江苏省2024年高考数学二模试卷含解析

江苏省扬中高级中学2024年高考数学二模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5亳米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

f1V1

1.已知函数/(x)=Y+sinx+ln；—+,若/(2。-1)>/(0),则。的取值范围为()

炼+00,B.(0,1)C.停1)D.(0,；

2.点A&C是单位圆。上不同的三点，线段OC与线段A3交于圆内一点M,若

3.已知圆/+）,2-6工一7=。与抛物线），2=2〃X（〃>0）的准线相切，则〃的值为O

1

A.1B.2C.-D.4

2

4.若a>b>0,0<c<L则

vcab

A.logaC<logbCB.logca<logcbC.a<bD.c>c

5.若复数（2a+i）（l+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数/为（）

6.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损

益”结合的计算过程，若输入的无的值为1,输出的工的值为（）

/输出x/

64328

B.—C.—D・M

8?279

7.某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用），（万元）的统计数据（X,），）分别为（2,1.5）,（3,4.5）,（4,5.5）,（565）,

由最小二乘法得到回归直线方程为5=1.61+"若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为

()

A.8年B.9年C.10年

8.集合｛2,0,1,9｝的真子集的个数是（)

A.13B.14C.15D.16

r、1仆+2

9.各项都是正数的等比数列｛q｝的公比4工1,且%，/%吗成等差数列，则上工1的值为（

A."B.迎

22

「V5-1牛或与

L•-------D.

2

10.设过抛物线J=2PMp>0）上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线/=8*（p>0）交于48两点，直线

JA8Q_

OP与抛物线），2=8〃,丫（〃>0）的另一个交点为。，则)

4qABO

A.1B.2C.3D.4

11.若圆锥轴截面面积为26，母线与底面所成角为60。，则体积为（）

A・----71*>•-----71C.------JiD.------7T

3333

12.在复平面内，」复数（i为虚数单位）的共挽复数对应的点位于（）

1-/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知复数2二*（i为虚数单位），则z的模为一.

2-1

14.如图所示，平面BCGB」平面ABC,ZABC=120°,四边形BCGBi为正方形，且AB=BC=2,则异面直线BCi

与AC所成角的余弦值为

15.某部队在训练之余，由同一场地训练的甲、乙、丙三队各出三人，组成3x3小方阵开展游戏，则来自同一队的战士

既不在同一行，也不在同一列的概率为_____.

16.等腰直角三角形A8C内有一点P,PA=\,PB=&，PC=2,NA=90,则A48C面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数尸"）=」X3+/+24,G（x）=〃lnx,设/（x）=F'（x）-G（x）.

（I）当。二一3时，求函数/（村的单调区间;

（2）设方程/'（x）=c（其中c为常数）的两根分别为%0（a<a，证明：尸孕）<0.

（注：广（力是广（力的导函数）

18.（12分）如图，在平面四边形A4CO中，Z7>=—,sinN«AC=cosN«=—,A4=13.

313

D

（1）求AC；

（2）求四边形A8CO面积的最大值.

19.（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖

风景区等等.

（1）为了解“五•一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况,从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000

现从年龄在［42,52］内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄

在［47,52：内的人数为3求产«=3）；

（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型

游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1.将

每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：

劳动节当日客流量X1<X<33<X<5X>5

频数（年）244

以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量

相互独立.

该游船中心希望投入的4型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客

流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：

劳动节当日客流量XI<X<33<X<5X>5

4型游船最多使用量123

若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投

入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，y的

数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘4型游船

才能使其当日获得的总利润最大？

20.（12分）已知函数g（x）=e,-（。一1）./一法一1（。功£玲，其中e为自然对数的底数.

（1）若函数f（R=*5）在区间［0」］上是单调函数，试求〃的取值范围；

（2）若函数g（幻在区间［0,1］上恰有3个零点，且g（D=0,求〃的取值范围.

丫22

21.（12分）已知椭圆E：T+*=1（〃＞方＞0）的左、右焦点分别为1（一1,。）、鸟（1,。），点尸在椭圆E上，

P玛，耳巴且|P£|=3|尸段.

（I）求椭圆E的标准方程；

（II）设直线/：X="9+1（〃2£尺）与椭圆E相交于A、4两点，与圆/+）*=/相交于C、。两点，求

的取值范围.

22.（10分）（本小题满分12分）已知椭圆C：三十二二"二1＞二）C的离心率为二，连接椭圆四个顶点形成的四边

形面积为4\二

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）过点A（1,0）的直线与椭圆C交于点M,N,设P为椭圆上一点，且三一三三=二三三二:0）0为坐标原点,

当三三-三＜一时，求t的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、c

【解析】

求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式.

【详解】

由3>0得—Ivxcl,

1-x

I□.v2

在xt(Tl)时，)，=/是增函数，y=sinx是增函数，y=ln—=ln(-l+——)是增函数,

l-x1-x

AfM=x-+sinx+ln-——是增函数，

・••由/(2a-1)>/(0)得()〈加一1<1,解得g<a<1.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域

内求解.

2、D

【解析】

由题意得1=〃，+2/77/7cosZAOB,再利用基本不等式即可求解.

【详解】

将OC=mOA+nOB平方得1=w2+n2+2/wzcosZAOB，

1-nr-n1-(in+n)2+Imn331

cos/AOB+1W------------------+1=一

2mn2mn2mn2x(等y2

(当且仅当m=n=］时等号成立)，

•・•0<ZAOB<乃,

的最小值为与，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题.

3、B

【解析】

因为圆工2+）,2一6..7=0与抛物线J=2内（〃>0）的准线相切，则圆心为（3,0）,半径为4,根据相切可知.圆心

到直线的距离等于半径，可知〃的值为2,选B.

【详解】

请在此输入详解！

4、B

【解析】

试题分析：对于选项A,0<c<l,而。>力>0,所以lga>lgZ?,但不

Igalgb

能确定lg〃、lg〃的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B,logca="/og*=*2,lga>lg。，两边同乘以

lgcIge

一个负数」一改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C,利用y=/在第一象限内是增函数即可得到〃，>//,

Ige

所以C错误;对于选项D,利用），="在R上为减函数易得c"veJ所以D错误.所以本题选B.

【考点】指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】比较密或对数值的大小,若塞的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比

较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.

5、I）

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得。值.

【详解】

解:（2a+i）（l+i）=（2a—l）+（2a+l）i在复平面内所对应的点在虚轴上，

2a-1=0>即a=—.

2

故选D.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

6、B

【解析】

根据循环语句，输入x=l,执行循环语句即可计算出结果.

【详解】

输入X=l,由题意执行循环结构程序框图，可得：

第1次循环：X=|,i=2<4,不满足判断条件；

O

第2次循环：x=-,/=3<4,不满足判断条件；

9

3232

第4次循环：%=3，/=4>4,满足判断条件：输出结果工=3.

2727

故选：B

【点睛】

本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判

定语句，本题较为基础.

7、D

【解析】

根据样本中心点丘J）在回归直线上，求出“，求解），>15,即可求出答案.

【详解】

依题意x=3.5,亍=4.5,（354.5）在回归直线上，

4.5=1.6x3.54-67,«=-1.1,尸1.6x-1.1,

由9=1.61.1>15,工>10白，

估计第11年维修费用超过15万元.

故选:D.

【点睛】

本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.

8、C

【解析】

根据含有〃个元素的集合，有2"个子集，有2"-1个真子集，计算可得；

【详解】

解:集合［2,0,1,9｝含有4个元素，则集合亿0,1,9｝的真子集有元7=15（个）,

故选：C

【点睛】

考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有〃个元素的集合，有2”个子集，有2"-1个真子

集，属于基础题.

9、C

【解析】

分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比q所满足的

等量关系式，解方程即可得结果.

详解：根据题意有。2+4=2-3%，即/一9一1=0,因为数列各项都是正数，所以〃=上衿，而

生+&12亚-1缶旺

—~-=-=——7==——»故选C.

q+Gq1+V52

点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比心而待求量就是上，代入即可得结果.

q

10、c

【解析】

画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标,

最后代入坐标，求得二角形面积比.

【详解】

作图，设4B与OP的夹角为。，则△A3。中A8边上的高与"/"O中AB边上的高之比为美驾=美，

。尸sin0OP

=q名=①』二①一1,设弓，）［，则直线OP：）=寸一即y二&X,与y=8px联立，解得

S,咏OP%%（2〃JM

）七=4凹，从而得到面积比为①-1=3.

解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.

11、D

【解析】

设圆锥底面圆的半径为一，由轴截面面积为2可得半径一，再利用圆锥体积公式计算即可.

【详解】

设圆锥底面圆的半径为一，由己知，gx2，xJ5r=26，解得「二友，

所以圆锥的体积丫=:万，x6/=浊；r.

33

故选：D

【点睛】

本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.

12、D

【解析】

将复数化简得z=l+2i,5=l-2i,即可得到对应的点为（1,一2）,即可得出结果.

【详解】

”=含=篙翳="202，,对应的点位于第四象限.

故选：

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查共枕复数和复数与平面内点的对应，难度容易.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

14、叵

4

【解析】

将AC平移到和8G相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.

【详解】

过4作BZ）〃AC,过C作CQ〃/W,画出图像如下图所示，由于四边形ABCD是平行四边形，故8O〃AC,所

以NC/。是所求线线角或其补角.在三角形AC「中，忸G|=|CQ|=2Ji8O=26,故

8+12—8

cosZCBD=

(2x2>/2x2>/3~4

【点睛】

本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

15、—

140

【解析】

分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可.

【详解】

首先，第一行队伍的排法有用种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的

人员安排有c；c；c；种；第二行的每个位置的人员安排有种；第三行的每个位置的人员安排有ixixi种.所以

来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率P=120'g*笈=1.

耳140

故答案为：丁［.

140

【点睛】

本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.

5

16、-

2

【解析】

利用余弦定理计算cosN尸A8,cos（90“-NB48）,然后根据平方关系以及三角形面积公式，可得结果.

【详解】

设AB=4C=.E

由题可知:

PA14-AB1-PB1

cosNPAB=

2PAAB

PA2+AC2-PC2

cos(900-ZP/\^)==sinZ.PAB

2PAAC

由sin2NEW+cos?Z.PAB=1»

PA=\,PR=6,PC=2

12+X2-(V2)2

\2+X2-22

所以4-1

2x2x

化简可得：x4—6x2+5=0

则¥=5或F=i,即x=6或工=1

由所以x=JG

所以Sw^=g.A8.AC=|

故答案为：!

2

【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形，仔细观察，细心计算，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）f（x）在（0,3）上单调递增，在（3.+00）上单调递减.（2）见解析

【解析】

（1）求出导函数/（外，由确定增区间，由/'。）＜0确定减区间；

（2）求出含有参数。的/（X）,再求出尸（X）,由/'3）=c的两根是。，夕，得必=。,

计算/”（且要），代入〃=幼后可得结论.

乙

【详解】

2

解：ZU）=FXx）-G（x）=~x+2x-a\nxt函数的定义域为（0,+司，

,a-x-+2x-a

f()=_+2——=---------------

xxXX

-犬+2工+3_.\一2工一3(.r-3)(.r+l)

(D当。=-3时，f\x)

XXx

由/'(x)>0得O<X<3,由/'(X)<。得x>3,

故函数/(x)在(0,3)上单调递增，在(3,也)上单调递减.

(2)证明：由条件可得/(制=一工+2-3,x>o,rw=-i+4»

AX

•••方程/'(x)=c的两根分别为a,£(av0,.•./'(a)=c,且/'(0=c,可得a0=a.

r，p]=-i+^^i^^=z^z4<o.

[2)(a+尸产(a+尸厂(a+/7)2

【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的运算、方程根的知识.在可导函数中•般由/'(“)>。确定增区间，由

/'(x)v0确定减区间.

18、(1)12;(2)5=1273+30

【解析】

(1)根据同角三角函数式可求得cosNB4C=sinN4,结合正弦和角公式求得sinN3cA=sin(N84C+N8),即

可求得NBC4=:，进而由三角函数

2

(2)设4。=X。。=)，,根据余弦定理及基本不等式，可求得”的最大值，结合三角形面积公式可求得S,w,c的最大

值，即可求得四边形八8c。面积的最大值.

【详解】

(1)sinZ.I3AC=cosZ.B=—,

13

12

则由同角三角函数关系式可得cosNR4C=sinZ,B=

13

则sinZBCA=sin(ABAC+ZB)

=sinZBAC-cosZB+cosNBAC.sinZB

=9-=

13131313

^/RCA=-,

2

所以AC=ABsin3=13x经=12.

13

(2)设AO=x,OC=y,

在ADAC中由余弦定理可得AC2=DA2+DC2-IDADC-cosZADC,代入可得

144=$+）,2+口，

由基本不等式x2+y22是y可知144一冷止2.q,

即..448,当且仅当x=），=4G时取等号，

由三角形面积公式可得S4m0冲sinNADC

<lx48x^=126

22

SMCB=^X12X5=30,

所以四边形A3。面积的最大值为S=12/+30.

【点睛】

本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题.

4

19、（1）P（<?=3）=—:（2）投入3艘A型游船使其当日获得的总利润最大

【解析】

（1）首先计算出在［42,47）,［47,52］内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出P（J=3）.

（2）分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.

【详解】

（1）年龄在［42,47）内的游客人数为150,年龄在［47,52］内的游客人数为100：若采用分层抽样的方法抽取10人,

则年龄在［42,47）内的人数为6人，年龄在［47,52］内的人数为4人.

可得尸（八3）=等=套

（2）①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1,则E（y）=3（万元）.

②当投入2艘4型游船时，

若1<X<3,则y=3—0.5=2.5,此时尸(y=[)=〃(lvx<3)=京=:；

4

若XN3,则y=3x2=6,此时P(y=6)=P(34X«5)+P(X>5)=丁

此时丫的分布列如下表：

Y2.56

24

P

55

/14

此时£(丫)=2.5乂《+6、1=5-3(万元).

③当投入3艘4型游船时，

2I

若1<X<3,则y=3—1=2,此时P(y=2)=P(1<X<3)=^=不；

2

若3WXV5,则y=3x2-0.5=5.5,此时?(丫=5.5)=尸(3WX45)=石；

5

2

若X>5,则y=3x3=9,此时P(y=9)=P(X>5)=g；

此时y的分布列如下表：

Y25.59

22

P

555

122

此时£(y)=2x-+5.5x-+9x-=6.2(万元).

55

由于6.2>5.3>3,则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘A型游船使其当日获得的总利润最大.

【点睛】

本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题

的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

20、(1)1,+8；(2)QT,2).

\"平2J|_2+

【解析】

(I)求出=再求/'(x)NO,400,11恒成立，以及广(外工0,工£[0,1]恒成立时，。的取值范围；

(2)由已知g(D=g(0)=0,以幻在区间(0,1)内恰有一个零点，转化为/(x)=g'(x)在区间(0,1)内恰有两个零点,

由(1)的结论对。分类讨论，根据/(x)单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论.

【详解】

（1）由题意得/（.r）=c*-2（a-\）x-b,则f（x）=ex-2（。-1）,

当函数/U）在区间［0,1］上单调递增时，

fM=d—2（。—1）..0在区间［0,1］上恒成立.

・・・2（。-1）”（，）.=1（其中xw［0,l］）,解得a,1

当函数/（工）在区间［0,1］上单调递减时，

f\x）=夕一2（。-1）,,0在区间［0,1］上恒成立，

（炉）=e（其中xe［0,l|）,解得&.1+L

\'maxO

综上所述，实数a的取值范围是°•f+L+s）

（2）gfM=ex-2（a-\）x-b=fM，

由g（0）=g（l）=（）,知g（x）在区间（0,1）内恰有一个零点，

设该零点为,％,则以幻在区间（0,%）内不单调.

:.在区间（0,为）内存在零点X,

同理/（x）在区间（小,1）内存在零点整.

・••/（X）在区间（0,1）内恰有两个零点.

由（1）易知，当1时，/6）在区间（0,1）上单调递憎，

故/（2在区间（0,1）内至多有一个零点，不合题意.

当a.q+1时，Ax）在区间［0,1］上单调递减，

故/*）在区间（04）内至多有一个零点，不合题意,

3e

；・一<a<—+1.令f'（x）=0,得x=ln（2a-2）e（0,l）,

22

:.函数八Q在区间（01n（2a-2）］上单凋递减，

在区间（ln（2a-2）,1）上单调递增.

记/（X）的两个零点为〈/），

:.x,G(01n(2a-2)],x2w(1n(2a—2),1),必有f(0)=\-b>0J(\)=e-2a+2-b>0.

由g(l)=O,得a+〃=e.

/.f—=\[e+\-(a+b)=>/e+\-e<G

又•:f(0)=a-e+\>(\f(1)=2-a>(),

*,•<?-1<(7<2.

综上所述，实数。的取值范围为(。-1,2).

【点睛】

本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较

难题.

21、(I)y+/=l；(II)[472,16x/2).

【解析】

(I)利用勾股定理结合条件归4|=3归用求得归用和归用，利用椭圆的定义求得”的值，进而可得出〃，则椭圆

£的标准方程可求；

(H)设点A(x，y)、8(匕,)，2),将直线/的方程与椭圆E的方程联立，利用韦达定理与弦长公式求出|A8|,利用

几何法求得直线/截圆F+y=2所得弦长|。力，可得出|A8|・|C优关于阳的函数表达式，利用不等式的性质可求

得|4?卜|8『的取值范围.

【详解】

(I)・.・P在椭圆上，:.\PF]+\PF2\=2uf\PF]=3\PF2\t.-.|P/s|=|,|^|=y>

”上根,.•.|PK『+忻用2Tp用2,

又|耳玛|=2,.•“2=2,・・・c=L:.b=>la2-c2=b

•••椭圆E的标准方程为5+9=1；

(IT)设点A(x，y)、3(%,%)，

x=my+1/,、,

联立〈、2y2_2消去X，得("+2))广+2加)，-1=0,.•.△=8>+8>O,

2

BI2m1,,t——,2yfl(m+\]

则2』

y+M=--y%=--:.\1A^1=^+m\y1.-yA=——-------

tn+2m+2f+