2026年湖南省人教版高中数学选修第三册第8章知识点巩固习题

2026年湖南省人教版高中数学选修第三册第8章知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在复数平面内，若复数z对应的点在直线y=x上，则z的辐角主值可能是（）A.0°或120°B.45°或225°C.60°或300°D.90°或270°解析：复数z对应的点在直线y=x上，说明z=a+ai（a为实数），其辐角主值为45°或225°。选项B正确。2.已知复数z1=2cosθ+2isinθ，z2=1+√3isinθ（θ为锐角），若z1•z2为纯虚数，则θ的值为（）A.30°B.45°C.60°D.75°解析：z1•z2=（2cosθ+2isinθ）（1+√3isinθ）=2cosθ+2√3sinθ•i-6cos²θ=2√3sinθ•i-4cos²θ+2cosθ。纯虚数条件为实部为0，即2cosθ-4cos²θ=0，解得cosθ=0或1/2，θ=60°。3.若复数z满足|z-1|+|z+1|=4，则z对应的点在复平面内的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆解析：|z-1|+|z+1|=4表示到点（1，0）和（-1，0）距离之和为4的点的轨迹，是椭圆。4.已知复数z=a+bi（a，b∈R），若z²=4-4√3i，则z的模长为（）A.2√2B.4C.2√3D.8解析：z²=4-4√3i，|z|²=|z²|/|z|²=|4-4√3i|=8，|z|=2√2。5.在复平面内，若点A对应的复数为1+2i，点B对应的复数为3-4i，则向量AB的模长为（）A.2√5B.√10C.4√2D.6解析：|AB|=|（3-4i）-（1+2i）|=|2-6i|=√（2²+（-6）²）=√40=2√10。6.若复数z满足z+|z|=2+8i，则z的值为（）A.4+8iB.-4+8iC.4-8iD.-4-8i解析：设z=a+bi，则a+bi+√（a²+b²）=2+8i，实部a+√（a²+b²）=2，虚部b=8。解得a=4，b=8，z=4+8i。7.已知复数z1=1+i，z2=1-i，则z1•z2的平方根为（）A.±（1+i）B.±（1-i）C.±√2D.±2i解析：z1•z2=（1+i）（1-i）=2，平方根为±√2。8.若复数z满足|z-2|²+|z+2|²=8，则z对应的点在复平面内的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：|z-2|²+|z+2|²=8，展开得（x-2）²+y²+（x+2）²+y²=8，化简为x²+y²=2，是圆。9.已知复数z=a+bi（a，b∈R），若z•conjugate(z)=5，则|z|²的值为（）A.5B.√5C.25D.10解析：z•conjugate(z)=a²+b²=|z|²=5。10.若复数z满足z²+2z+5=0，则z的辐角主值的范围是（）A.[0°，90°]B.[90°，180°]C.[180°，270°]D.[270°，360°]解析：z=-1±2i，辐角主值为120°或300°，范围是[180°，270°]。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=3+4i，则z的模长为________。参考答案：5解析：|z|=√（3²+4²）=5。2.若复数z=a+bi（a，b∈R），若z•conjugate(z)=9，则|z|的值为________。参考答案：3解析：|z|²=a²+b²=9，|z|=3。3.在复平面内，若点A对应的复数为2-i，点B对应的复数为1+3i，则向量AB的模长为________。参考答案：√17解析：|AB|=|（1+3i）-（2-i）|=|-1+4i|=√（1²+4²）=√17。4.若复数z满足|z-1|+|z+1|=6，则z对应的点在复平面内的轨迹是________。参考答案：椭圆解析：|z-1|+|z+1|=6>2，是椭圆。5.已知复数z1=2+3i，z2=1-2i，则z1•z2的实部为________。参考答案：8解析：z1•z2=（2+3i）（1-2i）=2-4i+3i-6i²=8-i，实部为8。6.若复数z满足z²=16，则z的平方根为________。参考答案：±2√2解析：z=±4，平方根为±√4=±2√2。7.已知复数z=a+bi（a，b∈R），若z+conjugate(z)=4，则实数a的值为________。参考答案：2解析：z+conjugate(z)=2a=4，a=2。8.若复数z满足|z-2|+|z+2|=4，则z对应的点在复平面内的轨迹是________。参考答案：线段解析：|z-2|+|z+2|=4=2|2|，是线段。9.已知复数z=1+i，则z的平方为________。参考答案：2i解析：z²=（1+i）²=1+2i+i²=2i。10.若复数z满足z•conjugate(z)=25，则|z|的平方为________。参考答案：25解析：|z|²=a²+b²=25。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），则z1•z2的模长等于z1和z2模长的乘积。参考答案：正确解析：|z1•z2|=|z1|•|z2|。2.若复数z满足|z|=1，则z的辐角主值一定是90°。参考答案：错误解析：|z|=1时，辐角主值可以是任意角。3.若复数z1和z2满足z1•z2=0，则z1和z2中至少有一个是0。参考答案：正确解析：复数乘积为0当且仅当至少一个因子为0。4.若复数z满足z+conjugate(z)=0，则z一定是纯虚数。参考答案：正确解析：z=a+bi，若z+conjugate(z)=0，则2a=0，a=0，z为纯虚数。5.若复数z满足|z-1|+|z+1|=2，则z对应的点在复平面内的轨迹是圆。参考答案：错误解析：|z-1|+|z+1|=2=|2|，是线段。6.若复数z1和z2满足z1•z2为纯虚数，则z1和z2中至少有一个是纯虚数。参考答案：错误解析：z1=1，z2=2i，z1•z2=2i为纯虚数，但z1不是纯虚数。7.若复数z满足z²=4，则z的模长为2。参考答案：正确解析：z=±2，|z|=2。8.若复数z1和z2满足z1+z2=0，则z1和z2对应的点关于原点对称。参考答案：正确解析：z1=-z2，对应点关于原点对称。9.若复数z满足|z|=1，则z²的模长一定等于1。参考答案：正确解析：|z²|=|z|²=1²=1。10.若复数z1和z2满足z1•z2为实数，则z1和z2中至少有一个是实数。参考答案：正确解析：z1=1+i，z2=1-i，z1•z2=2为实数，但z1和z2都不是实数，矛盾，所以至少有一个是实数。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知复数z=1+i，求z的模长和辐角主值。参考答案：模长√2，辐角主值45°解析：|z|=√（1²+1²）=√2，辐角主值tanθ=1，θ=45°。2.已知复数z=a+bi（a，b∈R），若z•conjugate(z)=16，求|z|的值。参考答案：4解析：|z|²=a²+b²=16，|z|=4。3.已知复数z1=2+3i，z2=1-2i，求z1•z2的值。参考答案：8-i解析：z1•z2=（2+3i）（1-2i）=2-4i+3i-6i²=8-i。4.已知复数z满足|z-1|+|z+1|=6，求z对应的点在复平面内的轨迹类型。参考答案：椭圆解析：|z-1|+|z+1|=6>2，是椭圆。5.已知复数z满足z²+2z+5=0，求z的值。参考答案：-1±2i解析：z=-1±√（-4）=-1±2i。6.已知复数z=a+bi（a，b∈R），若z+conjugate(z)=6，求实数a的值。参考答案：3解析：z+conjugate(z)=2a=6，a=3。7.已知复数z满足|z|=3，且z的辐角主值为60°，求z的代数形式。参考答案：3√3/2+3/2i解析：z=3（cos60°+isin60°）=3（√3/2+i√3/2）=3√3/2+3/2i。8.已知复数z1=1+i，z2=1-i，求z1•z2的平方根。参考答案：±√2解析：z1•z2=2，平方根为±√2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知复数z=2cosθ+2isinθ（θ为锐角），若z的辐角主值为45°，求θ的值。参考答案：45°解析：z=2（cos45°+isin45°），θ=45°。2.已知复数z1=3+4i，z2=1-2i，求z1•z2的模长。参考答案：10解析：z1•z2=7+2i，|z1•z2|=√（7²+2²）=√53≈10。3.已知复数z满足|z-1|+|z+1|=4，且z的实部为1，求z的值。参考答案：1解析：z=1+bi，|（1+bi）-1|+|（1+bi）+1|=4，|bi|+|2+bi|=4，|bi|+√5=4，|bi|=√5，b=±√5，z=1±√5i。4.已知复数z=a+bi（a，b∈R），若z•conjugate(z)=10，且z+conjugate(z)=6，求z的值。参考答案：2+2i或4-2i解析：z+conjugate(z)=2a=6，a=3；z•conjugate(z)=a²+b²=10，b²=1，b=±1，z=3±i。5.已知复数z1=2+3i，z2=1-2i，求z1/z2的值。参考答案：1+i解析：z1/z2=（2+3i）/（1-2i）=（2+3i）（1+2i）/（1²+（-2）²）=-4+7i/5=1+i。6.已知复数z满足|z-1|+|z+1|=6，且z的虚部为2，求z的值。参考答案：2解析：z=a+2i，|（a+2i）-1|+|（a+2i）+1|=6，|（a-1）+2i|+|（a+1）+2i|=6，√（（a-1）²+4）+√（（a+1）²+4）=6，解得a=2，z=2+2i。7.已知复数z1=1+i，z2=1-i，求z1•z2的平方根。参考答案：±√2解析：z1•z2=2，平方根为±√2。8.已知复数z满足|z|=2，且z的辐角主值为120°，求z的代数形式。参考答案：-1+√3i解析：z=2（cos120°+isin120°）=2（-1/2+i√3/2）=-1+√3i。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.A4.A5.B6.A7.B8.A9.A10.C解析：1.直线y=x上复数辐角主值为45°或225°；2.复数乘积为纯虚数时虚部不为0且实部为0；3.复数模长等于对应点距离原点距离；4.复数平方根的模长等于原数模长的平方根；5.向量AB模长等于对应复数差的模长；6.复数加减运算分别对实虚部运算；7.复数乘除运算；8.复数模长等于对应点距离原点距离；9.复数模长的平方等于自身与共轭复数乘积；10.复数辐角主值由辐角决定。二、填空题1.512.313.√1714.椭圆15.816.±2√217.218.线段19.2i20.25解析：11.复数模长计算；12.复数模长等于自身与共轭复数乘积的平方根；13.向量AB模长等于对应复数差的模长；14.复数模长和等于定值且大于两焦点距离，是椭圆；15.复数乘积的实部；16.复数平方根的模长；17.复数加减运算；18.复数模长和等于定值且等于两焦点距离，是线段；19.复数平方计算；20.复数模长的平方等于自身与共轭复数乘积。三、判断题1.√22.×23.√24.√25.×26.×27.√28.√29.√30.√解析：21.复数乘积模长等于模长乘积；22.复数模长为1时辐角任意；23.复数乘积为0当且仅当至少一个因子为0；24.实部为0的复数为纯虚数；25.复数模长和等于定值且小于两焦点距离，是线段；26.复数乘积为纯虚数时虚部不为0且实部为0；27.复数平方根模长等于原数模长的平方根；28.复数相反数对应点关于原点对称；29.复数模长的平方等于自身与共轭复数乘积；30.复数乘积为实数时至少有一个因子实数。四、简答题1.√2，45°解析：|z|=√（1²+1²）=√2，辐角主值tanθ=1，θ=45°。2.4解析：|z|²=a²+b²=16，|z|=4。3.8-i解析：z1•z2=（2+3i）（1-2i）=2-4i+3i-6i²=8-i。4.椭圆解析：|z-1|+|z+1|=6>2，是椭圆。5.-1±2i解析：z=-1±√（-4）=-1±2i。6.3解析：z+conjugate(