专题10 计数原理与概率统计 2026年高考数学真题分类汇编（答案版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题10计数原理与概率统计答案版考点01统计1．B2．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求样本中数学成绩低于分的频率，再由频率估计概率；（2）先分别求事件成绩不低于分的概率和事件成绩小于分的概率，再由独立事件概率乘法公式求结论；（3）根据方差公式分别求，比较大小可得结论.【详解】（1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为，所以数学成绩低于分的概率为，（2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为，小于分的概率为，所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为，（3）每组数据取左端的值记为，，每组数据取中间的值记为，，每组数据取右端的值记为，，由已知，，，，，所以，由已知，，，，，所以，，，，，，所以，，所以.考点02计数原理1．C2．A3．4．65．考点03概率1．C2．/3．4．【答案】(1)9；(2)；(3)不相互独立，理由见解析.【分析】（1）由题意，计算年龄段占总体比例，据此可得答案.（2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案；（3）验证，是否等于可得答案.【详解】（1）年龄段占总体比例为：，则抽取人数为：；（2）由题可得人的平均年龄为：；（3）由题可得，，，注意到，则事件A与事件B不相互独立.考点04随机变量及其分布列1．A2．/3．【答案】(1)的分布列如下图所示：1234(2)（i）（ii）由题意及（2）（i）证明如下：即.【分析】（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列.(2)（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出.（ii）利用条件概率公式，结合(i)的结论与事件的包含关系即可证明结论.【详解】（1）由题意，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习，∴的可能取值为1，2，3，4，当时，表示第一次就投进球，，当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，，当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，，当时，表示在第次停止，此事件等价于前次投篮均未投中，，作出的分布列如下图所示：1234（2）（i）由题意及（1）得，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习，当时，表示前次均未投中，∴.（ii）略.4．【答案】(1)第一四分位数为，中位数为；(2)（ⅰ）；（ⅱ），．【分析】（1）根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解；（2）根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解.【详解】（1）由直方图可知，的频率为，的频率为，故第一四分位数在上，设为，则，解得；的频率为，的频率为，故中位数在上，设为，则，解得.故第一四分位数为370，中位数为381；（2）由直方图可知，小于365天的频率为，故p=0.15，根据二项分布的期望和方差公式，，考点05统计案例1．A2．【答案】(1)；(2)散点图；(3)的预测值与实际值之差的绝对值更小.【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可；（2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间；（3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可.【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为.（2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现.随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，又因为相关系数，故相关系数在区间上.（3）采用方程时，2023年预测值为，预测值与实际值差值绝对值为；因为，所以，可得.故采用方程时，2023年预测值为，预测值与实际值差值绝对值为；因为，故方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小.一、单选题1．B2．A3．B4．C5．D6．D7．A8．D二、多选题9．AC10．AD11．BCD12．ABD三、填空题13．14．11514015．20816．四、解答题17．【答案】(1)学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关(2)【分析】（1）计算出卡方，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断即可.（2）利用二项分布的概率公式计算即可求解.【详解】（1）零假设：学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关.（2）使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为，记近视人数为，显然该类学生近视情况服从二项分布，可得.18．【答案】(1)，，；(2)0123【分析】（1）令，则，求出，，计算，由回归直线过点，求出，从而得到关于的回归方程.（2）求出的取值，求出的取值的概率，列出的分布列，根据分布列求出随机变量的期望值.【详解】（1）令，则，因为，所以，因为，所以，

，，通过上表计算可得：b^=因为回归直线过点，所以，则关于的回归方程，又，故关于的回归方程；（2）（2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天，所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3，；；；.

所以随机变量的分布列为：0123随机变量的期望值.19．【答案】(1)(2)(3)分布列为：0123数学期望为【分析】（1）先求出“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件的概率，进而求出“3人中最多2人通过第一轮”的概率；（2）先由乘法公式求出三人通过第二轮的概率，再利用全概率公式计算求解；（3）求出的可能取值为，计算各可能值的概率，进而求出分布列及期望．【详解】（1）“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件为“3人全部通过第一轮”，每人通过第一轮的概率为，且相互独立，故全部通过的概率为：，“3人中最多2人通过第一轮”的概率为：．（2）小明通过第二轮的概率为：，小华通过第二轮的概率为：，小方通过第二轮的概率为：，从3人中任选1人，每人被选中概率为，由全概率公式：．（3）的可能取值为，三人通过第二轮的事件相互独立，，，，，分布列为：0123期望为：．20．【答案】(1)(2)X012P(3)【分析】（1）直接列举即可；（2）根据古典概型概率公式，结合组合数公式求出概率，然后可得分布列和期望；（3）根据已知概率列方程计算可得.【详解】（1）依题意，从编号为1，2，3，4的四个球中，随机取出2个球，所取球的编号组成的集合有以下可能：.（2）X的所有可能取值为0，1，2，，∴X的分布列为X012P∴；（3）当时，，整理得，∴，即，∵，∴.21．【答案】(1)(2)的分布列为：其中；(3)证明见解析.【分析】（1）利用二项分布求解即可；（2）对变量进行转换，用n次抽奖中抽到10元券的次数进行转换求解；（3）作差法进行比较，注意不同项的正负关系.【详解】（1）设该顾客抽得的奖券金额总和30元为事件，则为四次抽奖中，10元和5元各有2张，则.（2）不妨设为n次抽奖中抽到10元券的次数，则，且，由题意可知，可能的取值为：，对应的取值为，所以的分布列为：其中；因为，所以，即：数学期望.（3）由题意得：事件为前两次都抽到5元券，故，事件为