�−1>0,
当且4�仅+当�=4�−1+�−,1即+5≥,24�−时1,等�号−1成立+,5=13
故的4最�−小1值为=�13−.1�=2�=5
(方4法�二+)�由,可得,因为,所以,
�+3
𝑎=�+�+3�=�−1�>1�−1>0
则,
4�+121616
4�+�=�−1+�=5+�−1+�−1≥5+2�−1⋅�−1=13
当且仅当,即时,等号成立,
16
�−1=�−1�=2,�=5
故的最小值为13.
故选4�:+C�.
【变式5-1】(2026·贵州贵阳·模拟预测)已知,,且,则的最小值
114
是()�>3�>13��−3�−�=13�−1+�−1
A.2B.4C.D.
【答案】D2322
【解题思路】根据已知得,代入目标式并应用基本不等式求最小值即可.
2
3�−1=�−1
【解答过程】由,则,,,故,
12
3��−3�−�=1(3�−1)(�−1)=2�>3�>13�−1=�−1
所以,
14�−14�−14
3�−1+�−1=2+�−1≥22⋅�−1=22
当且仅当,此时取等号.
�−1412
故选:D.2=�−1⇒�=1+22�=3+6
【变式5-2】(2026·河南南阳·模拟预测)已知正数满足,则的最小值为()
4�1
�,��+�=��+�
A.7B.9C.10D.12
【答案】B
【解题思路】根据题设条件求得,代入所求式利用基本不等式即可求解.
1�
�=�−4
【解答过程】由可得,显然,则有,
4��−41�
由,可得�+�=,��=��≠4�=�−4
则�,�>0�>4,
1�444
�+�=�−4+�=�+1+�−4=�−4+�−4+5≥5+2(�−4)⋅�−4=9
当且仅当,即时等号成立,
41
�−4=�−4�=6,�=3
此时的最小值为9.
1
�+�
故选:B.
【变式5-3】(2026·广东·二模)若,且,则的最小值为()
12
�>0,�>0�+�=���−1+�−1
A.2B.C.3D.
9
222
【答案】B
【解题思路】由条件可得,然后由基本不等式代入计算,即可得到结果.
【解答过程】因为�−,1即�−1=1,即,
且,则�+�=��,��−�−�+1=1�−1�−1=1
则�>0,�>0�>1,�>1,
12122
�−1+�−1≥2�−1⋅�−1=2�−1�−1=22
当且仅当时,即时,等号成立,
122
�−1=�−1�=1+2,�=1+2
所以的最小值为.
12
�−1+�−122
故选:B.
【题型6基本不等式“1”的妙用求最值】
【例6】(2026·甘肃酒泉·二模)已知,且满足,则的最小值为()
31
�>0,�>03�+�=8�+�
A.B.C.D.
167
7224
【答案】B
【解题思路】直接由条件和基本不等式可得最小值.
【解答过程】因为,所以,且,
1
3�+�=883�+�=1�>0,�>0
所以,
3113113�3�13�3�1
�+�=8�+�3�+�=810+�+�≥810+2�⋅�=8×16=2
当且仅当且时等号成立,由得(舍去),
3�3�3�3�
代入�=�,解3�得+�=8,�=��=��=−�
所以当3�+�=8时,�=的�最=小2值为.
31
�=�=2�+�2
故选:B.
【变式6-1】(2026·安徽滁州·二模)已知,则的最小值为()
11
�+�=1𝑎>0�+�
A.1B.2C.4D.
5
4
【答案】C
【解题思路】根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【解答过程】因为,所以,
��
�+�=1𝑎>0�>0,�>0
所以,当且仅当时等号成立,
1111��1
�+�=�+��+�=2+�+�≥2+2=4�=�=2
所以的最小值为4.
11
�+�
故选:C.
【变式6-2】(2026·湖北十堰·一模)已知正数,满足,则的最小值为()
A.6B.7�C.�8�+�=��D.�+94�
【答案】D
【解题思路】整理可得,利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
11
�+�=1
【解答过程】因为正数,满足,则,
11
���+�=���+�=1
可得,
114��4��
�+4�=�+��+4�=5+�+�≥5+2�⋅�=9
当且仅当,即时,等号成立,
4��
�=��=2�=3
所以的最小值为9.
故选:�+D4.�
【变式6-3】(2026·浙江台州·一模)已知,且,则的最小值为()
19
�,�∈−1,+∞�+�+1=2�+�+2
A.2B.C.D.3
95
42
【答案】D
【解题思路】可利用配凑法与“1的妙用”,结合基本不等式进行求解.
【解答过程】由题可知,,又因为,
1
�+2+�+1=4�+2>0,�+1>0
则
9119
�+1+�+2=4(�+2+�+1)(�+1+�+2)
,
191
=4[(�+2)(�+1)+(�+2)(�+1)+10]≥4(6+10)=4
当且仅当时,即当时,等号成立.
�=1,�=0
因此(�+2)的(�最+小1值)=为34,
9
�+1+�+2
故的最小值为3.
9
�+�+2
故选:D.
【题型7基本不等式的恒成立、有解问题】
【例7】(2026·吉林延边·一模)已知正实数,满足,且不等式恒成立,则
1
的取值范围是()���+�−2��=0�+�−�>0�
A.B.C.D.
【答案】B�<2�<8�<6�<4
【解题思路】对题目等式变形得,再利用乘“1”法即可得到答案.
111
�+�=2
【解答过程】因为正实数,满足,所以,
1111
���+�−2��=0�+�=2
则:,
11��
当且仅�+当�=2(�+�时)取�等+号�,=因2为2不+等�+式�≥8恒成立,所以.
故选:B.�=�=4�+�−�>0�<8
【变式7-1】(25-26高一上·安徽池州·期中)已知,且,若恒成立,
41
�+1�+2
则实数的取值范围是()�>0,�>0�+�=5+≥2�+1
A.�B.C.D.
121
−∞,16−∞,5−∞,2−∞,4
【答案】A
【解题思路】由已知条件得出,将代数式与相乘,展开后
411
�+1+�+2=8�+1+�+28�+1+�+2
利用基本不等式求出的最小值,根据题意可得出关于的不等式,解之即可.
41
【解答过程】因为�+,1+�+2,且,则�,
则�>,0�>0�+�=5�+1+�+2=8
�+2�+1
�+1>0,�+2>0
所以
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,
14�+2�+19
≥85+2�+1⋅�+2=8
当且仅当4�+2�+1时,
�+1=�+2
�+1+�+2=8
即当,�>时0,,�所>以0的最小值为
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