湖南省衡阳市2026-2027学年高一上学期第一次月考数学自编卷（范围：人教A版必修一1-2单元）（解析版）

湖南省衡阳市2026-2027学年高一上学期第一次月考自编卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DABAAABCACDCD题号11答案BD1．D【分析】由集合A和B，再根据集合交集的基本关系，即可求出A∩B的结果.【详解】因为集合，所以，故选D.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．A【分析】根据不等式的性质结合基本不等式即得.【详解】，，，，即,.故选：A．3．B【详解】命题，，命题为，故选B4．A【分析】根据二次方程的两根为正数，则一定满足，，，故根据必要不充分条件的定义即可判断.【详解】∵二次方程的两根为正数，∴，，，故由使二次方程的两根为正数，一定能推出，，，但是满足其中一个或2个不能推出使二次方程的两根为正数，故①②③能成为使二次方程的两根为正数的必要非充分条件.故选A.【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断.掌握必要条件的定义是解题基础．5．A【分析】先求出在区间（0，）上单调递增的充要条件，从而得到答案.【详解】∵，∴，在区间（0，）上单调递增.故选：A【点睛】解决充要条件类问题的四种方法：（1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法.6．A【分析】利用配凑，结合均值不等式的取等条件，即可求得的值.【详解】，当且仅当，即时取等号，所以．故选：.7．B【解析】不等式可化为，分，两种情况讨论即可.【详解】不等式可化为（*）．当时，（*）式即．即．又（当时取等号）（当时取等号）．所以，当时，（*）式为，．又（当时取等号），（当时取等号），所以．综上，．故选：B．【点睛】本题考查不等式恒成立的问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式求最值，是一道有一定难度的题.8．C【分析】化简，利用基本不等式可得，再利用基本不等式即可求解.【详解】，当且仅当，即，所以，时等号成立，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：.【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等.9．ACD【分析】根据全称量词命题的否定、充分与必要条件、三角函数、向量共线、对数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，的否定是：，A选项错误.B选项，或，所以“”是“”的充分不必要条件，B选项正确.C选项，若是非零向量，是零向量，则，但不存在使得，所以C选项错误.D选项，对于“”有，对于“”，不一定都是正数，所以D选项错误.故选：ACD10．CD【分析】A选项，根据全称命题的否定判断；B选项，分别分析充分性和必要性即可；C选项，根据“，”为假命题得到则“，”为真命题，然后列不等式求解即可；D选项，根据为假命题得到命题为真命题，然后将存在问题转化为，最后求最小值即可.【详解】命题“，”的否定是“，”，故A错；不能推出，比如，，时，满足，但；也不能推出，只能得到，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错；若“，”为假命题，则“，”为真命题，所以，解得，故C正确；若为假命题，则命题为真命题，不等式可整理为，解得，因为存在，使，所以，即，故D正确.故选：CD.11．BD【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简，解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得，则，进而求得的取值范围.【详解】令，则可化为，不妨设的解集为，即，，即，故，又，且，，且，，且，故，解得，故选项A错误，选项B正确；，，有解，，即或，是方程的两个根，即是方程的两个根，故，即，解得：，，故选项C错误，选项D正确.故答案选：BD.【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题.12．【详解】试题分析：首先集合中必含有元素，其次还必须含有元素中的至少一个元素，所以满足条件的集合有个.考点：集合之间的包含关系.13．【详解】在上单调递减,因此时取最小值;,当且仅当时取等号,所以当时，函数取最小值为点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.对于不满足基本不等式条件的函数,常常转化为利用导数研究函数单调性14．10【分析】利用已知条件将，化简为，然后利用柯西不等式求解最小值即可．【详解】由,得所以当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为10.故答案为：10.【点睛】关键点点睛：结合条件特点,将目标函数转化为满足柯西不等式的形式,从而利用柯西不等式,当且仅当时,等号成立)求最小值,技巧性较强.15．(1)(2)(3)当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【分析】（1）应用不含参的一元二次不等式解法求解集；（2）应用等价转化为，求解集；（3）应用分类讨论求含参的一元二次不等式求解集.【详解】（1），不等式的解集为；（2）不等式，等价于，等价于，所以，可得，不等式的解集为；（3）由，当时，解不等式得；当时，不等式无解；当时，解不等式得.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.16．(1)(2)(3)【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；（2）根据基本不等式中“1”的整体代换计算即可；（3）由绝对值的三角不等式可得，再结合（2）将问题转化为即可.【详解】（1）因为，，，所以，当且仅当时取等号，所以ab的最大值为；（2），当且仅当时取等号，所以的最小值为；（3）由（2）得，即为，又因，所以，解得，所以实数m的取值范围为.17．(1)2(2)①证明：因为恒成立，即恒成立，所以，

即，所以，则，所以；

②【分析】（1）由基本不等式计算即可求解；

（2）①先由不等式恒成结合判别式得到，再计算即可得证；②先化简，接着分和两种情况结合换元法分析即可求解.【详解】（1）因为，则，当且仅当即时取等号，所以；（2）①略

②由题，又，当时不等式恒成立，当时，恒成立令，则，则在上恒成立，又，所以.18．(1)，为定值2(2)平方百米【分析】（1）根据，，求出，进而得到，根据勾股定理即可求出，计算即可求出定值；（2）根据，结合基本不等式即可求出答案.【详解】（1）由，得，可得，，，，，的周长为定值．（2），当且仅当，即时等号成立．所以探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为平方百米．19．（1）；（2）存在，.【解析】（1）由得到的关系，根据有两个相等实根求，即可写出的解析式；（2）将函数式化为顶点式知，进而有在的左边，结合二次函数单调性列方程组求解即可知是否存在值.【详解】（1）由得：①；由有等根得：有等根，∴，得，将代入