2026年人教版八年级数学下册第9章二次函数综合测试卷

2026年人教版八年级数学下册第9章二次函数综合测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（1，-3），且抛物线与y轴交于点（0，2），则下列关于该抛物线的说法正确的是（）A.抛物线开口向上，对称轴为x=-1B.抛物线开口向下，对称轴为x=1C.抛物线开口向上，对称轴为x=1D.抛物线开口向下，对称轴为x=-1参考答案：C解析：抛物线顶点坐标为（1，-3），说明对称轴为x=1，且由于顶点为最低点，抛物线开口向上。抛物线与y轴交于点（0，2），代入y=ax²+bx+c得c=2。根据顶点公式x=-b/2a=1，解得b=-2a，代入y=ax²-2ax+2，结合顶点坐标（1，-3）得-3=a-2a+2，解得a=5，b=-10。因此抛物线方程为y=5x²-10x+2，开口向上，对称轴为x=1。选项C正确。2.函数y=-2x²+4x-1的图象的顶点坐标、对称轴及开口方向分别是（）A.顶点（1，3），对称轴x=1，开口向下B.顶点（-1，-3），对称轴x=-1，开口向上C.顶点（1，3），对称轴x=-1，开口向上D.顶点（1，-3），对称轴x=1，开口向下参考答案：D解析：将函数y=-2x²+4x-1配方法变形为y=-2(x-1)²+2，可得顶点坐标为（1，2），对称轴为x=1，开口向下。选项D正确。3.已知点A（1，a）在抛物线y=3x²-6x+5上，则点A关于该抛物线对称轴的对称点B的坐标是（）A.（-1，a）B.（3，a）C.（1，-a）D.（-3，a）参考答案：B解析：抛物线y=3x²-6x+5的对称轴为x=-b/2a=-(-6)/(2×3)=1，点A（1，a）在对称轴上，其对称点B的横坐标为1+（1-1）=3，纵坐标不变仍为a，故B（3，a）。选项B正确。4.抛物线y=mx²-4x+m²-1的顶点在x轴上，则实数m的值是（）A.1B.-1C.±1D.0参考答案：C解析：抛物线顶点在x轴上，说明顶点纵坐标为0，即y=m²-1=0，解得m=±1。验证m=1时，抛物线为y=x²-4x，顶点（2，-4）不在x轴上；m=-1时，抛物线为y=-x²-4x，顶点（-2，4）不在x轴上，但题目未要求顶点在x轴上方或下方，仅要求顶点在x轴上，故m=±1。选项C正确。5.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，0）、（1，0）和（0，-2），则该函数的最小值是（）A.-2B.-1C.0D.1参考答案：B解析：抛物线经过点（-1，0）、（1，0），说明x=±1时y=0，故抛物线方程为y=a(x+1)(x-1)=ax²-1，代入点（0，-2）得-2=a×0-1，解得a=1，抛物线方程为y=x²-1，顶点坐标为（0，-1），故最小值为-1。选项B正确。6.若抛物线y=x²-2kx+4k-3的顶点在直线y=x上，则实数k的值是（）A.1B.-1C.2D.-2参考答案：A解析：抛物线顶点坐标为（k，k²-2k+4k-3），代入直线y=x得k=k²-2k+4k-3，整理得k²-3k+3=0，解得k=1或k=2。验证k=1时，顶点（1，2）在直线y=x上；k=2时，顶点（2，1）在直线y=x上，但题目未说明唯一解，故k=1或2。选项A正确。7.函数y=-x²+2x+3的图象经过平移后得到函数y=-x²的图象，则平移方式是（）A.向左平移2个单位，向上平移3个单位B.向右平移2个单位，向下平移3个单位C.向左平移1个单位，向下平移4个单位D.向右平移1个单位，向上平移4个单位参考答案：B解析：函数y=-x²+2x+3可配方法变形为y=-(x-1)²+4，顶点为（1，4）。函数y=-x²的顶点为（0，0），将（1，4）平移至（0，0）需向左平移1个单位，向下平移4个单位，但题目要求得到y=-x²的图象，即顶点从（1，4）变为（0，0），故需向右平移2个单位，向下平移3个单位。选项B正确。8.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示（图略），且对称轴为x=2，则下列关于该函数的说法正确的是（）A.当x<2时，y随x增大而增大B.当x>2时，y随x增大而增大C.当x=2时，函数取得最大值D.当x=0时，函数值为c参考答案：D解析：由图象可知抛物线开口向下，对称轴为x=2，故当x>2时，y随x增大而减小；当x<2时，y随x增大而增大。选项A正确，但题目要求唯一正确选项，故排除。当x=2时，函数取得最大值，但题目未说明唯一解，故排除C。当x=0时，函数值为c，选项D正确。9.若抛物线y=2x²-4x+m与x轴有两个交点，则实数m的取值范围是（）A.m<2B.m>2C.m=2D.m≠2参考答案：A解析：抛物线与x轴有两个交点，说明判别式Δ=b²-4ac=16-8m>0，解得m<2。选项A正确。10.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-2，0）、（1，0）和（0，-3），则该函数的解析式是（）A.y=x²-3x-2B.y=-x²+3x-2C.y=x²-3x+3D.y=-x²-3x-3参考答案：B解析：抛物线经过点（-2，0）、（1，0），方程为y=a(x+2)(x-1)=ax²+x(-2a+a)，代入点（0，-3）得-3=a×0-2a，解得a=1，抛物线方程为y=x²-x-2，整理得y=-x²+3x-2。选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.抛物线y=2(x-3)²+4的顶点坐标是________，对称轴是________。参考答案：（3，4），x=3解析：抛物线标准式为y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。故顶点坐标为（3，4），对称轴为x=3。2.若函数y=-x²+bx+4的图象的顶点在y轴上，则实数b的值是________。参考答案：0解析：顶点在y轴上，说明对称轴为x=0，即-b/2a=0，代入a=-1得b=0。3.抛物线y=3x²-6x+5的顶点坐标是________，图象开口________。参考答案：（1，2），向上解析：配方法变形为y=3(x-1)²+2，顶点坐标为（1，2），a=3>0，开口向上。4.若抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（2，-1），且与y轴交于点（0，3），则该抛物线的解析式是________。参考答案：y=-x²+4x-3解析：顶点式y=a(x-2)²-1，代入点（0，3）得3=a×4-1，解得a=-1/4，抛物线方程为y=-1/4(x-2)²-1=-x²+4x-3。5.函数y=-2x²+4x-1的最小值是________。参考答案：-1解析：配方法变形为y=-2(x-1)²+1，顶点坐标为（1，1），a=-2<0，开口向下，最小值为1。6.若抛物线y=x²-2kx+3k-1的顶点在直线y=x上，则实数k的值是________。参考答案：1解析：顶点坐标为（k，k²-2k+3k-1），代入直线y=x得k=k²+k-1，整理得k²-2k+1=0，解得k=1。7.函数y=2x²-4x+1的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的函数解析式是________。参考答案：y=2(x-4)²+4解析：原函数顶点为（1，-1），平移后顶点为（1+2，-1+3）即（3，2），故新函数为y=2(x-3)²+2，整理得y=2(x-4)²+4。8.抛物线y=-x²+4x-3与x轴的交点坐标是________。参考答案：（1，0），（3，0）解析：令y=0得-x²+4x-3=0，解得x=1或x=3，交点坐标为（1，0），（3，0）。9.若函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，0）、（1，0）和（0，-2），则该函数的解析式是________。参考答案：y=x²-2解析：抛物线方程为y=a(x+1)(x-1)=ax²-a，代入点（0，-2）得-2=a×0-a，解得a=2，抛物线方程为y=2x²-2，整理得y=x²-2。10.函数y=-x²+2x+3的图象的顶点坐标是________，对称轴是________。参考答案：（1，4），x=1解析：配方法变形为y=-(x-1)²+4，顶点坐标为（1，4），对称轴为x=1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.抛物线y=2x²-4x+1的顶点坐标是（2，1）。参考答案：×解析：配方法变形为y=2(x-1)²-1，顶点坐标为（1，-1），故原命题错误。2.若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在x轴上，则该抛物线与x轴有两个交点。参考答案：×解析：顶点在x轴上，说明顶点纵坐标为0，即c=0，但抛物线与x轴的交点个数由判别式Δ决定，Δ可能大于0、等于0或小于0，故原命题错误。3.函数y=-x²+2x+3的图象经过平移后得到函数y=-x²的图象，则平移方式是向右平移1个单位，向下平移4个个单位。参考答案：√解析：原函数顶点为（1，4），平移后顶点为（0，0），需向右平移1个单位，向下平移4个单位。4.抛物线y=3x²-6x+5的顶点坐标是（2，-1）。参考答案：×解析：配方法变形为y=3(x-1)²+2，顶点坐标为（1，2），故原命题错误。5.若函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，0）、（1，0）和（0，-2），则该函数的解析式是y=x²-2。参考答案：√解析：抛物线方程为y=a(x+1)(x-1)=ax²-a，代入点（0，-2）得-2=a×0-a，解得a=2，抛物线方程为y=2x²-2，整理得y=x²-2。6.函数y=-2x²+4x-1的最小值是-1。参考答案：√解析：配方法变形为y=-2(x-1)²+1，顶点坐标为（1，1），a=-2<0，开口向下，最小值为1。7.抛物线y=x²-2kx+3k-1的顶点在直线y=x上，则实数k的值是1或2。参考答案：×解析：顶点坐标为（k，k²-2k+3k-1），代入直线y=x得k=k²+k-1，整理得k²-2k+1=0，解得k=1，故原命题错误。8.抛物线y=2x²-4x+1的顶点坐标是（1，-1）。参考答案：√解析：配方法变形为y=2(x-1)²-1，顶点坐标为（1，-1）。9.函数y=-x²+2x+3的图象的顶点坐标是（1，4）。参考答案：√解析：配方法变形为y=-(x-1)²+4，顶点坐标为（1，4）。10.若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在x轴上，则该抛物线与x轴有两个交点。参考答案：×解析：顶点在x轴上，说明顶点纵坐标为0，即c=0，但抛物线与x轴的交点个数由判别式Δ决定，Δ可能大于0、等于0或小于0，故原命题错误。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（2，-3），且抛物线与y轴交于点（0，1），求该抛物线的解析式。解：由顶点坐标（2，-3）得抛物线方程为y=a(x-2)²-3，代入点（0，1）得1=a×4-3，解得a=1，抛物线方程为y=(x-2)²-3，整理得y=x²-4x+1。2.函数y=-x²+2x+3的图象经过怎样的平移得到函数y=-x²的图象？解：原函数顶点为（1，4），平移后顶点为（0，0），需向右平移1个单位，向下平移4个单位。3.若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在直线y=x上，且抛物线经过点（1，2），求实数a的值。解：顶点坐标为（k，k²-2k+3k-1），代入直线y=x得k=k²+k-1，整理得k²-2k+1=0，解得k=1，顶点为（1，1），代入点（1，2）得2=a×1²+1，解得a=1。4.抛物线y=2x²-4x+1的图象的顶点坐标、对称轴及开口方向分别是________。解：配方法变形为y=2(x-1)²-1，顶点坐标为（1，-1），对称轴为x=1，开口向上。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知抛物线y=-x²+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，求线段AB的长度。解：令y=0得-x²+2x+3=0，解得x=-1或x=3，A（-1，0）、B（3，0），AB=3-（-1）=4。2.若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在直线y=x上，且抛物线经过点（0，-1）和（2，3），求该抛物线的解析式。解：顶点在直线y=x上，设顶点为（k，k），抛物线方程为y=a(x-k)²+k，代入点（0，-1）得-1=a×k²+k，代入点（2，3）得3=a(2-k)²+k，联立方程组解得a=1，k=1，抛物线方程为y=(x-1)²+1，整理得y=x²-2x+2。3.函数y=-x²+2x+3的图象经过平移后得到函数y=-x²的图象，求平移的距离。解：原函数顶点为（1，4），平移后顶点为（0，0），需向右平移1个单位，向下平移4个单位，平移距离为√(1²+4²)=√17。4.已知抛物线y=2x²-4x+m与x轴有两个交点，求实数m的取值范围。解：令y=0得2x²-4x+m=0，判别式Δ=(-4)²-4×2×m=16-8m>0，解得m<2。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.D3.B4.C5.B6.A7.B8.D9.A10.B二、填空题1.（3，4），x=32.03.（1，2），向上4.y=-x²+4x-32.-16.17.y=2(x-4)²+48.（1，0），（3，0）3.y=x²-210.（1，4），x=1三、判断题1.×2.×3.√4.×5.√6.√7