甘肃省甘南州临潭县第一中学2026-2027学年高三（上）学业学情调研数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年甘肃省甘南州临潭县第一中学高三（上）学业学情调研数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|y=x−2}，则A∩B=A.{1,2} B.{3,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}2.已知复数z(2−i)=i，则复数z−=(

)A.−15+25i B.13.已知向量a=(1,1)，b=(λ,2)，若a与b垂直，则实数λ的值是(

)A.−1 B.1 C.−2 D.24.已知锐角α满足tan2α=815，则cos2A.−917 B.917 C.−5.正项等差数列{an}的公差为d，已知a1=4，且a1，a3A.7 B.5 C.3 D.16.近期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“Be water，my friend”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论.某数学兴趣小组从中提取四个首字母B，W，M，F，各取两次(即共8个字母：B，B，W，W，M，M，F，F)并排成一排.若至多有两对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为(

)A.2376 B.2352 C.2208 D.20687.如图所示，过双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2A.2

B.5

C.6

8.已知函数f(x)=14x4−23xA.(−∞,2e−1e2] B.(−∞,2] C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.数据1，2，3，5，8，13，21，34，55，89的上四分位数为34

B.已知随机变量X～B(n,p)，若E(X)=2，D(X)=43，则n=6

C.一组观测数据(xi,yi)的经验回归方程为y=−2.7x+14.1，则样本点10.如图所示，长方体ABCD−A1B1C1D1，底面是边长为1的正方形，高为2，A.CE//A1B

B.三棱锥C−B1C1E的体积为13

C.平面B111.已知椭圆C：x24+y2=1点P(x0,y0)在C的第一象限部分上.C在点P处的切线分别与A.切线AB的方程为x0x4+y0y=1

B.|OA|⋅|OB|≥42

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.1.邻居记得浇水的概率为0.9.如果该人回来植物没有枯萎，则邻居浇水的概率为

．13.若圆C：x2+y2−2x−4y−6=0关于直线2ax+by−2=0(ab>0)对称，则2a+14.在△ABC中，3sinAsinB=sinAsinC+sinBsinC，则cosC的最小值是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}满足an=3an−1+4(n≥2)，且a1=1，

(1)求数列{an}16.(本小题15分)

已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点，点F在棱PC上．

(1)证明：AE⊥PD；

(2)若AB=2，PA=2，且直线EF与底面ABCD所成的角为45°，求二面角C−AF−E的余弦值．17.(本小题15分)

已知F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过P(2,0)的直线l交C于A，B两点，M(x0,y0)为AB的中点，且|FA|+|FB|=2(x0+1)．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若18.(本小题17分)

中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.在中国有着深厚的群众基础，是普及最广的棋类项目.某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛(任意两人之间只赛一场)，每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行加赛.已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为25，平局概率为15；甲、丙对局时，甲胜概率为13，平局概率为13；乙、丙对局时，乙胜概率为12，平局概率为16.各场比赛相互独立，若只考虑单循环赛的三场比赛，求：19.(本小题17分)

已知函数f(x)=aex−1+1a−3lnx−3,a>0．

(1)求f(3)的最小值；

(2)已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，若0<a<3，求△AOB面积的最小值；

(3)证明：∀θ∈(0,1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】BD

11.【答案】ACD

12.【答案】818313.【答案】3+214.【答案】−115.【答案】解：(1)因为an=3an−1+4(n≥2)，

所以an+2=3(an−1+2)，(n≥2)，而a1+2=3≠0，

所以数列{an+2}是首项和公比均为3的等比数列，

所以an+2=3n，即有an=3n−2；

(2)由bn=n⋅an=n⋅3n−2n，

设数列{n⋅3n}16.【答案】解：(1)证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，

得△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，

所以AE⊥BC，又BC/​/AD，因此AE⊥AD，

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，

而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，

所以AE⊥PD．

(2)以A为原点，AE,AD,AP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系：

由AB=2，PA=2，结合菱形性质得A(0,0,0)，E(3,0,0)，C(3,1,0)，P(0,0,2)，

因为F在PC上，故可设PF=λPC(0<λ<1)，则F(3λ,λ,2−2λ)，

取底面ABCD的法向量为m=(0,0,1)，

因为直线EF与底面所成角为45°，则线面角的正弦值等于向量EF与向量m的夹角的余弦值的绝对值，

所以sin45°=|EF⋅m||EF||m|，

代入EF=(3λ−3,λ,2−2λ)，m=(0,0,1)，

可得22=2−2λ(3λ−3)2+λ2+(2−2λ)2×1，

所以2(8λ2−14λ+7)=16λ2−32λ+16，

化简解得λ=12，即F为PC中点，点F的坐标为(32,12,1)，

设平面AFC的法向量为n1=(x1,y17.【答案】解：(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由抛物线定义可知：|FA|+|FB|=x1+p2+x2+p2=2x0+p=2(x0+1)

所以p=2，即抛物线C的方程为y2=4x．

(2)设直线l：x=my+2，

x=my+218.【答案】解：(1)由已知可得，甲、乙对局时，甲输的概率为1−25−15=25；甲、丙对局时，甲输的概率为1−13−13=13，

设甲积分为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6，

P(ξ=0)=25×1ξ012346P211412∴E(ξ)=0×215+1×15+2×115+3×415+4×15+6×215=4115；

(2)若甲、乙积分相同，则只能同时积(1分)、(2分)、(3分)、(4分)，

若甲、乙均积(1分)，则甲、乙对局平局，甲、丙对局丙胜，乙、丙对局丙胜，

其概率为P1=15×13×13=145；19.【答案】解：(1)因为f(3)=ae2+1a−3ln3−3≥2e−3ln3−3，

当且仅当ae2=1a，即a=1e时等号成立，

所以f(3)的最小值是2e−3ln3−3；

(2)f(1)=a+1a−3，f′(x)=aex−1−3x，所以f′(1)=a−3，

所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−(a+1a−3)=(a−3)(x−1)，

当y=0时，x=1