江苏省无锡市2025届高二数学下学期期末试题含解析

江苏省无锡市2025届高二数学下学期期末试题

留意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一个是符合题目要求为，请把答案添涂在答题卡相应位置上)

1.已知复数z=2+i,在复平面内z(l・i)对应点的坐标为

A.(3,1)B.(-3,1)C.(3,-1)D.(-3,-1)

2.一个小球从5米的高处自由下落，其运动方程为y(f)=-4.%2,则£=1秒时小球的瞬时

速度为

A.-9.8米/秒B.-4.9米/秒C.9.8米/秒D.4.9米/秒

3.随机变量X的分布列为P(X=A)=S，k=l,2,3,4,5,则P(XV3)=

|]]7

A.-B.-C.-D.—

5323

4.《九章算术•商功》：“斜解立方，得两断堵，斜解塑堵，其一为阳马，一为鳖麻.阳

马居一，鳖膈居一，不易之率也.合两鳖隔三而•一，验之以基，其形露矣.”义中“阳

马”是底面为长方形巨有一条侧棱与底面垂直的四楂锥.在阳马P—ABCD中，侧棱PA_L

底面ABCD,且PA=1,AB=AD=2,则点A到平面PBD的距离为

A,也B.2.回.正

3323

9

5.若(1+x)(1-2x)8=%+〃/++«9x,%€R,则%.2+4・22++%,29的值为

A.29B.29-lC.39D.39-1

6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术竞赛，决出第1名到第5名的名次，己知

甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列状况共有

A.72种B.54种C.36种D.27种

1

7.已知函数y=/'(x)的导函数)，=/'(%)的图像如图所示，则下y

列说法肯定正确的是:\人

A.[(),目时，/")的值为常数|U

(第7题图)

B.c]时，/(幻单调递减

C.x="时，/(幻取得微小值

D.x=c时，/(x)取得最小值

8.现行排球竞赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为

胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平常，要接着竞赛至领

先2分才能取胜.在一•局竞赛中，甲队发球赢球的概率为甲队接发球赢球的概率为

3

在比分为24：24平且甲队发球的状况下，甲队以27：25赢下竞赛的概率为

A.-B.—C.—D.—

8201020

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选

项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)

9.下列复数z满意‘T妹N",使得z*z”对W〃eN'都成立”的有

A.z=iB.z=--+—iC.z=l-iD.=---\

2222z

10.甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一

球放入乙盒.用事务A表示“从甲盒中取出的是红球"，用事务B表示“从甲盒中取出

的是白球“；再从乙盒中随机取出一球，用事务C表示“从乙盒中取出的是红球“，则

下列结论正确的是

A.事务B与事务C是互斥事务B.事务A与事务C是独立事务

C.P©4D.P(C|A)=|

11.老杨每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A,B

2

两条线路可以选择.乘坐线路A所需时间(单位：分钟)听从正态分布N(44,4),下

车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间(单位：分钟)听从正态分布N(33,16),

下车后步行到家要12分钟.下列说法从统计角度认为合理的是

A.若乘坐线路B,18:00前肯定能到家

B.乘坐线路A和乘坐线路B在17:58前到家的可能性一样

C.乘坐线路B比乘坐线路A在17:54前到家的可能性更大

D.若乘坐线路A,则在17:48前到家的可能性不超过1%

(参考数据：Z，则P(a<Zw〃+<r)«*O.6827,P(〃-2。<ZW/x.+2。)«O.9545,

-3。<Z这4+3a)=0.9973)

12.已知曲线f(x)=eX(2x+a)在点(0,2)处的切线为/,且/与曲线g(x)=Y+4x+力也相

切.则

A.a=b

B.存在/的平行线与曲线y=f。)相切

C.随意xw(-2,-KO),怛成立

I).存在实数。，使得gCr)+c?/(x)随意]£[(),+OC)恒成立

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位

置上)

13.(/+£)，，的绽开式中常数项是240,则实数。的值为.

14.有A,B两盒完全相同的卡片，每盒3张每次等可能的从A,B两个盒子中随机取出一张,

当A盒卡取完时，B盒恰好剩1张的概率为.

15.函数八))=(X-l)3-31n(x-l)的单调减区间为.

16.一个班级有30名学生，其中10名女生，现从中任选3名学生当班委，则女生小红当选

3

的概率为；令X表示3名班委中女生的人数，则P（XW2）=.

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

17.（木小题满分1（）分）

已知复数4=/〃+（4-〃J）i,z2=2cos6/+（A+3sin^）i（A,G,/〃cR）.

（1）当勿=7时，Z］是关于X的方程2/+〃x+q=0的一个根，求实数〃，g的值；

（2）若马=公，求义的取值范围.

18.（本小题满分12分）

某地区2014至2024年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表:

年份2014201520162017201820192020

年份代号务1234567

.生活垃圾

193.33.64.44.85.25.9

.无害化处理量尸

（1）求y关于x的线性回来方程；

（2）依据（1）中的回来方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的改变状况,

并预料该地区2024年生活垃圾无害化处理量.

附：回来直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

A£（巧-%）（%-y）^xji-nxy_

=---；-----Z-----=----------，Q=y-bx

£（距-JEX?-n?

4

19.（本小题满分12分）

为了调查人民群众对物权法的了解程度，某地民调机构实行了物权法学问竞答，并在全

部答卷中随机选取了100份答卷进行调杳，并依据成果绘制了如图所示的频数分布表.

得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

男性人数26289

女性人数517258

（1）将对物权法的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得

分低于60分）两类，完成2X2列联表，并推断是否有95%的把握认为“群众对物权法的了

解程度”与性别有关？

（2）若用样本频率代替概率，用简洁随机抽样的方法从该地抽取20名群众进行调查,

其中有r名群众对物权法“比较了解”的概率为P（X=r）Cr=0,1,2,…，20）,当P（X=

力最大时,求广的值.

附小（i）（；署（孔沁…+6…d）.

临界值表：

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

xo2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.（本小题满分12分）

在平行六面体ABCD—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长为2,

且NAiAB=NAAD=60°.

5

（1）求异面直线A。与MB所成角的余弦值;

（2）求三棱锥”—ABD的体积.

21.（本小题满分12分）

某单位为了丰富职工业余生活，举办象棋竞赛（每局竞赛可能出现胜、负、平三种结

果）.甲、乙两人共进行三局竞赛，每局竞赛甲赢的概率为甲输的概率为％且三局竞

赛均没有出现平局的概率为12七5.

（1）求三场竞赛乙至少赢两局的概率：

（2）若该单位为每局竞赛拿出1百元奖金，若分出输赢，奖金归胜方；若平局，两人

平分奖金.设甲获得奖金总额与乙获得奖金总额之差为X（单位：百元），求X的分布列及

其数学期望.

22.（本小题满分12分）

已知函数/（X）=cosx-

（1）若/（刈在（0,48）上单调递减，求实数a的取值范围;

（2）当a=0时，求证/。）＜1在旌（-二£）上恒成立.

22

6

参考答案

命题单位：宜兴市老师发展中心制卷单位：江阴市老师发展中心

留意事项及说明:本卷考试时间为120分钟,全卷满分为150分.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)

1.已知复数z=2+i,在复平面内z(l・i)对应点的坐标为

A.(3,1)B.(-3,1)C.(3,-1)D.(-3,-1)

【答案】C

【解析】z(l-i)=(2+i)(l-i)=3-i,故选C.

2.一个小球从5米的高处自由下落，其运动方程为y⑺=-4.9产，则£=1秒时小球的瞬时

速度为

A.-9.8米/秒B.-4.9米/秒C.9.8米/秒D.4.9米/秒

【答案】A

【解析】)，'")=—9.8/,y(l)=-9.8,故选A.

3.随机变量X的分布列为P(X=A)=3k=l,2,3,4,5,则P(XV3)=

1112

A.-B.-C.—D.—

5323

【答案】A

【解析】P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=1,故选A.

4.《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解塑堵，其一为阳马，一为鳖脯.阳

马居二，鳖犒居一，不易之率也.合两鳖般三而一，验之以基，其形露矣.”文中“阳

7

马”是底面为长方形上有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.在阳马P—ABQ)中，侧棱PAJL

底面ABCD,且PA=LAB=AD=2,则点A到平面PBD的距离为

\[1"\/6..x/3

A.——B.——C.——D.——

3323

【答案】B

【解析】设点A到平面PED的距高为九则四棱锥的体积为：

[xSMBcxPAfsN—h

JJ

-i-xlx2x2xl=ixix2^x^x//

3232

则力=逅.选B.

3

5.若(l+x)(l-2x)8=4+qx++%也R,则4.2+%"++为"的值为

A.29B.29-lC.39D.39-1

【答案】D

【解析】令x=0,得%=1,

令x=2,得39=1+q.2+^++«.)129,

所以4•2+%,2~++,2。=39—1•

6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术竞赛，决出第1名到第5名的名次，己知

甲和乙都没有得到冠军,并H乙不是第5幺，则这5个人的名次排列状况共有

A.72种B.54种C.36种1).27种

【答案】B

【解析】C；4；+C；&A；=54.

7.已知函数y=/(x)的导函数)，一7(x)的图像如图所示，则下列说法肯定正确的是

8

A.[0,对时，/")的值为常数

B.xe[a,c]时，/(幻单调递减

C.x="时，/(x)取得微小值

D.x=c时，/(x)取得最小值

【答案】C

【解析】xe(c，加时，/'(x)V0；xw(d,e)时，fM>0,所以x=d时，/(%)取得微小

值.选C.

8.现行排球竞赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为

胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平常，要接着竞赛至领

先2分才能取胜.在••局竞赛中，甲队发球嬴球的概率为:，甲队接发球赢球的概率为

在比分为24：24平且甲队发球的状况下，甲队以27：25赢下竞赛的概率为

A.-B.—C.—D.—

8201020

【答案】B

【解析】由比分可知甲需胜3局，输1局，且甲第四局胜，第1局或第2局输，

,,131111313

jW—X—X—X--F—X—X—X—=——.

2522225220

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选

项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)

9.下列复数z满意“三二叱，使得对摩wN'都成立”的有

9

A.z=iB.z=--+—iC.z=l-iD.=---i

2222z

【答案】ABD

【解析】即求析=1，满意条件的是ABD.

10.甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一

球放入乙盒.用事务A表示“从甲盒中取出的是红球“，用事务B表示“从甲盒中取出

的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事务C表示“从乙盒中取出的是红球”，则

卜列结论正确的是

A.事务B与事务C是互斥事务B.事务A与事务C是独立事务

C.P(C)=—D.P(C|A)=-

302

【答案】CD

【解析】p(c)=4£第小旦■所迪―L

C；C：C；C：301P(A)3032

11.老杨每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A,B

两条线路可以选择.乘坐线路A所需时间(单位：分钟〉听从正态分布N(44,4),下

车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间(单位：分钟)听从正态分布、(33,16),

下车后步行到家要12分钟.下列说法从统计角度认为合理的是

A.若乘坐线路B,18:00前肯定能到家

B.乘坐线路A和乘坐线路B在17:58前到家的可能性一样

C.乘坐线路B比乘坐线路A在17:54前到家的可能性更大

1).若乘坐线路A,则在17:48前到家的可能性不超过巡

(参考数据：2~/〃,。2),贝||~3-。<2£〃+0)=0.6827.尸(〃-20<2近从+2a)=0.9545,

P(4-3a<ZW/x+3。)«O.9973)

【答案】BCD

10

【解析】对于A,P(B^45)=1-/J(2：></<45)=0.0013,故A错误；

2

对于B,P(B^41)=1~P(25<Z<4I)+P(25<Z<41)=0.9772,

2

P(AW48)=，"25<Z<41)+p(4()<z<48)=09772,故B对；

2

|_尸(29<Z<37)|

对于C,P(BW37)=———------〃(29<Z<37)=0.8413,P(AW44)=-<0.8413,

22

故C对：

对于D,P(A<38)=1~n3S<Z<5())=0.0013<0.01,故D对.

2

12.已知曲线/(x)=e'(2x+a)在点(0,2)处的切线为/,且/与曲线g*)=f+4x+Zr也相

切.则

A.a=b

B.存在「的平行线与曲线y=f(x)相切

C.随意xe(-2,+<»),f(x)>g(x)恒成立

D.存在实数c,使得g(x)+c、N/(x)随意x€[0,+oo)恒成立

【答案】AC

【解析】由于析工)过(0,2),将(0,2)代入，求得&=2；对/(幻求导,代入点(0,2)求出

/3)的斜率为4,切线为y=4x+2,由于该切线1也与双幻相切，对g。)求导，得到

g'(x)=2x+4,令g<x)=4,得x=0,则g(x)同时过(0,2)代入得到〃=2,则a=〃=2,A

正确；

过一点，仅有一条直线与己知曲线相切，B错误；

2

/V)=ev(2x+4),/⑴在(・2,+8)单调增，/(-2)二-/，g(x)=(x+2)2-2,g(x)在(-

2,+8)上单调增，/(-2)>g(-2)；在(0,+8)上，/"(0)=4川(0)=2,且r(x)=e%2/+4)

随x增大改变较大，当x趋近于+8,则/'改变的比g快，F与g表示的函数F更大，因此,

11

不存在足够大的实数c,使得g（x）+c2/（x）,D错误.故AC正确.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位

置上）

13.（炉+与6的绽开式中常数项是240,则实数。的值为.

x

【答案】施

【解析】在该式绽开的常数项中，由于二次项的项数分别为/与£,只有当才的系数为o

X

时，该绽开项才是常数项，只有V这一项为二次方，£为四次方时，X的系数才为0,此时

X

常数项为C；3=240,由于。为正实数，所以。=%.

14.有A,B两盒完全相同的卡片，每盒3张每次等可能的从A,B两个盒子中随机取出一张,

当A盒卡取完时，B盒恰好剩1张的概率为.

3

【答案】-

【解析】—^一历.

15.函数/（X）=（%-1）3—31nd）的单调减区间为.

【答案】（L2）

【解析】对/（x）求导:

X-lX-Ix-lX-I

因此，极值点为I和2,其中才=1取不到，x=2可取，依据r（x）的正负画出极值表，减区

间为（1，2）.

16.一个班级有30名学生，其中10名女生，现从中任选3名学生当班委，则女生小红当选

12

的概率为；令X表示3名班委中女生的人数，则P(XW2)=.

197

【答案】谓

203

CG二i

【解析】(1)设小红当选班委为事务A,则P(A)=

Qiio

(2)要求P(X《2),只须要求出P(X=3),用1・P(X=3)求出P(XW2),

…3)=*

430x29x28203

6

P(¥42)=I・P(X=3)=W=1-------197

G203203

四、解答题(本大题共6小题，共计7()分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

已知复数月=m+(4-/»2)i,z2=2cos^+(A+3sin^)i(A,0,旌R).

(1)当m=-l时，Z]是关于x的方程2/+以+«=0的一个根，求实数夕，g的值；

(2)若4=瑟，求/的取值范围.

【解析】解：(1)当加=7时，％=・l+3i,则z：=(—l+3i)2=—8—6i,

由题意可知，2z：+〃Zj+0=0,即2(-8-6i)+夕(・1+3i)+(7=0,

整理得q-2-16+(3夕-⑵i=0,所以g-7-16=0,3p-12=0,

解得2=4,<7=20；

(2)因为Z[=Z2，所以〃2+(4-〃，)1=283。一(/1+30皿0»,

阳=2cos6

所以,..八，消去勿，整理得2=-4sin*-3sin。，

4-tn=-X-3sin0

13

9

又sin6e[-l,1],所以—].

16

18.（本小题满分12分）

某地区2014至2024年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表:

年份2014201520162017201820192020

年份代号务1234567

.生活垃圾

29133.64.44.85.25.9

.无害化处理量,

（1）求y关于x的线性回来方程；

（2）依据（1）中的回来方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的改变状况，

并预料该地区2024年生活垃圾无害化处理量.

附：问来直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

A邓勺,斗航%-一

=L=

b=---r--T----=y-bx

£（航-%），冢

[解析]解：（I）易知;・比?^3：♦6tZ・4J■?9*33+36."74♦"*2二5.2.,谷,

又ZEM=1344£x：=14（1,所以i=叱:J；%』=05

140-7x4

则i=43-0.5x4=2.3，

所以回来方程为y=0.5x+2.3；

（2）由回来方程可知，过去七年中，生活垃圾无害化处理量每年平均增长0.5力吨，当x

=9时，y=4.5+2.3=6.8,即2024年该地区生活垃圾无害化处理量约为6.8万吨.

19.（本小题满分12分）

为了调查人民群众对物权法的了解程度，某地民调机构实行了物权法学问竞答，并在全

部答卷中随机选取了100份答卷进行调查，并依据成果绘制了如图所示的频数分布表.

14

得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

男性人数26289

女性人数517258

(1)将对物权法的了解程度分为“比较了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得

分低于60分)两类，完成2X2列联表，并推断是否有95%的把握认为“群众对物权法的了

解程度”与性别有关？

不太了解比较了解

男性

女性

合计

(2)若用样本频率代替概率，用简洁随机抽样的方法从该地抽取20名群众进行调查,

其中有，•名群众对物权法“比较了解”的概率为P(X=r)(r=0,1,2,…，20),当P(X=

r)最大时，求r的值.

附:公=---吗，忖777~~TT(n=a+6+c+d).

*(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表：P(K2=o)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

X。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解析】解:(1)2义2列联表如下:

不太了解比较了解合计

男性83745

.女性223355

合计3070100

100(8x33-22x37)21100…八”

则K?=---------------------------=-------*5.820>3.841,

30x70x45x55189

所以有95%的把握:

15

（2）由（1）可知，随机取一名群众，对物权法比较了解的概率为焉，

77

则随机变量X满意X~B（20,—）,所以其期望值E（X）=20X布=14,

即P（X=r）最大时，r=14.

20.（本小题满分12分）

在平行六面体ABCD—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长为2,

且NAAB=NAAD=60°.

（1）求异面直线AM与AB所成角的余弦值；

（2）求三棱锥A—ABD的体积.

A-B

【解析】解：（1）由题意知，/〃=无彳+/£）,A^B=JB-AA},

所以|而卜词,+府（+须•石=26，即卜J网?十阳（一2而•怒=2,

又而•布=0,而.怒=而•麴，所以而不二（麴+而）•（而一可）=-4,

|福•利=6

设AD】与A.B所成角为0,则cos。=

jWPI=T

（2）易知AB=AD=AB=A、D=2.BD=26，所以

作BD中点0,连接0A,0A.,则（）A=（）A产

所以O^+OA^AAr,即OAlOAu

16

又AiB=AD所以OA」B【），

因为OA,BDu平面ABCD,OA为BD=O,所以OA」平面ABCD,

因为S〜M=；X2X2=2,所以V=、2X&=拽

233­

21.（本小题满分12分）

某单位为了丰富职工业余生活，举办象棋竞赛（每局竞赛可能出现胜、负、平三种结

2

果）.甲、乙两人共进行三局竞赛，每局竞赛甲赢的概率为甲输的概率为。，旦三局竞

赛均没有出现平局的概率为M125.

216

（1）求三场竞赛乙至少赢两局的概率；

（2）若该单位为每局竞赛拿出1百元奖金，若分出输赢，奖金归胜方；若平局，两人

平分奖金.设甲获得奖金总额与乙获得奖金总额之差为X（单位：百元），求