专题28 直线与圆选填题综合（五大考点58题）10年（2017-2026）高考数学真题分类汇编（解析版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题28直线与圆选填题综合（五大考点，58题）考点分类十年考情（2017-2026）命题规律考点01直线方程及点到直线的距离公式2026上海、2024北京/上海、2021全国甲/乙/新高考Ⅱ/上海、2020山东/全国Ⅲ/北京、2018北京/全国Ⅲ、2019江苏1.基础送分小题，贯穿解析几何各类题型。2.考查倾斜角、直线对称、两直线夹角、定点直线距离最值、圆锥曲线焦点/曲线上点到直线距离。3.公式固定，计算量小，常与圆、双曲线、抛物线结合出题。考点02圆的方程及半径2023上海、2022全国甲/乙、2020山东、2019北京、2018天津1.入门基础题型，分为标准方程、一般方程互化。2.已知圆心、切线、多点、几何关系求圆方程，由方程求半径、面积。3.载体包含普通圆、以圆锥曲线焦点为圆心的圆。考点03弦长问题2024全国甲、2023全国甲、2022天津、2021北京/天津、2020全国Ⅰ/天津、2018全国Ⅰ1.高频中档小题，直线与圆核心计算。2.利用垂径定理：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形；考查弦长最值、已知弦长求参数。3.常结合动直线、渐近线与圆相交场景。考点04切线问题2026全国二/北京、2025天津、2024新课标Ⅱ、2023新课标Ⅰ、2022全国甲/新高考Ⅰ、2020全国Ⅰ/Ⅱ/Ⅲ/浙江、2019浙江、2017天津1.重难点多选、填空，综合性强。2.考法：过点作圆切线、公切线、切线夹角、切线方程、渐近线与圆相切求参数。3.融合抛物线、双曲线、双圆模型，几何条件多变。考点05直线与圆综合2026全国一卷、2025全国一卷、2023全国乙/天津、2022上海/北京、2024天津、2021新高考Ⅰ、2020北京、2018全国Ⅲ、2017江苏1.解析几何选填压轴热门题型，多选居多。2.涵盖点分布个数、线性最值、面积范围、对称直线与圆交点、多圆截弦、向量不等式约束圆上点。3.结合几何直观、数形结合、概率、圆锥曲线交点综合命题。考点01直线方程及点到直线的距离公式（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得，即，则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D.（2021·全国甲卷·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，因为点在直线上，所以即.故选：D.（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.【详解】结合图像易知，，，则角是第四象限角，故选：D.（2020·全国III卷·高考真题）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.【详解】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为A． B．C． D．【答案】C【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.【详解】为单位圆上一点，而直线过点，所以的最大值为，选C.【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．（2018·全国III卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：所以双曲线的渐近线方程为所以点（4，0）到渐近线的距离故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________.【答案】/0.6【分析】根据点到直线的距离公式求解即可.【详解】根据点到直线的距离公式可得.故答案为：.（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角______．【答案】（或）【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围确定最终角度.【详解】因为，所以所以直线的斜率设直线的倾斜角为（），则所以（即弧度）.答案为：（或）.（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为________．【答案】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为.故答案为：（2021·上海·高考真题）求直线与直线的夹角为________.【答案】【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故直线与直线的夹角为，故答案为：．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.故答案为：；.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.【答案】4.【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.由，得，，即切点，则切点Q到直线的距离为，故答案为．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.考点02圆的方程及半径（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.（2023·上海·高考真题）已知圆的方程为，其面积为，则______.【答案】【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果.【详解】由得，圆的半径为，由圆的面积为得，，解得.故答案为：.（2023·上海·高考真题）已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________【答案】【分析】先求得圆的标准方程，从而求得圆的半径.【详解】圆即，所以圆的半径为.故答案为：（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．【答案】【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】[方法一]：三点共圆∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为.故答案为：[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线的交点(1,-1).,的方程为.故答案为：（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】或或或．【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为，（1）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（2）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（3）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（2）若圆过三点，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为；（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为．故答案为：或或或．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．（2019·北京·高考真题）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．【答案】(x-1)2+y2=4.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2018·天津·高考真题）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：，解得：，则圆的方程为.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．考点03弦长问题（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.【详解】因为直线，即，令，则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，当时，的最小，此时.故选：C（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，，此时.

故选：C（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的渐近线为，当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出【详解】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，取得最小值为，解得.故选：C.（2020·全国I卷·高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为_____．【答案】【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，因为，解得.故答案为：.（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．【答案】【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【详解】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.（2020·天津·高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．【答案】5【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．【详解】因为圆心到直线的距离，由可得，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．（2018·全国I卷·高考真题）直线与圆交于两点，则________．【答案】【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公式即可求出．【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，弦心距，所以．故答案为：.［方法二］：距离公式的应用由解得：或，不妨设，所以．故答案为：.［方法三］：参数方程的应用直线的参数方程为，将其代入，可得，化简得，从而，所以．故答案为：.【整体点评】方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算偏麻烦；方法三：直线参数方程中弦长公式的应用．考点04切线问题（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以；方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得.故选：B.

（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.（2020·全国I卷·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．【详解】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．（2020·全国II卷·高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（

）A．点的坐标为B．当时，与轴相切C．当时，与相切D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为【答案】BC【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断；对于B，利用圆心到的距离即可判断；对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断；对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解.【详解】由：，化简可得，所以，的圆心，半径，故A错误；对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确；对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确；对于D，由，化简得：，所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误.（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________．【答案】2【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可.【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，圆的半径为，圆心到直线的距离为，故，解得；故答案为：2.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（

）A．l与相切B．当P，A，B三点共线时，C．当时，D．满足的点有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和相切，A选项正确；B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，此时切线长，B选项正确；C选项，当时，，此时，故或，当时，，，，不满足；当时，，，，不满足；于是不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，，这里，于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，，中点，中垂线的斜率为，于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，，即的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点，使得，D选项正确.方法二：（设点直接求解）设，由可得，又，又，根据两点间的距离公式，，整理得，，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D选项正确.故选：ABD（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________．【答案】【详解】圆的圆心为，半径.由直线与圆相切，则得，解得.（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．【答案】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为：．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．【答案】或或【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可[方法二]：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可[方法三]：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.（2020·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．【答案】【分析】由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可.【详解】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案为：【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.（2019·浙江·高考真题）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______.【答案】【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.【详解】可知，把代入得，此时.【点睛】解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.（2017·天津·高考真题）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为____________.【答案】【详解】设圆心坐标为，则，焦点，，，，由于圆与轴得正半轴相切，则取，所求圆得圆心为，半径为1，所求圆的方程为.考点05直线与圆综合（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.【详解】由题意，在圆中，圆心，半径为，到直线的距离为的点有且仅有个，∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B.（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令，则，代入原式化简得，因为存在实数，则，即，化简得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，则，，所以，则，即时，取得最大值，法三：由可得，设，则圆心到直线的距离，解得故选：C.（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，结合对称性可得所求概率.故选：C.

（2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论：①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧；②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上.则下列判断正确的是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】B【分析】对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑.【详解】对于①，取直线,则对于任意的，有，故圆均在直线的下方，而对任意的，有，故圆均在直线的上方，而当时，表示原点，它在直线的下方，故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧.所以①成立.对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立.故选：B（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（

）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.（2018·全国III卷·高考真题）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．（2026·全国一卷·高考真题）（多选）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（

）A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为【答案】BCD【分析】已知三个圆均为半径的等圆，圆心分别为、、，利用弦长公式（为对应圆心到直线的距离，且以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可.【详解】记到直线的距离分别为，则，，.∵直线与三个圆均有两个交点，∴，，，对应弦长为.A：∵解，得，解，得，不妨取，∵，∴，记，解，得，记，当，即时，，此时不存在这样的直线与三个圆都相交.∴不能取任意实数，A错误.B：∵，∴.由得，平方得，即或.①当时，直线为，由得，解得，此时，符合条件，对应直线条.②当时，直线为，由得，解得，此时，符合条件，对应直线条.综上，共条直线满足条件，B正确.C：令，∴，，令，则，∴.令，即，平方整理可得，解得或，即或，经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，C正确.D：当时，，，∴，，令，则，∴.设，求导得，令得，此时取最大值，∴的最大值为，D正确.

【点睛】方