福建省漳州市长泰一中学、华安一中学2027届九上数学期末综合测试试题含解析

福建省漳州市长泰一中学、华安一中学2027届九上数学期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC垂足为F，交BC于点E，BE=2EC，连接AE．则tan∠CAE的值为（）A． B． C． D．2．方程的解是（）A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=1 D．x=0或x=-13．设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣24．已知正方形的边长为4cm，则其对角线长是（）A．8cm B．16cm C．32cm D．cm5．图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）A． B． C． D．6．若，则的值为（）A．1 B． C． D．7．下列说法正确的是（）A．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的次数一定是次B．某种彩票的中奖率是，说明每买张彩票，一定有张中奖C．篮球队员在罚球线上投篮一次，“投中”为随机事件D．“任意画一个三角形，其内角和为”是随机事件8．如图，矩形的对角线交于点O，已知则下列结论错误的是（）A． B．C． D．9．下面是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（）A． B． C． D．10．《九章算术》中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为步，股(长直角边)长为步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是（）A．步 B．步 C．步 D．步二、填空题(每小题3分,共24分)11．若，则=____________．12．如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为,，，，求的长.13．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数，的图象上，则tan∠ABO的值为___________14．半径为的圆中，弦、的长分别为2和，则的度数为_____．15．如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是_____．16．某班从三名男生(含小强)和五名女生中，选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n名，若男生小强参加是必然事件，则n=__________．17．如图，是的中线，点是线段上的一点，且，交于点．若，则_________．18．从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是____．三、解答题(共66分)19．（10分）先化简：，再求代数式的值，其中是方程的一个根．20．（6分）如图，平行四边形中，，过点作于点，现将沿直线翻折至的位置，与交于点.（1）求证：；（2）若，，求的长.21．（6分）如图①，在中，，是边的中点，以点为圆心的圆经过点．（1）求证：与相切；（2）在图①中，若与相交于点，与相交于点，连接，，，如图②，则________．22．（8分）如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别是(0,3)、(-4,0)．(1)将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF,点O、B对应点分别是E、F,请在图中面出△AEF；(2)以点O为位似中心，将三角形AEF作位似变换且缩小为原来的在网格内画出一个符合条件的23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是；（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．24．（8分）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：摸棋的次数n1002003005008001000摸到黑棋的次数m245176124201250摸到黑棋的频率（精确到0.001）0.2400.2550.2530.2480.2510.250（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是；（精确到0.01）（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由25．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且.（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）判断的形状，证明你的结论；（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长.26．（10分）如图，请在下列四个论断中选出两个作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明(写出一种即可)．①AD∥BC；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＋∠C＝180°.已知：在四边形ABCD中，____________．求证：四边形ABCD是平行四边形．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】证明△AFD∽△CFE，得出，由△CFE∽△DFC，得出，设EF=x，则DE=3x，再由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：设EC=x，∵BE=2EC=2x，∴BC=BE+CE=3x，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=3x，AD∥EC，

∴△AFD∽△CFE，

∴，，设CF=n，设EF=m，

∴DF=3EF=3m，AF=3CF=3n，∵△ECD是直角三角形，，

∴△CFE∽△DFC，

∴，∴，即，

∴，∵，∴tan∠CAE=，

故选：C．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．2、C【分析】根据因式分解法，可得答案．【详解】解：，方程整理，得，x2-x=0

因式分解得，x（x-1）=0，

于是，得，x=0或x-1=0，

解得x1=0，x2=1，

故选：C．本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解题关键．3、C【解析】根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，整理成一般形式，左边化为完全平方式，用直接开平方的方法解方程即可．【详解】解：∵a△b＝a2+b2+ab，∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣1．故选：C．此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．4、D【分析】作一个边长为4cm的正方形，连接对角线，构成一个直角三角形如下图所示：由勾股定理得AC2=AB2+BC2，求出AC的值即可．【详解】解：如图所示：四边形ABCD是边长为4cm的正方形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==4cm．所以对角线的长：AC=4cm．故选D．5、D【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．【详解】从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．

故选：D．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．6、D【解析】∵，∴==，故选D7、C【分析】根据题意直接利用概率的意义以及三角形内角和定理分别分析得出答案．【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数一定是50次，错误；B、某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，不一定有1张中奖，故此选项错误；C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；D、“任意画一个三角形，其内角和为360°”是不可能事件，故此选项错误．故选：C．本题主要考查概率的意义，熟练并正确掌握概率的意义是解题关键．8、C【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形判定各项即可．【详解】选项A，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝OB＝CO＝DO，∴∠DBC＝∠ACB，∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，选项A正确；选项B，在Rt△ABC中，tanα＝，即BC＝m•tanα，选项B正确；选项C，在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，选项C错误；选项D，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝m，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∴在Rt△DCB中，BD＝，选项D正确.故选C．本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．9、D【分析】根据几何体的三视图的定义以及性质进行判断即可．【详解】根据几何体的左视图的定义以及性质得，这个几何体的左视图为故答案为：D．本题考查了几何体的三视图，掌握几何体三视图的性质是解题的关键．10、A【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径，进而得出直径.【详解】根据勾股定理，得斜边为，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步，故答案为A.此题主要考查了三角形的内切圆与内心，熟练掌握，即可解题.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】根据合比定理即可得答案.【详解】∵，∴，∴=，故答案为：本题考查合比定理，如果，那么；熟练掌握合比定理是解题关键.12、.【分析】在中，根据求得CE，在中，根据求得BC，最后将CE,BC的值代入即可.【详解】解：在中，,.在中，，.的长为.本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数定义是解题的关键.13、【分析】根据反比例函数的几何意义可得直角三角形的面积；根据题意可得两个直角三角形相似，而相似比就是直角三角形∆AOB的两条直角边的比，从而得出答案.【详解】过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E,∵顶点A，B恰好分别落在函数，的图象上∴又∵∠AOB=90°∴∠AOD=∠OBE∴∴则tan∠ABO=故本题答案为：.本题考查了反比例函数，相似三角形和三角函数的综合题型，连接辅助线是解题的关键.14、或【分析】根据题意利用垂径定理及特殊三角函数进行分析求解即可.【详解】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，弦、的长分别为1和，直径为，∴AO=，∴∴，即有,同理∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°-30°=15°．∴∠BAC=15°或75°.故答案为：或.本题考查圆的垂径定理及解直角三角形的相关性质，解答此题时要进行分类讨论，不要漏解，避免失分．15、．【详解】解：∵把x=1分别代入、，得y=1、y=，∴A（1，1），B（1，）．∴．∵P为y轴上的任意一点，∴点P到直线BC的距离为1．∴△PAB的面积．故答案为：．16、1;【解析】根据必然事件的定义可知三名男生都必须被选中，可得答案.【详解】解：∵男生小强参加是必然事件，∴三名男生都必须被选中，∴只选1名女生，故答案为1.本题考查的是事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．17、【分析】过点A作AG∥BC交CF的延长线于G，根据平行即可证出△AGE∽△DCE，△AGF∽△BCF，列出比例式，根据已知条件即可求出AB．【详解】解：过点A作AG∥BC交CF的延长线于G，如下图所示∴△AGE∽△DCE，△AGF∽△BCF∴，∵∴∴∵是的中线，∴∴∴解得：cm∴AB=AF＋BF=1cm故答案为：1．此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握构造相似三角形的方法是解决此题的关键．18、【解析】分析：由题意可知，从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中是有理数的有3种，由此即可得到所求概率了.详解：∵从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中有理数有0，3.14，6共3个，∴抽到有理数的概率是：．故答案为．点睛：知道“从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果”并能识别其中“0，3.14，6”是有理数是解答本题的关键.三、解答题(共66分)19、；1．【分析】首先对括号内的分式进行通分，然后把除法转化为乘法即可化简，最后整体代值计算．【详解】解：，，，，；∵是方程的一个根，∴，∴，∴，∴原式=本题考查了分式的化简求值和一元二次方程的根，熟知整体代入是解答此题关键．20、（1）见解析；（2）【分析】（1）根据平行四边形的性质得AB∥CD,AB=CD，通过两角对应相等证明△FCG∽△FBA，利用对应边成比例列比例式，进行等量代换后化等积式即可；（2）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理，求出BE的长,再由折叠性质求出BF长，结合（1）的结论代入数据求解.【详解】解（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC∴∠GCF=∠B,∠CGF=∠BAF,∴△FCG∽△FBA,∴,∴∴.（2）∵，∴∠AEB=90°,∵∠B=30°,,∴AE=,由勾股定理得，BE=6，由折叠可得，BF=2BE=12，∵AD=BC=8，∴CF=4∵,∴,∴CG=,∴DG=.本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质即为相似三角形判定的条件，利用相似三角形的对应边成比例是解答问题的关键.21、（1）见解析；（2）【分析】(1)连接OC,利用等腰三角形的三线合一性质证明即可.(2)利用30°的特殊三角形的性质求出即可.【详解】（1）证明：连接.，是边的中点，.又点在上，与相切.图①（2）∵∠AOB=120°,OA=OB,∴∠A=30°,又∵OD=6∴OA=12∴AC=,AB=∵DE是三角形OAB的中位线,∴DE=.图②本题考查圆与三角形的结合,关键在于熟悉基础知识.22、（1）图详见解析，E（3，3），F（3，﹣1）；（2）详见解析．【分析】（1）利用网格的特点和旋转的性质，画出点O，B对应点E，F，再顺次连接可得到，然后写出E、F的坐标即可；（2）先连接OE、OF，然后分别取OA、OE、OF的三等分点可得点，再顺次连接可得到．【详解】（1）利用网格的特点和旋转的性质，画出点O，B对应点E，F，再顺次连接可得到，如图即为所求，点E、F的坐标为；（2）先连接OE、OF，然后分别取OA、OE、OF的三等分点可得点，再顺次连接可得到，如图即为所求．本题考查了图形的旋转、位似中心图形的画法，掌握理解旋转的定义和位似中心的定义是解题关键．23、（2）（2，0）；（2）0≤x≤2；（3）（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）【分析】（2）根据已知条件将A点、C点代入抛物线即可求解；（2）观察直线在抛物线上方的部分，根据抛物线与直线的交点坐标即可求解；（3）先设动点M的坐标，再根据两个三角形的面积关系即可求解．【详解】（2）因为直线y＝﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A，C两点，所以当x＝0时，y＝2，所以C（0，2）当y＝0时，x＝2，所以A（2，0）因为抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，所以c＝2，2+b+2＝0，解得b＝﹣6，所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x+2．当y＝0时，0＝x2﹣6x+2．解得x2＝2，x2＝2．所以B点坐标为（2，0）．答：抛物线解析式为y＝x2﹣6x+2，B点坐标为（2，0）；（2）观察图象可知：x2+bx+c≤﹣2x+2的解集是0≤x≤2．故答案为0≤x≤2．（3）设M（m，m2﹣6m+2）因为S△ABM＝S△ABC＝×4×2＝3．所以×4•|m2﹣6m+2|＝3所以|m2﹣6m+2|＝±4．所以m2﹣6m+9＝0或m2﹣6m+2＝0解得m2＝m2＝3或m＝3±2．所以M点的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．答：此时点M的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.24、（1）0.25；（2）.【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率;画树状图列出所有等可能结果，再找到符合条件的结果数，根据概率公式求解.【详解】（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25，故答案为0.25；（2）由（1）可知，黑棋的个数为4×0.25=1，则白棋子的个数为3，画树状图如下：由表可知，所有等可能结果共有12种情况，其中这两枚棋颜色不同的有6种结果，所以这两枚棋颜色不同的概率为．本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．25、（1），D；（2）是直角三角形，见解析；（3），.【分析】（1）直接将（−1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；（2）分别求出AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，求出直线的解析式，可得M点坐标，然后易求此时△ACM的周长．【详解】解：（1）∵点在抛物线上，∴，解得：.∴抛物线的解析式为，∵，∴顶点的坐标为：；（2）是直角三角形，证明