15.3.2 角平分线的判定-课件(共27张)-沪科版数学八年级上册

##知识点梳理1.**角平分线的性质定理**角平分线上的点，到角两边的距离相等。符号语言：若OP平分\(\angleAOB\)，点P在OP上，\(PM\perpOA\)，\(PN\perpOB\)，则\(\boldsymbol{PM=PN}\)。>>用途：证明两条垂线段相等。2.**角平分线的判定定理（逆定理）**在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。符号语言：点P在\(\angleAOB\)内部，\(PM\perpOA\)，\(PN\perpOB\)，\(PM=PN\)，则OP平分\(\angleAOB\)。>>⚠️两个关键条件不能少：①点在**角内部**；②是到两边的**垂线段**相等。>用途：证明一条射线是角平分线。3.三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于一点，这个点叫**内心**；内心到三角形**三边距离相等**。>>对比区分>>>-性质：点在角平分线上\(\boldsymbol{\Rightarrow}\)垂线段相等>-判定：垂线段相等（角内）\(\boldsymbol{\Rightarrow}\)点在角平分线上本节重点：区分角平分线性质与判定；证明角相等、垂线段相等；内心性质；几何证明书写规范。##二、基础专项练习题###（一）选择题（每题4分，共20分）1.在\(\angleAOB\)内部，点P到\(OA、OB\)垂线段相等，则（）A.\(OP=OA\)B.OP平分\(\angleAOB\)C.\(OP\perpOA\)D.\(OP=OB\)2.三角形三条角平分线交点（内心）的性质是（）A.到三个顶点距离相等B.到三边距离相等C.在三角形外部D.在斜边中点3.点P在\(\angleAOB\)内部，\(PM\perpOA\)于M，\(PN\perpOB\)于N，下列条件能判定OP是角平分线的是（）A.\(OM=ON\)B.\(PM=PN\)C.\(OP=OP\)D.\(\angleOPM=\angleOPN\)4.下面说法正确的是（）A.只要点到角两边线段相等，点就在角平分线上B.角平分线上的点到角两边的线段相等C.角内部，到角两边垂线段相等的点在角平分线上D.三角形内心到顶点距离相等5.\(AD\perpAB，DC\perpBC\)，\(AD=DC\)，则（）A.\(AB=BC\)B.BD平分\(\angleABC\)C.\(\angleA=\angleB\)D.\(BD=AD\)###（二）填空题（每题4分，共20分）1.在角的内部，到角两边________相等的点，在这个角的平分线上。2.三角形三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的________。3.内心到三角形________的距离相等。4.角平分线性质：角平分线上的点，到角两边________相等。5.使用角平分线判定定理，点必须在角的________。###（三）解答题（每题15分，共60分）1.已知：点P在\(\angleAOB\)内部，\(PM\perpOA\)，\(PN\perpOB\)，\(PM=PN\)。求证：OP平分\(\angleAOB\)。2.已知：在\(\triangleABC\)中，点D在BC上，\(DE\perpAB\)，\(DF\perpAC\)，\(DE=DF\)。求证：AD平分\(\angleBAC\)。3.已知：\(\triangleABC\)的角平分线\(BM、CN\)交于点P。求证：点P到三边\(AB、BC、AC\)距离相等。4.已知：\(CD\perpAD，CB\perpAB\)，\(CD=CB\)。求证：\(\angleADC+\angleABC=180^\circ\)。##三、参考答案与详细解析###选择题1.**B**。解析：角平分线判定定理。2.**B**。解析：内心到三边距离相等；外心到三顶点距离相等。3.**B**。解析：垂线段相等，判定角平分线。4.**C**。解析：必须是**垂线段**，普通线段不行。5.**B**。解析：\(CD、AD\)是到角两边垂线段且相等，BD平分\(\angleABC\)。###填空题1.**垂线段**2.**内心**3.**三边**4.**垂线段**5.**内部**###解答题1.证明：\(\becausePM\perpOA，PN\perpOB\)（已知）\(\therefore\angleOMP=\angleONP=90^\circ\)。在\(\text{Rt}\triangleOMP\)和\(\text{Rt}\triangleONP\)中\(\begin{cases}OP=OP(\text{公共斜边})\\PM=PN(\text{已知})\end{cases}\)\(\therefore\text{Rt}\triangleOMP\cong\text{Rt}\triangleONP(\text{HL})\)\(\therefore\angleMOP=\angleNOP\)，即OP平分\(\angleAOB\)。2.证明：\(\becauseDE\perpAB，DF\perpAC\)（已知），\(DE=DF\)（已知），点D在\(\angleBAC\)内部\(\thereforeAD\)平分\(\angleBAC\)（在角内部，到角两边垂线段相等的点，在角平分线上）。3.证明：过点P作\(PE\perpAB，PF\perpBC，PG\perpAC\)。\(\becauseBM\)平分\(\angleABC\)，\(PE\perpAB，PF\perpBC\)\(\thereforePE=PF\)（角平分线性质定理）。\(\becauseCN\)平分\(\angleACB\)，\(PF\perpBC，PG\perpAC\)\(\thereforePF=PG\)（角平分线性质定理）。\(\thereforePE=PF=PG\)，即点P到三边\(AB、BC、AC\)距离相等。4.证明：连接BD。\(\becauseCD\perpAD，CB\perpAB，CD=CB\)\(\thereforeBD\)平分\(\angleADC\)（角平分线判定）。在\(\text{Rt}\triangleBCD\)和\(\text{Rt}\triangleBAD\)中\(\begin{cases}BD=BD\\CD=CB\end{cases}\)\(\therefore\text{Rt}\triangleBCD\cong\text{Rt}\triangleBAD(\text{HL})\)\(\therefore\angleADB=\angleCDB，\angleABD=\angleCBD，\angleA=\angleC=90^\circ\)。四边形内角和\(360^\circ\)，\(\therefore\angleADC+\angleABC=360^\circ-\angleA-\angleC=180^\circ\)。##四、易错点总结1.判定定理一定要强调**垂线段**，只写“线段相等”会扣分；2.不能漏掉条件：点必须在**角内部**；3.区分内心、外心：内心→三边距离相等；外心→三顶点距离相等，极易混淆；4.分不清什么时候用性质、什么时候用判定：已知角平分线，推垂线段相等→**性质**；已知垂线段相等，推角平分线→**判定**；5.几何证明容易漏写垂直条件（缺少垂直，就不是垂线段）。（全文1321字）沪科版（新教材）数学八年级上册15.3.2角平分线的判定授课教师：.

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级：8年级（

）班.

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2026/9/29

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章轴对称图形与等腰三角形123

理解角平分线的定义；掌握并运用角平分线的判定定理；区分“性质定理”与“判定定理”1.角平分线的定义是什么？请你结合图1用几何符号语言表示出来。∵OC平分∠AOB,∴∠1=∠2（角平分线定义）∵∠1=∠2，∴OC平分∠AOB（角平分线定义）ABCO12图12.垂直平分线的性质定理与判定定理分别是什么？性质定理：线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等。判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。复习回顾02复习旧知如图,P是线段AB的垂直平分线上一点,若点P到端点A的距离PA=3,则点P到端点B的距离PB是多少?你判断的依据是什么?解:PB=3.依据:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.02创设情境如图，我们知道如何在两条公路的中间修建一座加油站，使得加油站到两条公路的距离相等.现在我们将问题进行升级，如何在三条公路的中间，选择一个地点建造加油站，使得加油站到三条公路的距离都相等.03新知探究思考如图,OE是∠AOB的平分线,P是OE上的任一点,过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB,点C，D是垂足,PC,PD的长有什么关系吗?PC=PD证明你的猜想.猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等.03新知探究证明：∵PC⊥OA，PD⊥OB∴∠PCO=∠PDO=90°

∴△PDO≌△PEOPBＯD

已知：如图,OP平分∠AOB，点P是OP上的任意一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.求证：PC=PD.∵OP平分∠AOB∴∠AOP=∠BOPAC∴PC=PD03新知探究性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2.应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，∴PD=PE.PD⊥OA，PE⊥OB，BADOPEC1.应用该定理所具备的条件：（1）角的平分线；推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.03新知探究思考猜想:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．写出下面角平分线性质定理的逆命题.这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.03新知探究已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.证明：作射线OP，∴点P在∠AOB角的平分线上.

∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP，BADOPE03新知探究角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.书写格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.BADOPE03新知探究例

已知：如图所示，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相较于点P.求证：AP平分∠BAC.证明：过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB，垂足分别为点M,N,Q.∵BE是∠B的平分线，点P在BE上∴PQ=PM同理，PN=PM.∴PN=PQ∴AP平分∠BAC.MABCPFEDF结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.03新知探究角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用途：判定一条射线是角平分线.三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.用途：证线段相等.归纳1、已知，如图，OC

是

∠AOB

内部的一条射线，P

是射线

OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①

∠AOC=∠BOC，②

PD=PE，③

OD=OE，④

∠DPO=∠EPO，能判定

OC

是

∠AOB

的角平分线的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D知识拓展：判定角平分线的方法：①

角平分线的定义②

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.(角平分线的判定定理)巩固练习AOBP12EF2、已知PA=PB，∠1+∠2=180°,求证：OP平分

∠AOB证明：过点P分别作PF⊥OB于点F，PE⊥OA于点E，则∠PEA=∠PFB=90°∵

∠1+∠2=180°，

∠PBF+∠2=180°在△PEA和△PFB中∠PEA=∠PFB∠1=∠PBFPA=PB∵∴△PEA≌△PFB∴

PE＝PF又∵

PE⊥OA，PF⊥OB(AAS)(全等三角形的对应边相等)∴

OP平分∠AOB∴

∠1=∠PBF(同角的补角相等)(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)3、已知：如图：△ABC中，∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线CF交于点P.求证：AP平分∠BAC.ABCPEFGNM∵

∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线CF交于点P证明：∴

PM=PN，PN=PG过点P分别作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,PG⊥AC于点G.

(角平分线上的点到角两边的距离相等)∴

PM=PG∴AP平分∠BAC(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)(等量代换)三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.这一点叫做三角形的内心.三角形的角平分线的性质定理：4、如图，在△ABC中，点

O

是△ABC内一点，且点

O

到

△ABC

三边的距离相等，若

∠A=70°，则

∠BOC

的度数为（）

A.35°

B.125°

C.55°

D.135°DEFB知识拓展：三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.【思维生长】如图①，如果点M在∠ANB的平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么AM＝________．向“

动态分析”生长：如图②，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，连接PN.若PM＝6，则PN的长度不可能是(

)A．18B．7.2C．6D．4.51星题基础练BMD向“转化思想”生长：如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.若BC＝5，DE＝2，则DB的长为________．32．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，若AD＝3，BC＝10，求△BDC的面积．解：∵∠A＝90°，∴DA⊥AB.∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥BC于点

E，∴DE＝AD＝