专题02 函数的概念与性质 2026年高考数学真题分类汇编（解析版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题02函数的概念与性质考点分类2026年高考命题解读创新考法考点01函数的图像强调直观想象与特殊值验证。试题不再单纯考查函数图像的绘制，而是侧重于通过已知图像辨识函数解析式（如天津卷）。重点考查学生对函数奇偶性（对称性）和特殊点（如x=0处的函数值）的敏感度。“排除法”与“特征点”结合：

如天津卷第1题，解题关键不在于完全确定解析式，而是通过代入特殊值（x=0）或判断函数值的正负，快速排除不符合图像特征的选项，体现了“多想少算”的命题导向。考点02函数的性质突出“性质”的综合应用与实际情境融合。试题涵盖了奇偶性、单调性、周期性的常规考查（如北京卷、天津卷），同时出现了将函数性质与物理、生活常识结合的新趋势（如北京卷音高与频率、全国Ⅰ卷三角函数性质）。跨学科情境与逻辑推理：

1.

生活情境入题：如北京卷第4题，将对数函数单调性应用于“音高与频率”的转换，考查数学建模素养。

2.

参数与性质互推：如全国Ⅰ卷第5题，已知函数为偶函数且单调递增，反求参数

φ和

ω

的值，考查逻辑推理的严密性。考点03函数与方程聚焦“数形结合”与“转化思想”。试题重点考查函数零点个数与参数范围的求解（如全国Ⅱ卷、北京卷）。难点在于如何将复杂的代数问题转化为几何问题，或利用函数性质（如偶函数、单调性）简化讨论过程。多维度的转化与构造：

1.

构造新函数（同构）：如全国Ⅱ卷，将方程f(x)=0

两个基本函数的交点个数来判断零点个数。

2.

分类讨论的精细化：如北京卷第2题，结合函数的奇偶性，分“在(0,1)内有零点”和“无零点”等多种情况讨论函数的最值和交点个数，对逻辑思维要求极高。考点04函数新定义2026年高考函数新定义题命题采用"新定义+递进设问"模式，考查信息提取与逻辑推理能力。试题突破传统函数题型框架，要求考生现场理解抽象概念并迁移应用，突出"多想少算"理念，强调数学本质理解和探究创新能力.抽象逻辑证明、复杂情境建模考点01函数的图像1．（2026·天津卷·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.【详解】由题意，由题意及图得，函数为奇函数，且当时，，对A选项，当时，，与图象不符，故A错误；对B选项，当时，，与图象不符，故B错误；对D选项，当时，，与图象不符，故D错误；对C选项，在中，，即该函数为奇函数，，与图象相符，故C正确.考点02函数的性质1．（2026·北京卷·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误；B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误；方法一：C，在中，，则，，函数单调递减，故错误；D，在中，，解得，，则为奇函数，，即函数在定义域上单调递增，故正确.法二：C，在中，，则，为奇函数，∵和是减函数，∴函数单调递减，故错误；D，在中，，解得，，为奇函数，∵和是增函数，则为增函数，∴函数单调递增，故正确.2．（2026·天津卷·高考真题）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得.【详解】，则，，即的周期为，结合奇偶性，周期性，故，在上满足，说明的对称轴为，则，解得，又根据知，而，则，于是，即，解得3．（2026·上海卷·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________．【答案】【分析】根据偶函数的性质求解.【详解】因为函数是偶函数，当时，，所以，解得.4．（2026·北京卷·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________．【答案】【详解】由题意，则，解得，所以f的取值范围为.5．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________．【答案】【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果.【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知，因为函数在内单调递增，则，即，可得，解得，且，，则，解法一：因为函数为偶函数，则，，且，则，，若，则，即或，不符合题意，若，则，即或，符合题意；且或；综上所述：，.解法二：因为，若函数为偶函数，则，即，且，则，若，则，，即或在内恒成立，可知函数在内单调递减，不符合题意，若，则，，即或在内恒成立，可知函数在内单调递增，符合题意，且或；综上所述：，.解法三：因为函数为偶函数，且函数在内单调递增，可知在处取到极小值，则，，且，则，，则，即或，符合题意；且或.考点03函数与方程1．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________．【答案】【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题.方法二：把函数有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题.【详解】令，得，即，方法一：令，则，即，,则一元二次方程有两个正根，那么，所以，的取值范围是.方法二：设，那么设，则，由于在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，且，根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是.2．（2026·北京卷·高考真题）已知，给出下列四个结论：①在上有最小值和最大值②，有3个解；③，时，有最大值；④，与有4个交点.其中正确结论的序号是________．【答案】①②③④【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；③，求出在上的单调性，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断.【详解】由题意，①在中，，，，函数为偶函数，在中，，∴函数单调递增，∵，∴当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴函数在处取最小值，，在中，，为偶函数，当在内有零点时，即，，使得，此时在，上单调递减，在，上单调递增，，，，∵，∴，∴在和处取最小值，，在处取最大值，当在内无零点时，，在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得最小值，，在处取得最大值，，故①正确；②同①可得推广结论，在中，，，为偶函数，即，，使得，，此时在，上单调递减，在，上单调递增，∴在和处取极小值，当时，，，，∵在上单调递减，，∴，使得，∵在上单调递增，，∴，使得，∴当时，，∴，有3解，故②正确；③当时，，，，由①可得，在上单调递增，∵，，∴，使得，∴在中，，此时在上单调递减，在上单调递增，∴在处取最大值，③正确；④由②可得，在中，，此时在，上单调递减，在，上单调递增，在中，，，开口向上，∴函数，即恒成立，∴∴在下方，∵，∴在轴上方，此时与有4个交点，故④正确.考点04函数新定义1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合．(1)若当时，，求；(2)若是奇函数，，且，证明：；(3)设满足：①若，则；②当时，．（i）证明：；（ii）证明：在区间单调递增．【答案】(1)(2)由题意证明如下：在中，是奇函数，当时，．∴，当时，，∴在集合中，当时，，当时，，当时，，∴，∵，∴且，即，，∵，∴①当时，解得，，，此时，②当时，解得，，，此时，③当时，解得，，，此时，综上，.(3)（i）由题意证明如下，法一：若，则存在，使得，条件①：若，则，∴，则，取，则，此时，∵，则，即，但，相矛盾，∴法二：假设，则存在，使得，从而，这导致，但，∵根据条件又有，矛盾，∴假设不成立，.（ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下，在集合中，要证在上单调递增，即需证，，都有，即需证，，都有，①先证明：当时，，假设，使得，∵当时，，∴，使得，∴，而当时，，否则，使得，，与矛盾，∴，∴，∴，由（3）（i）得，，则，由条件②：当时，，则，否则时，与矛盾，∴若，使得，则，，（*）∴，使得，则，令，，此时，则，则，∴，∵，∴易取，满足，使得，根据（*）可得，此时，与矛盾，∴当时，，②证明：对，，都有，∵，，都有，∴，对任意给定的，取，则，∴对，，都有，∴在上单调递增.【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出；（2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论；（3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论；法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论；（ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增.【详解】（1）由题意，在中，，，在中，，∴，当时，，，解得，当时，，解得，∴，∴.（2）略（3）（i）略（ii）略2．（2026·上海卷·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为．(1)已知，，，，判断是否为排列；(2)对，，，满足条件的，求的取值范围；(3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，．【答案】(1)是排列；(2)；(3)首先证明第1个结论，观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立，那么排列都将是排列，此时至少为4．当时，即，因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数，则恒成立，又因为函数在上单调递增，则在区间上，，.若恒成立，则，则只需，即，因为对任意的，，则，则，则解得，当时，即，因为严格递减，所以且，，只要，就有，则可取即可满足题意．即存在，使得.再证明第2个结论.假设对于任意的，都有，因为（2）中①排列始终满足条件，则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列．首先，我们证明不可能恒成立：假设对于某个，在上恒有．即，即，取．由于严格递增，令，则，于是对任意正整数：，当时，，这与矛盾！因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列．接下来只剩②排列，其需满足，⑤排列，其需满足，⑥排列，其需满足，下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真．（i）若对任意，都有，即都有，对于任意和，则，当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到，所以恒成立，则对所有的恒成立.则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立，则，与假设矛盾！（ii）并非对于所有都有，即，则必定存在，使得，设，因为是严格单调递增的连续函数，则对于已知的，总可以找到，使得，即，即，同时，因为严格递增且，必有．即，即，即，则可取充分小的使得，即存在，使得，所以＂恒成立＂这个命题是假的．既然为假，那么＂恒成立＂必须为真．即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足，则对于，在时都有：，即，取，则对于任意：，因为严格递增，则．则又因为，则即，对任意都成立．取，因为，则，则对于内的任意，都满足，因为，故有，但是，之前我们得到，即，则，则有：，这与我们的假设相矛盾．综上，原命题成立，必然存在，使得．【分析】（1）根据排列的定义判断即可；（2）分析得，，的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可；（3）第一个结论分和讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明.【详解】（1）由题意得，则当，，则恒成立，，则恒成立，故是为排列.（2）若，则1，2，3的全排列均满足题意，①，则有：，此时两个不等式显然成立．②，则有：，即.③，则有：，即.④，则有：，即.⑤，则有：．⑥，则有：，即.则上述不等式均要成立，取它们的交集有，即，即对恒成立，分离参数得，因为当时，，所以.（3）略.一、单选题1．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】选项A：，定义域为，因为在单调递减，在单调递增，且是周期函数，在单调递增，在单调递减，所以在上不能满足单调递增，所以A错误；选项B：，定义域为，，是奇函数，所以B错误；选项C：，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C错误；选项D：，定义域为，，是偶函数；又，且当时，，所以，所以在上单调递增，所以D正确.2．（2026·广东广州·三模）若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】由，得，所以．3．（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（

）A．150dB B．285dB C．145dB D．235dB【答案】D【分析】设人与人交谈时的声强约为W/m²，依题推得，将这种火箭发射的声强代入公式结合对数运算即可求得．【详解】设人与人交谈时的声强约为W/m²，依题意，，则得，依题意，该火箭发射时的声强约为W/m²，则其发射的声强级约为：.4．（2026·河南·三模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据奇函数的性质得出，结合对数的运算法则即可求解．【详解】由是定义在上的奇函数，得，故，当时，，所以．5．（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设图象对应函数为，由图可得奇偶性，结合可判断选项正误.【详解】设图象对应函数为，由图可得为奇函数，注意到为偶函数，为奇函数.则为偶函数，不满足题设，故BC错误；又由图可得，，则D不满足题意，故选A6．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围.【详解】由可得或，当时，；当时，；当时，.作出函数、、的图象如下图所示：由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解，所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则.7．（2026·湖北·模拟预测）已知函数，若曲线与曲线关于直线对称，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【详解】由对称性定义可知，即，即，∴，故.8．（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解.【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减，且当时，，当时，，此时要想满足的值域为，则有，解得，结合，可得；若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意；若，则在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，的值域不可能为，不合题意；若，则在上单调递增，在上单调递增，且当时，，当时，，此时要想满足的值域为，则有，解得，结合，可得，综上所述，实数的取值范围为.9．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令得到正整数域上的递推关系，通过累加法推导的通项后代入求值.【详解】令，代入题设函数方程得：，将代入化简，得递推关系：，当时，有，则，，，故，故，则.10．（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用换元法求得的值域，再根据高斯函数定义求出结论．【详解】,设，因为，则，所以，因为，则，即，所以当时，，当时，，当时，，所以的值域是二、多选题11．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则（

）A． B．C．当时， D．，不等式恒成立【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性质求出的值域，可判断A选项；代入验算可判断BC选项；利用函数的单调性与奇偶性的性质可判断D选项.【详解】对于A选项，，因为，则，可得，所以，所以A错误；对于B选项，函数的定义域为，，所以B正确；对于C选项，，所以C正确；对于D选项，因为，故该函数在单调递减，又由B知该函数为偶函数，且，即，所以，所以D正确.12．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．B．为偶函数C．当时，在区间上单调递增D．当时，【答案】AB【详解】A：∵，∴，∵，∴，∴，故A正确.B：函数定义域为，关于原点对称，若，则，，若，则，，∴对任意，均有，即为偶函数，故B正确.C：令，在上，，当时，，不满足单调递增的定义，故C错误.D：取，满足，∵，∴，∵，∴，此时，故D错误.13．（2026·广东清远·二模）已知函数满足对且，若数列满足，则（

）A． B．C．数列是等比数列 D．【答案】ABD【详解】对于A，令，可得，正确；对于B，令，则，由和可得，正确；对于C，因为，令，则，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故错误；对于D，所以.14．（2026·浙江·三模）已知a，x，，，，则（

）A．当时， B．存在实数a，使得C．对任意，都有 D．当时，【答案】ABD【分析】对于A，利用指数不等式的解法求解即可；对于B，当时，．即可判断；对于C，设，结合导数研究单调性即可判断；对于D，根据，即可判断,利用，即可判断。【详解】对于选项A，当时，，所以，选项A正确．对于选项B，当时，．选项B正确．对于选项C，由题意，设，则．，则．故，当时，单调递减，．故使，故选项C错误.对于选项D由题意：，因为，所以，另一方面：，因为，即，所以，选项D正确，15．（2026·广西河池·二模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（

）A．为的周期 B．关于对称C． D．【答案】ABD【分析】先用赋值法求特殊值，可以排除C，再通过判断奇偶性，结合中心对称性进一步推出周期性判断A，利用中心对称性验证选项B，利用周期性拆分求和项，即可判断D.【详解】因为定义域为的函数，对任意实数、都有，所以令，可得，解得或，令，，又，若，则，显然不成立，故，所以，所以，可知C错误；令，得，即，在原函数方程中，令，得，即，所以，由，令替换为，得，，所以，，所以，故函数的一个周期为4，得A正确；因为，所以是偶函数，所以，又因为周期为4，所以，所以，所以关于对称，选项B正确；因为周期为4，所以，所以D正确.16．（2026·重庆·三模）已知函数则（

）A．∃a∈R，使得f（x）为偶函数B．∃a∈R，使得f（x）存在零点C．∀a∈R，f（x）为增函数D．∃a∈R，使得f（x）的最小值为0【答案】ABD【详解】对A，若为偶函数，则，即，则时，为偶函数，A正确；对B，当时，，当时，单调递增，单调递减，因此在上单调递增，又，由零点存在定理，在时必然存在零点，B正确；对C时，，故不是单调递增函数，C错误；对D，设，则，在坐标系中作出和的图象，则的图象是向上和向右分别移动个单位形成．如图2所示，当与的图象在第二象限相切时，的最小值为零．D正确.

17．（2026·河南开封·模拟预测）在土壤学中，常用指数模型描述土壤表层盐分含量随灌溉水淋溶深度的变化.已知某块盐碱地土壤表层初始盐分含量为（单位：），经淋溶深度为h（单位：dm）的灌溉水淋溶后（h指的是灌溉水渗入土壤的垂直深度），土壤表层残留盐分含量S满足关系式，其中k为与土壤性质有关的常数，实验测得该盐碱地土壤的.根据上述模型，下列说法正确的是（

）参考数据：，，.A．当淋溶深度dm时，该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25%B．要使该盐碱地土壤表层残留盐分含量降至初始盐分含量的1%，则淋溶深度h约为5dmC．在淋溶深度的基础上再增加1dm，该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半D．若该盐碱地土壤的k值变为0.4，则淋溶深度dm时，土壤表层残留盐分含量低于初始盐分含量的20%【答案】ACD【分析】根据给定的指数函数模型，结合各项的描述依次分析正误.【详解】由题设，当，则，故，所以该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25%，A对，当，则，即，可得，B错，原淋溶深度，则，故增加1后有，所以该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半，C对，当，，则，故，D对.三、填空题18．（2026·山东聊城·模拟预测）若，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】满足底数且，由，可得或，结合且，可得，故由，可得，即，解得或，故实数的取值范围是.19．（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______．【答案】【详解】当时，，所以.展开式中，的系数为.20．（2026·陕西渭南·三模）设函数，则满足的实数的取值范围是_____________．【答案】【分析】先对函数求导，分析出它在上单调递减，在上单调递增，且关于直线对称，再利用对称性，将转化为自变量到对称轴的距离关系，最后解绝对值不等式得到的取值范围即可.【详解】因为所以由于，则恒成立，因此：当时，，故，在上单调递减，当时，，故，在上单调递增，函数在处取得最小值，图象关于直线对称，且开口向上，由函数性质可知：若，则，令，，代入得：，即：，所以，化简得，所以.所以的取值范围为.21．（2026·四川资阳·三模）给出如下定义：函数的定义域为，若，使得，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则实数的最小值为________．【答案】/【分析】由新定义结合对数的运算性质，通过分离参数得到，再通过换元结合基本不等式即可求解.【详解】由题意函数具有性质，即存在，满足：，代入得：，即，整理得：因为存在满足等式，分离参数得：，令，换元化简：，由基本不等式，对，，当且仅当（即）时取等号，代入得：因此实数的最小值为.四、解答题22．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数的定义域为，点是曲线上不同的两点，记两点连线的斜率为，若存在最大值，且最大值为，则称曲线为“上界斜率曲线”．(1)已知函数，，判断曲线是否为“上界斜率曲线”，并说明理由；(2)已知函数的定义域为闭区间，且曲线是“上界斜率曲线”，证明：曲线（，且）是“上界斜率曲线”；(3)已知函数的定义域与值域均为，若曲线为“上界斜率曲线”，且，求的值．【答案】(1)不是，理由见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）利用给定函数的单调性，结合给定的定义列式，再利用不等式性质判断即可.（2）利用给定定义，借助换元法及不等式性质推理得证.（3）由已知及给定定义，结合不等式性质及取等号的条件可得或，再利用定义，结合不等式性质求出.【详解】（1）函数在上单调递增，，则，，因此没有最大值，曲线不是“上界斜率曲线”.（2）令，，由函数的定义域为闭区间，且曲线是“上界斜率曲线”，得，恒成立，且存在，使得，函数定义域内任意两个不同值，使得，而，则，函数在两点连线的斜率，则恒成立，且存在，使得，所以曲线是“上界斜率曲线”.（3）由函数的定义域与值域均为，得存在，使得，而曲线为“上界斜率曲线”，且，则，因此，又，则，，必有或，当时，且，即且