2025年广东省北师大版高中数学选修第二册第8章函数性质习题

2025年广东省北师大版高中数学选修第二册第8章函数性质习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间(-2,2)上的最大值是（）A.2√3B.4C.0D.-4解析：本题考查函数极值与最值的判断。首先求导f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=4，故最大值为4。选项B正确。2.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得最小值，则a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2解析：二次函数f(x)的对称轴为x=-a。由题意x=1为对称轴，故-a=1，解得a=-1。选项A正确。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.3C.0D.-1解析：利用绝对值三角不等式|a|+|b|≥|a+b|，当且仅当ab≥0时取等号。此处f(x)=|x-1|+|x+2|≥|(-1)-2|=3，最小值为3。选项B正确。4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(0,3)上的单调递增区间是（）A.(0,1)B.(1,3)C.(0,3)D.(1,2)解析：令t=x²-2x+3，则f(x)=ln(t)，需先求t的增区间。t=(x-1)²+2，对称轴x=1，故t在(1,+∞)单调递增，ln(t)在t增时也增，即f(x)在(1,3)单调递增。选项B正确。5.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称的充要条件是（）A.f(1-x)=f(1+x)B.f(1-x)=-f(1+x)C.f(1-x)=f(x-1)D.f(1-x)=-f(x-1)解析：图象关于点(a,b)对称的充要条件是f(2a-x)+f(2a-x)=2b。此处a=1,b=0，得f(2-x)+f(x)=0，即f(1-x)=-f(1+x)。选项B正确。6.函数f(x)=sin(x+π/4)的图象向左平移π/2个单位后，所得函数的对称中心是（）A.(π/4,0)B.(-π/4,0)C.(π/2,0)D.(-3π/4,0)解析：平移后函数为g(x)=sin(x+π/4+π/2)=sin(x+3π/4)，对称中心为x=-3π/4时y=0。选项D正确。7.函数f(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：令h(x)=f(x)-g(x)=x²-2x+3-(x³-3x)=-x³+x²+x+3。求导h′(x)=-3x²+2x+1，令h′(x)=0得x=-1/3或x=1。计算h(-2)=1，h(-1/3)=11/27，h(1)=2，h(2)=3，结合端点值可知函数有3个零点。选项C正确。8.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)在区间(0,1)上的关系是（）A.f(x)>g(x)B.f(x)<g(x)C.f(x)=g(x)D.无法确定解析：令F(x)=f(x)-g(x)=e^x-1-ln(x+1)，求导F′(x)=e^x-1/(x+1)。当x∈(0,1)时，e^x∈(1,e)，1/(x+1)∈(1/2,1)，故F′(x)>0，F(x)单调递增。又F(0)=0，故F(x)>0，即f(x)>g(x)。选项A正确。9.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(-∞,0)上的最大值是（）A.-1/2B.0C.1/2D.-1解析：求导f′(x)=[(x²+1)-2x²]/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²。令f′(x)=0得x=±1。在(-∞,0)上f(x)单调递增，故最大值为f(-1)=-1/2。选项A正确。10.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象与y=x的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)={-3-x,x<-2；1-x,-2≤x≤1；3+x,x>1}。联立y=x得：-当x<-2时，x=-3-x，无解；-当-2≤x≤1时，x=1-x，解得x=1/2；-当x>1时，x=3+x，无解。共有1个交点(1/2,1/2)。选项A正确。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1的图象的对称中心是_________。参考答案：(1,0)解析：由f(1-x)+f(1+x)=0可知图象关于(1,0)对称。2.函数f(x)=2cos(2x+π/3)的最小正周期是_________。参考答案：π解析：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。3.函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1,3]上的值域是_________。参考答案：[2,6]解析：对称轴x=1，f(-1)=6，f(1)=2，f(3)=6，故值域为[2,6]。4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(0,1)上的单调性是_________。参考答案：单调递减解析：t=x²-2x+3在(0,1)单调递减，ln(t)随t减小而减小，故f(x)单调递减。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象的拐点是_________。参考答案：(-2,0)，(1,0)解析：绝对值函数在x=-2和x=1处出现折点，即拐点。6.函数f(x)=x³-3x+1的极值点是_________。参考答案：-1，1解析：由f′(x)=3x²-3=0得x=±1，为极值点。7.函数f(x)=sin(x+π/4)的图象向左平移π/2个单位后，所得函数的对称轴方程是_________。参考答案：x=-π/4+kπ，k∈Z解析：平移后函数为g(x)=sin(x+3π/4)，对称轴为x=-3π/4+kπ，即x=-π/4+kπ。8.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)在区间(0,1)上的差值最大值是_________。参考答案：1/6解析：令F(x)=e^x-1-ln(x+1)，F′(x)=e^x-1/(x+1)，F′(x)在(0,1)单调递增，F(0)=0，F(1)=e-1-ln2≈0.1，故最大值在x=1处取到，F(1)=e-1-ln2≈0.1。9.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(-∞,0)上的最大值点是_________。参考答案：-1解析：由f′(x)=(1-x²)/(x²+1)²知，在(-∞,0)上f(x)在x=-1处取得最大值。10.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象与y=x的交点坐标是_________。参考答案：(1/2,1/2)，(-3,-3)解析：分段求解得交点为(1/2,1/2)和(-3,-3)。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在R上单调递增。（）参考答案：正确解析：f′(x)=3x²≥0，故f(x)在R上单调递增。2.函数f(x)=sin(x+π/6)的图象关于原点对称。（）参考答案：错误解析：f(-x)=sin(-x+π/6)≠-sin(x+π/6)，故图象不关于原点对称。3.函数f(x)=x²-4x+4在区间(-∞,2)上的最小值是-4。（）参考答案：错误解析：对称轴x=2，在(-∞,2)上f(x)单调递减，故最小值在x→+∞时趋近于+∞。4.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是3。（）参考答案：正确解析：由绝对值三角不等式|a|+|b|≥|a+b|，此处f(x)=|x-1|+|x+2|≥|(-1)-2|=3，最小值为3。5.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称。（）参考答案：正确解析：由f(1-x)+f(1+x)=0可知图象关于(1,0)对称。6.函数f(x)=e^x-1与g(x)=ln(x+1)在区间(0,1)上恒有f(x)>g(x)。（）参考答案：正确解析：令F(x)=e^x-1-ln(x+1)，F′(x)=e^x-1/(x+1)在(0,1)单调递增，F(0)=0，故F(x)>0，即f(x)>g(x)。7.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(-∞,0)上是奇函数。（）参考答案：错误解析：f(-x)=-x/(x²+1)=-f(x)，但定义域不关于原点对称，故不是奇函数。8.函数f(x)=sin(x+π/4)的图象向左平移π/2个单位后，所得函数的周期为π。（）参考答案：正确解析：平移后函数为g(x)=sin(x+3π/4)，周期T=2π/1=2π，但平移不改变周期，故周期仍为π。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象与y=x的交点个数为2。（）参考答案：正确解析：分段求解得交点为(1/2,1/2)和(-3,-3)，共2个交点。10.函数f(x)=x³-3x+1的图象的拐点是(0,1)。（）参考答案：错误解析：f′′(x)=6x，令f′′(x)=0得x=0，但f(0)=1不是极值点，故(0,1)不是拐点。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.证明函数f(x)=x³-3x在区间(-∞,0)上单调递增。解答：(1)求导f′(x)=3x²-3；(2)在(-∞,0)上，x²>0，故3x²-3<0，即f′(x)<0；(3)由单调性定义，f′(x)<0说明f(x)在(-∞,0)上单调递增。2.求函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解答：(1)求导f′(x)=2x-2，令f′(x)=0得x=1；(2)计算端点值f(-1)=6，f(1)=2，f(3)=6；(3)比较得最大值为6，最小值为2。3.判断函数f(x)=sin(x+π/6)的图象是否关于原点对称。解答：(1)若图象关于原点对称，需满足f(-x)=-f(x)；(2)计算f(-x)=sin(-x+π/6)=-sin(x-π/6)≠-sin(x+π/6)；(3)故图象不关于原点对称。4.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取最小值时的x值。解答：(1)分段函数f(x)={-3-x,x<-2；1-x,-2≤x≤1；3+x,x>1}；(2)在各段上f(x)单调，故最小值在分段点处取到；(3)计算f(-2)=1，f(1)=2，f(-2)最小，故最小值为1，取最小值时x=-2。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x+1，求其图象的对称中心。解答：(1)令f(1-x)+f(1+x)=0，即(x-1)³-3(x-1)+1+(x+1)³-3(x+1)+1=0；(2)化简得6x³-6=0，解得x=0；(3)对称中心为(1,0)。2.函数f(x)=x²-2ax+a²在区间[0,2]上的最大值是4，求a的值。解答：(1)对称轴x=a，分三种情况讨论：-若a<0，f(2)=4，解得a=-2；-若0≤a≤2，f(a)=4，解得a=2；-若a>2，f(0)=4，解得a=2；(2)综上，a=2。3.函数f(x)=sin(x+π/4)的图象向左平移π/2个单位后，所得函数的对称中心是_________。解答：(1)平移后函数为g(x)=sin(x+3π/4)，对称轴为x=-3π/4+kπ；(2)对称中心为(-3π/8+kπ/2,0)，k∈Z。4.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(-∞,0)上的最大值是_________。解答：(1)求导f′(x)=(1-x²)/(x²+1)²，令f′(x)=0得x=-1；(2)计算f(-1)=1/2，f(0)=0；(3)故最大值为1/2，取最大值时x=-1。【标准答案及解析】一、单选题1.D2.A3.B4.B5.B6.D7.C8.A9.A10.B二、填空题1.(1,0)2.π3.[2,6]4.单调递减5.(-2,0)，(1,0)6.-1，12.x=-π/4+kπ，k∈Z8.1/69.-110.(1/2,1/2)，(-3,-3)三、判断题1.√2.×3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.×四、简答题