专题02 函数的概念与性质 2026年高考数学真题分类汇编（答案版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题02函数的概念与性质答案版考点01函数的图像1．C考点02函数的性质1．D2．D3．4．5．考点03函数与方程1．2．①②③④考点04函数新定义1．【答案】(1)(2)由题意证明如下：在中，是奇函数，当时，．∴，当时，，∴在集合中，当时，，当时，，当时，，∴，∵，∴且，即，，∵，∴①当时，解得，，，此时，②当时，解得，，，此时，③当时，解得，，，此时，综上，.(3)（i）由题意证明如下，法一：若，则存在，使得，条件①：若，则，∴，则，取，则，此时，∵，则，即，但，相矛盾，∴法二：假设，则存在，使得，从而，这导致，但，∵根据条件又有，矛盾，∴假设不成立，.（ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下，在集合中，要证在上单调递增，即需证，，都有，即需证，，都有，①先证明：当时，，假设，使得，∵当时，，∴，使得，∴，而当时，，否则，使得，，与矛盾，∴，∴，∴，由（3）（i）得，，则，由条件②：当时，，则，否则时，与矛盾，∴若，使得，则，，（*）∴，使得，则，令，，此时，则，则，∴，∵，∴易取，满足，使得，根据（*）可得，此时，与矛盾，∴当时，，②证明：对，，都有，∵，，都有，∴，对任意给定的，取，则，∴对，，都有，∴在上单调递增.【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出；（2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论；（3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论；法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论；（ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增.【详解】（1）由题意，在中，，，在中，，∴，当时，，，解得，当时，，解得，∴，∴.（2）略（3）（i）略（ii）略2．【答案】(1)是排列；(2)；(3)首先证明第1个结论，观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立，那么排列都将是排列，此时至少为4．当时，即，因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数，则恒成立，又因为函数在上单调递增，则在区间上，，.若恒成立，则，则只需，即，因为对任意的，，则，则，则解得，当时，即，因为严格递减，所以且，，只要，就有，则可取即可满足题意．即存在，使得.再证明第2个结论.假设对于任意的，都有，因为（2）中①排列始终满足条件，则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列．首先，我们证明不可能恒成立：假设对于某个，在上恒有．即，即，取．由于严格递增，令，则，于是对任意正整数：，当时，，这与矛盾！因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列．接下来只剩②排列，其需满足，⑤排列，其需满足，⑥排列，其需满足，下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真．（i）若对任意，都有，即都有，对于任意和，则，当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到，所以恒成立，则对所有的恒成立.则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立，则，与假设矛盾！（ii）并非对于所有都有，即，则必定存在，使得，设，因为是严格单调递增的连续函数，则对于已知的，总可以找到，使得，即，即，同时，因为严格递增且，必有．即，即，即，则可取充分小的使得，即存在，使得，所以＂恒成立＂这个命题是假的．既然为假，那么＂恒成立＂必须为真．即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足，则对于，在时都有：，即，取，则对于任意：，因为严格递增，则．则又因为，则即，对任意都成立．取，因为，则，则对于内的任意，都满足，因为，故有，但是，之前我们得到，即，则，则有：，这与我们的假设相矛盾．综上，原命题成立，必然存在，使得．【分析】（1）根据排列的定义判断即可；（2）分析得，，的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可；（3）第一个结论分和讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明.【详解】（1）由题意得，则当，，则恒成立，，则恒成立，故是为排列.（2）若，则1，2，3的全排列均满足题意，①，则有：，此时两个不等式显然成立．②，则有：，即.③，则有：，即.④，则有：，即.⑤，则有：．⑥，则有：，即.则上述不等式均要成立，取它们的交集有，即，即对恒成立，分离参数得，因为当时，，所以.（3）略.一、单选题1．D2．A3．D4．A5．A6．A7．B8．B9．A10．A二、多选题11．BCD12．AB13．ABD14．ABD15．ABD16．ABD17．ACD三、填空题18．19．20．21．/四、解答题22．【答案】(1)不是，理由见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）利用给定函数的单调性，结合给定的定义列式，再利用不等式性质判断即可.（2）利用给定定义，借助换元法及不等式性质推理得证.（3）由已知及给定定义，结合不等式性质及取等号的条件可得或，再利用定义，结合不等式性质求出.【详解】（1）函数在上单调递增，，则，，因此没有最大值，曲线不是“上界斜率曲线”.（2）令，，由函数的定义域为闭区间，且曲线是“上界斜率曲线”，得，恒成立，且存在，使得，函数定义域内任意两个不同值，使得，而，则，函数在两点连线的斜率，则恒成立，且存在，使得，所以曲线是“上界斜率曲线”.（3）由函数的定义域与值域均为，得存在，使得，而曲线为“上界斜率曲线”，且，则，因此，又，则，，必有或，当时，且，即且，因此且，则；当时，且，即且，因此且，则，所以.23．【答案】(1)，(2)假设存在实数，使得，分两种情况讨论:若，结合函数严格增，可得，再由，代入得，整理可得，与矛盾；若，因为严格增，可得，结合，代入得，整理可得，与矛盾，综上可知，假设不成立，即对任意的，都有，得证.(3)已知对所有成立，令，即，,则，代入,可得，化简得：，对任意，构造数列满足.由可知，，则数列为等比数列，则，所以，若，则当时，，与矛盾，因此必须有，即对任意的，，故，其函数唯一.【分析】（1）由函数新定义列出方程，利用对应系数相等即可求出；（2）由反证法结合严格增函数的性质推导，分与两种情况讨论；（3）利用函数的递推，求证与矛盾，即可求解.【详解】（1）因一次函数具有性质，则，则可得：，解得或，因为，所以，.（2）略（3）略24．【答案】(1)①是“上域函数”，②③是“下域函数”；(2)(3)构造函数，代入，累加可得，故仅需证即可，构造函数，其中，在上单调递减，，即，当时，，可得，原命题得证.【分析】（1）结合定义并利用导数证明不等式，最后得到结论即可.（2）对的取值进行分类讨论，再利用分离参数法求解参数范围即可.（3）结合题意利用放缩法和导数证明不等式即可.【详解】（1）对于①，令，定义域为，而，当时，恒成立，则在上单调递减，且，则，可得，得到是在上的上域函数，对于②，令，定义域为，而，当时，恒成立，则在上单调递增，且，则，可得，得到是在上的下域函数，