2027版三维设计 高中总复习数学第八章第7节　抛物线

第7节抛物线课标要求1.

了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用.2.

了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.

了解抛物线的简单应用.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离

⁠；（3）定点

定直线上.提醒：定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上

时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.相等

不在

2.

抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形

焦点标准方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离准线方程x＝

⁠x＝

⁠y＝

⁠y＝

⁠范围x≥0，

y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴y轴开口方向向右向左向上向下

标准方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离顶点O（0，0）离心率e＝

⁠焦半径（其中P（x0，

y0））｜PF｜

＝

⁠

⁠｜PF｜

＝

⁠

⁠｜PF｜＝

⁠

⁠｜PF｜

＝

⁠⁠1

y0

标准方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离焦点弦x1＋x2＋p

⁠

⁠

⁠p－y1－y2通径过焦点且垂直于对称轴的弦长等于

，通径是过焦点最

短的弦p－x1－

x2y1＋y2＋p2p

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.

（

×

）（2）y2＝2px（p＞0）中p越大，抛物线的开口越大.

（

√

）（3）方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1，0）.

（

×

）（4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切.

（

×

）×√××2.

抛物线y2＝4x的焦点坐标是（

）A.

（0，2）B.

（0，1）C.

（2，0）D.

（1，0）√

√

A.3B.6C.9D.12√

5.

抛物线关于y轴对称，顶点在坐标原点，准线过点E（－5，5），则该

抛物线方程为

⁠.

x2＝－20y

02PART研透核心考点抛物线的定义及应用（师生共研过关）

（1）设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过

点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的

轨迹方程为（

A

）A.

x2＝8yB.

x2＝16yC.

y2＝8xD.

y2＝16xA解析：

因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点（A在B的上方），所

以A（0，2），B（0，－2），又因为过点B作圆O的切线l，所以切线l

的方程为y＝－2，因为动点P到A的距离等于P到l的距离，所以动点P的

轨迹为抛物线，且其焦点为（0，2），准线为y＝－2，所以动点P的轨迹

方程为x2＝8y.（2）（2025·全国Ⅱ卷6题）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，

点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.

若直线BF的方程为y＝－

2x＋2，则｜AF｜＝（

C

）A.3B.4C.5D.6C解析：

根据直线y＝－2x＋2得F（1，0），所以C的准线方程为x＝－

1，C的方程为y2＝4x，所以B（－1，4），所以A（4，4），所以｜

AF｜＝｜AB｜＝5.

“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，许多抛物线问题均可根据定

义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解

题的一条捷径.

A.4B.3

D

6

抛物线的标准方程（师生共研过关）

C.

y2＝4xD.

x2＝4yAC

（2）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准

线于点A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则抛物线的方

程为

⁠.y2＝3x

求抛物线标准方程的方法（1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p），那么只需求

出p即可；（2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物

线的标准方程可统一设为y2＝ax（a≠0）；焦点在y轴上的抛物线的标准

方程可统一设为x2＝ay（a≠0），a的正负由题设来定，这样就减少了不

必要的讨论.

A.1D.2

C（2）（2025·山东潍坊二模）若抛物线的准线与直线y＝1之间的距离是

2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程

⁠.

x2＝4y（或x2＝－12y）

抛物线的几何性质（师生共研过关）

（1）〔一题多解〕（2021·新高考Ⅰ卷14题改编）已知O为坐标原点，

抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂

直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.

若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为

（

A

）A

（2）〔多选〕（2025·八省联考）已知F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的

焦点，M是C上的点，O为坐标原点.则（

ABC

）A.

p＝4B.

｜MF｜≥｜OF｜C.

以M为圆心且过F的圆与C的准线相切ABC

应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观

地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质，体现了数形结合思

想解题的直观性.训练3

（1）将两个顶点在抛物线y2＝2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛

物线的焦点的正三角形的个数记为n，则（

C

）A.

n＝0B.

n＝1C.

n＝2D.

n≥3解析：

根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一

定关于x轴对称，且过焦点的两条直线的倾斜角分别为

30°和150°，这时过焦点的直线与抛物线有两个交点.

如图所示，所以正三角形的个数n＝2.C（2）设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限

内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，

则｜PF｜＝（

B

）A.3B.6C.9D.12

B最值（范围）问题（师生共研过关）

（1）设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B

（3，2），则｜PB｜＋｜PF｜的最小值为（

C

）A.2B.3C.4D.5解析：

如图，过点B作BQ垂直于准线，交准线于点Q，

交抛物线于点P1，连接P1F，则｜P1Q｜＝｜P1F｜.又

F（1，0），则有｜PB｜＋｜PF｜≥｜P1B｜＋｜

P1Q｜＝｜BQ｜＝4，即｜PB｜＋｜PF｜的最小值为4.C（2）（2026·河北沧州模拟）已知P为抛物线x2＝8y上一点，过点P作圆

C：x2＋（y－5）2＝1的两条切线，切点分别为M，N，则cos∠MPN的

最小值为（

D

）D

与抛物线有关的最值问题的两个转化策略（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出

“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以

解决；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与

直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.

（2）直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，若｜AB｜＝6，则线段AB的

中点M到x轴距离的最小值是

⁠.

2

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小

1，则点M的轨迹方程是（

）A.

x＋4＝0B.

x－4＝0C.

y2＝8xD.

y2＝16x123456789101112131415√解析：

依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距

离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，

所以其方程为y2＝16x.故选D.

A.1B.2D.4√

1234567891011121314153.

（2025·山东济南一模）抛物线y＝x2＋2x＋2的焦点坐标为（

）√

1234567891011121314154.

中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了

中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2

m时，水面

宽8

m.若水面下降1

m，则水面宽度为（

）D.12

m√123456789101112131415

1234567891011121314155.

已知P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到

直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是（

）√C.2

1234567891011121314156.

〔多选〕已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（5，y0）在抛

物线上，且｜PF｜＝6，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则（

）A.

p＝2B.

抛物线的准线为直线y＝－1√√123456789101112131415

123456789101112131415

3

123456789101112131415

1234567891011121314159.

（13分）已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C1经过点P（2，2），

以C1上一点C2为圆心的圆过定点A（0，1），记M，N为圆C2与x轴的两

个交点.（1）求抛物线C1的方程；解：

由题意，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入P（2，2），得p＝1，∴抛物线C1的方程为x2＝2y.123456789101112131415（2）当圆心C2在抛物线上运动时，试判断｜MN｜是否为一定值？请证明

你的结论.

123456789101112131415

10.

已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l垂直于x轴，且

与抛物线C交于P，Q两点，点E在x轴上，且｜EF｜＝2.若kOP·kEQ＝－

2（O为坐标原点），则C的准线方程为（

）A.

x＝－1C.

x＝－2√123456789101112131415

12345678910111213141511.

（2026·河南开封调研）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C

上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线

OM相切的圆的面积