专题02 平面向量（三大考点83题）10年（2017-2026）高考数学真题分类汇编（解析版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题02平面向量（三大考点，83题）考点分类五年考情（2017-2026）命题规律考点01平面向量的线性运算2020山东卷、2020海南卷、2018全国Ⅰ卷、2017北京卷、2017全国Ⅱ卷1.题型以选择题为主，整体难度偏低。2.依托三角形、平行四边形等几何图形，考查向量加减、数乘的线性分解。3.结合向量共线、反向等性质，综合考查充分、必要条件判断。考点02平面向量的基本定理及坐标表示2026全国一卷、2026上海卷、2026天津卷、2025全国一卷、2025上海卷、2024上海卷、2024天津卷、2023天津卷、2023上海卷、2022新高考全国Ⅰ卷、2022天津卷、2021全国乙卷、2018全国Ⅲ卷、2017山东卷、2017江苏卷选择题、填空题均有考查，填空题多为求值、求解参数范围类题型。核心考查平面向量基本定理、向量坐标运算、向量共线的坐标判定。3.常结合三角形、正方形以及实际生活情境命题，兼顾参数求解与几何最值问题，题型灵活。考点03平面向量的数量积2026全国二卷、2026上海卷、2025北京卷、2025天津卷、2025全国二卷、2025上海卷、2024新课标Ⅰ卷、2024新课标Ⅱ卷、2024全国甲卷、2024北京卷、2023北京卷、2023全国甲卷、2023全国乙卷、2023新课标Ⅰ卷、2023新课标Ⅱ卷、2022新高考全国Ⅱ卷、2022全国甲卷、2022全国乙卷、2022北京卷、2022上海卷、2021新高考全国Ⅰ卷、2021新高考全国Ⅱ卷、2021浙江卷、2021天津卷、2021北京卷、2021全国甲卷、2021全国乙卷、2020山东卷、2020全国Ⅰ卷、2020全国Ⅱ卷、2020全国Ⅲ卷、2020北京卷、2020浙江卷、2019全国Ⅰ卷、2019全国Ⅱ卷、2019全国Ⅲ卷、2019北京卷、2019天津卷、2019上海卷、2018全国Ⅱ卷、2018浙江卷、2018天津卷、2018北京卷、2017全国Ⅰ卷、2017全国Ⅱ卷、2017全国Ⅲ卷、2017浙江卷、2017天津卷、2017山东卷、2017北京卷本专题考查题量最大，选择题、填空题为主要题型，是平面向量的核心重难点。重点考查数量积运算、向量模长、夹角、垂直判定以及向量投影计算。3.常结合三角形、多边形、平面动点考查取值范围与最值，也会融合常用逻辑用语命题，综合性较强，区分度明显。考点01平面向量的线性运算（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结，则为的中位线，，

故选：A（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.（2018·全国I卷·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.（2017·北京·高考真题）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】判断充分必要条件的方法：（1）根据定义，若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知,若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断.（2017·全国II卷·高考真题）设非零向量，满足，则A．⊥ B．C．∥ D．【答案】A【详解】由平方得，即，则，故选A.【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.考点02平面向量的基本定理及坐标表示（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】由平面向量基本定理可得.【详解】由题意可知平面向量不共线，且，则.（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________.【答案】2【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.【详解】因为，所以，即，解得.故答案为：2.（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________．【答案】【分析】第一空：利用和得出和的值，即可得出结论；第二空：解法一：将代入得，展开，令，，，代入并整理，得出，即可求出的取值范围.解法二：设，，，根据可设，进而可得，即可得取值范围.解法三：不妨设，，，，，可知点在直线上，且点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可.【详解】由题意，，，，第一空：当时，，∴，∴.第二空：解法一：将代入得，两边平方，得：，展开：，代入，，记，，令，，，则原式变为：，配方得：，由于，，因此，即，解得，，因此，的取值范围为：.解法二：因为，，不妨设，，，则，，若，设，则.解法三：因为，，不妨设，，，即点在直线上，且，，因为，若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出），若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上，则圆在直线和之间，可得，即，所以的取值范围为.（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（

）级数名称风速大小（单位：m/s)2轻风1.6~3.33微风3.4~5.44和风5.5~7.95劲风8.0~10.7A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风【答案】A【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论.【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：，∴，，∴由表得，真风风速为轻风，故选：A.（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________．【答案】/【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由得，解得.故答案为：.（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为______．【答案】15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______．【答案】【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.【详解】解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；因为点在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；.（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________．【答案】【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故答案为：；.

（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________．【答案】【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解.【详解】因为，所以，故答案为：（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则_________．【答案】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示___________，若，则的最大值为____________【答案】【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．【详解】方法一：，，，当且仅当时取等号，而，所以．故答案为：；．方法二：如图所示，建立坐标系：，，，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．故答案为：；．（2018·全国III卷·高考真题）已知向量，，．若，则________．【答案】【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．【详解】由题可得,即故答案为【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．（2017·山东·高考真题）已知向量a=（2,6）,b=,若a∥b,则____________.【答案】-3【详解】由可得【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.（2017·江苏·高考真题）如图，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．

【答案】【详解】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知，，可得，，由可得，，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．考点03平面向量的数量积（2026·全国二卷·高考真题）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，所以，即；由，得，所以，即.两式相减，得，所以.（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．【详解】因为，，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故选：D.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.【详解】因为，所以，所以即，故，故选：D.（2024·北京·高考真题）设，是向量，则“”是“或”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.故选：B.（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，结合，得，由此即可得解.【详解】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量满足，所以.故选：B（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.

（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，，所以.故选：B.（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,故选：C（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D

（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，，当时，与垂直，，所以成立，此时，不是的充分条件，当时，成立，是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.（2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.（2020·全国III卷·高考真题）已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，，，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.（2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.（2019·全国II卷·高考真题）已知向量，则A． B．2C．5 D．50【答案】A【分析】本题先计算，再根据模的概念求出．【详解】由已知，，所以，故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．（2019·全国I卷·高考真题）已知非零向量满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．（2019·全国II卷·高考真题）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A．-3 B．-2C．2 D．3【答案】C【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，，得，则，．故选C．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．（2018·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是A． B． C．2 D．【答案】A【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设，则由得，由得因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.（2018·全国II卷·高考真题）已知向量满足，，则A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：（2018·天津·高考真题）如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设=所以当时，上式取最小值，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。（2018·天津·高考真题）在如图的平面图形中，已知,则的值为A． B．C． D．0【答案】C【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．（2017·浙江·高考真题）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则

A．I１<I２<I３ B．I１<I３<I２ C．I３<I１<I２ D．I２<I１<I３【答案】C【详解】因为，，，所以，故选C．【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求得，，进而得到．（2017·全国II卷·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________.【答案】【分析】先利用与表示、，再将转化为与的计算，进而求解.【详解】,与所成的夹角为令，则当时，的最大值为.故答案为：.（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______【答案】；【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.【详解】如图，因为，所以，所以．因为D为线段的中点，所以；又因为，所以，，所以所以，所以．故答案为：；.（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________【答案】【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，因为，则，则，解得.则，则.故答案为：.（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________．【答案】【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果.【详解】根据题意不妨设，，，，则，由可得，由可得；设，故在以为圆心，为半径的圆上；在以为圆心，1为半径的圆上；过作于，则即为在上的数量投影，如下所示：因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长，设，即，故，因为此时为定长，且，故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示：在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故；在△中，，，故，因为,故在直角三角形中，，则，即；在四边形中，因为，故，当且仅当时等号成立，从而.综上所述：在方向上的数量投影的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值.（2023·上海·高考真题）已知，，求________【答案】4【分析】由平面向量数量积的坐标运算公式求解.【详解】因为，，则故答案为：4（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则______．【答案】【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则______________．【答案】/【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．【答案】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________【答案】【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，设，，则，当时，故答案为：.（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．【答案】1【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，，，为边长为的等边三角形，，，，，所以当时，的最小值为.故答案为：1；.（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，，，_______．【答案】【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________；________.【答案】03【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则，，，.故答案为：0；3.（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影的数量分别为x，y，在方向上的投影的数量为z，则的最小值为___________.【答案】【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影的数量分别为x，y，所以，所以在方向上的投影的数量，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则__________．【答案】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则_________.【答案】【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为：.（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则________．【答案】.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．【答案】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．【答案】【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.【详解】，，，.故答案为：.【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.（2020·全国I卷·高考真题）设向量，若，则______________.【答案】5【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【详解】由可得，又因为，所以，即，故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.（2020·全国I卷·高考真题）设为单位向量，且，则______________.【答案】【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.【详解】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.（2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.【答案】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.【详解】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2019·北京·高考真题）已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________.【答案】8.【分析】利用转化得到加以计算，得到.【详解】向量则.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.（2019·全国III卷·高考真题）已知向量，则___________.【答案】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】．【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．（2019·全国III卷·高考真题）已知为单位向量，且=0，若，则___________.【答案】.【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.【详解】因为，，所以，，所以，所以．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．（2019·天津·高考真题）在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，