广东省深圳市龙华区2025-2026学年高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省深圳市龙华区高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.用数字0，1，2可以组成多少个没有重复数字的三位数（）A.4 B.5 C.6 D.82.已知直线2x-y+1=0与直线x+ay=0垂直，则实数a的值为（）A.-2 B. C. D.23.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，设，，，E是A'C'的中点，则=（）A.

B.

C.

D.+

4.已知具有线性相关关系的变量x,y,其样本点为（xi，yi）（i=1，2，…，6），，，经验回归直线方程为=0.6x+，则=（）A.8.6 B.9.4 C.12.4 D.12.65.已知随机变量X～N（1，σ2），随机变量Y～N（2，σ2），若P（X＜3）=0.9，则P（Y＜0）=（）A.0.1 B.0.2 C.0.8 D.0.96.连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，每次正面向上得3分，每次反面向上得1分，记总得分为X，则E（X）=（）A.4 B.6 C.8 D.127.已知双曲线的两条渐近线夹角为60°，离心率e∈（1，2），则该双曲线的标准方程可能是（）A. B. C. D.8.已知函数在[0，+∞）上的最小值为h（a），则h（a）的最大值为（）A.1 B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.为研究分类变量X与Y是否独立，零假设H0：X与Y相互独立，得到关于X与Y的抽样数据的2×2列联表，计算得χ2=3.2.若将原列联表中每个单元格的数据都扩大为原来的2倍，得到新的2×2列联表及其对应的，则（）

附卡方计算公式及临界值表：α0.050.0250.010.001χα3.8415.0246.63510.828A.

B.

C.依据小概率值α=0.05的独立性检验，由原列联表没有充分证据推断H0不成立，可以认为X与Y独立

D.依据小概率值α=0.01的独立性检验，由新列联表推断H0不成立，即认为X与Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.0110.在△ABC中，B=90°，，D，E分别是AB，AC中点，将△ADE沿DE折起至A′DE.设二面角A'-DE-B为θ，则（）A.DE⊥A′B

B.当θ=60°时，平面DEA'与平面BCA'的夹角为60°

C.存在θ，使平面DEA'⊥平面BCA'

D.存在θ，使11.已知抛物线C：x2=y,圆M：x2+（y-a）2=r2（r＞0），与抛物线C和圆M都相切的直线有n条，则（）A.当r=2，a=0时，n=2 B.当r=1，a＞1时，n=0

C.当r=2，n=3时，a=±2 D.n=1的充要条件是a=r且三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若一个等差数列的前5项和为25，前10项和为100，则该数列的公差为

.13.（x+1）（3x-1）4的展开式中x的系数为

.14.从两台机器A、B生产的零件中，按1：2的比例抽取样本.已知机器A产出零件的合格率为90%，机器B产出零件的合格率为75%.在A的合格品中，一级精度率为；在B的合格品中，一级精度率为.若抽取到的某件样本是一级精度，则它产自机器A的概率为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}是等比数列，a2=2，a5=16.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列{an+2n}的前n项和Tn.16.(本小题15分)

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为PD的中点.

（1）证明：PB∥平面EAC；

（2）求直线BD与平面EAC所成角的正弦值.17.(本小题15分)

已知椭圆C：的离心率为，焦距为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M（0，2）且斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点且|MA|＜|MB|，点B关于y轴的对称点为点D.

（i）证明：直线AD恒过定点N，并求出点N的坐标；

（ⅱ）设O是坐标原点，若△NOD的面积是△ANM面积的3倍，求直线l的方程.18.(本小题17分)

将1，2，…，2n（n∈N*）这2n个正整数随机分为A和B两组，每组各n个数，所有分法等可能.记A组中最小数为a,B组中最小数为b,X=|a-b|.

（1）当n=2时，求P（a=1），P（X=1）；

（2）当n≥3时，求P（X=3）关于n的表达式；

（3）求X的数学期望E（X）关于n的表达式，并证明1≤E（X）＜2.

参考公式：.19.(本小题17分)

已知函数.

（1）当a=0时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）有唯一零点，求a的取值范围；

（3）若f（x）存在两个不同且均不大于1的零点x1，x2，证明：x1+x2+a＞3.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】2

13.【答案】-11

14.【答案】．

15.【答案】解：（1）数列{an}是等比数列，a2=2，a5=16，

可得q3==8，故q=2，

可得a1==1，故an=1×2n-1=2n-1；

（2）an+2n=2n-1+2n为等差数列和等比数列的和，

可得数列{an+2n}的前n项和Tn=+=n2+n+2n-1．

16.【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接OE，

则O是BD的中点，

因为E是PD的中点，

所以OE∥PB，

又OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，

所以PB∥平面EAC．

（2）解：因为底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，

所以AB，AD，AP两两互相垂直，

故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

设PA=AB=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，1，1），

所以=（-2，2，0），=（2，2，0），=（0，1，1），

设平面EAC的法向量为=（x,y,z），则，

取=（1，-1，1），

设直线BD与平面EAC所成角为θ，

则sinθ=|cos＜，＞|===，

故直线BD与平面EAC所成角的正弦值为．

17.【答案】（1）解：由题意得，故．

离心率，代入得a=2．

由a2=b2+c2得b2=4-2=2，故椭圆C的方程为；

（2）（i）证明：设直线l的方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则D（-x2，y2）．

联立，整理得（1+2k2）x2+8kx+4=0．

Δ=（8k）2-4×（1+2k2）×4=32k2-16＞0，即．

由韦达定理得，x1x2=．

直线AD的方程为．

令x=0得：=

===1．

故直线AD恒过定点N（0，1）；

（ii）解：，．

由S△NOD=3S△ANM，得|x2|=3|x1|，结合|MA|＜|MB|及x1x2＞0得x2=3x1．

代入韦达定理结果得，=，解得k2=1，即k=±1．

故直线l的方程为y=x+2或y=-x+2．

18.【答案】解：（1）当n=2时，将1，2，3，4随机分为两组各2个数，总分法为种，

a=1表示1在A组，A组剩余1个数从2，3，4三个数中选取，有种，

则，

X=|a-b|=1等价于一组最小数为1，另一组最小数为2，

若1在A组、2在B组：A组从3，4两个数中选一个，有种，

若1在B组、2在A组：同理有2种，

则；

（2）X=3等价于：1组最小数为1，另一组最小数为4，同时2，3必须与1在同一组，4在另一组，

含1的组已有1，2，3共3个数，还需从剩余2n-4个数中选n-3个，选法为种，

1在A组或者B组，即一共有种，总分法有种，

因此，

且，

P（X=3）===，

（3）X的取值范围为1，2...，n,

对任意的k=1，2，．，n,与（2）同理，

由组合数的性质得，

因此=，

由参考公式代入可得，

又因为代入化简；

证明如下：，

由于n∈N*，故n+1≥2，则，

所以，即1≤E（X）＜2（当且仅当n=1时取等号）．

19.【答案】解：（1）当a=0时，，

求导可得，，

又，

所以切线方程为：y-0=1•（x-1），即y=x-1．

（2）由，得出，

函数和y=a（x-1）同过点（1，0），即g（x）和y=a（x-1）恒交于（1，0），

f（x）有一个零点，即有一个解，即g（x）和y=a（x-1）除（1，0）外无交点，画出函数图象，

结合图象可知若保证直线y=a（x-1）和g（x）只有一个交点，直线y=a（x-1）可从x=1（不包括x=1）处旋转到y=0，

此时斜率a的范围是（-∞，0]；

另外y=a（x-1）和g（x）相切时符合题意，

由（1）已算出（1，f（1））处的斜率为1，

所以a的范围是（-∞，0]∪{[1}．

（3）证明：根据（2）的结论可知两个零点分别为x1∈（0，1）和x2=1，

由f