高等数学课件 任务2.1：掌握初等函数

掌握初等函数主讲教师：高等数学第二章

函数的极限2.1了解初等函数

掌握基本初等函数的定义，图像，性质掌握复合函数的分解任务1：任务2：任务3：掌握初等函数的定义①常量函数:②幂函数,③指数函数,④对数函数,⑤三角函数⑥反三角函数统称为基本初等函数.一、基本初等函数定义域：R值域：{c}1.常量函数（1）常量函数解析式（2）常量函数图像

y=C(C是常数）任务1：掌握基本初等函数的图像，性质2.幂函数幂函数解析式常见的几个幂函数图像

y=xα(α

是常数)1(a>1)y=axxyO常用的指数函数为y=ex.函数y=ax(a是常数，且a>0，a1)叫做指数函数．指数函数的定义域：D=（-，+）．单调性：若a>1，则指数函数单调增加；若0<a<1，则指数函数单调减少．3.指数函数y=ax(0<a<1)1(a>1)xyOy=logax指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a>0，a1)．对数函数的定义域是区间(0，+)．4.对数函数(0<a<1)y=logax单调性：若a>1，则对数函数单调增加；若0<a<1，则对数函数单调减少．y=lnx(自然对数，底数是e)y=lgx(常用对数，底数是10）常用的三角函数有：（1）正弦函数：y=sinx1-1y=sinx1-1y=cosx（2）余弦函数：y=cos

xyxOxyO5．三角函数（3）正切函数：

y=tanxxyO-pp

p2

p2xyO-pp

p2

p2

（4）余切函数：y=cotxy=tanxy=cotx（5）正割函数（6）余割函数

y=secx

y=cscx定义域值域6.反三角函数

（1）反正弦函数：y=arcsin

x定义域值域（2）反余弦函数：y=arccos

x定义域值域定义域值域（3）反正切函数：

y=arctanx

（4）反余切函数：y=arccotx（-，+）（-，+）?y=sinu=x2复合运算代入法嵌入式结构ux2若y是u的函数y=f(u)，u是x的函数，当x在的定义域或其一部分取值时，的值均在的定义域内，从而得到一个以x为自变量，y为因变量的函数，这个复合函数，u称为中间变量，记作函数称为由函数复合而成的和复合函数二、复合函数分析函数能构成复合函数吗？和交集为空集结论和不能构成复合函数.D外M内两个函数可以复合的条件D外∩M内≠ϕ二、复合函数复合函数的分解------拆开关键：引入中间变量u注意：复合函数的分解可以按照从外向内(由内向外)的顺序去进行分解,并要求分解得到的必须是基本初等函数或简单函数.所谓简单函数是指基本初等函数进行有限次的四

则运算得到的函数.很重要！

y=f(φ

(x))

——→

令u=φ(x)

y=f(u),u=φ

(x)

任务2：掌握复合函数的分解例1解指出下列函数是由哪些基本初等函数或简单函数复合而成的。思考：怎样才算把复合函数正确分解了？任务2：掌握复合函数的分解练习（填空）：任务2：掌握复合函数的分解定义：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合所构成，并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例如

目前我们所接触的函数几乎都是初等函数，唯一例外的只有分段函数不算在内。因为分段函数是由几个式子表示一个函数三、初等函数

注意：一般说来,分段函数不是初等函数.

y=ex+e–x

y=ln(x2

+3)解：注意：分段函数求函数值要根据自变量所在的段正确选择表达式。x-111-1oy练习：设求（1）的定义域；（2）求（3）画的图像D=（-，+）(3)f(x)的图像如右

（2）f（0)=0

f（1)=1-1=0

f（-2)=-2+1=-1

（1）函数定义域是解（1）

所以定义域是：（2）例：已知求（1）的定义域；（2）求124-2-13∵-1∈[-2，0）

∴

f（-1)=-1+1=0∵1∈（0，2]

∴

f（-1)=-1+1=0[-2

，2][－2