浙江杭州市锦绣育才教育集团2026-2027学年上学期第一次阶段自测九年级数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页浙江杭州市锦绣育才教育集团2026_2027学年上学期第一次阶段自测九年级数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知线段、、、满足，且，，，则的值为（

）A.2 B.4 C.6 D.82.如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（

）

A. B. C. D.3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（

）A. B. C. D.4.两个相似三角形的对应边之比为，若较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为（）A. B. C. D.5.如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（）​​​​​​​A. B. C. D.6.一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同。从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次摸到的红球的概率为（）A. B. C. D.7.二次函数在范围内的最小值为，则的值为（

）A.2 B.3 C.4 D.58.如图，在中，弦弦，，，且与位于圆心的同侧。若与之间的距离为2，则的半径为（）​​​​​​​A.8 B.9 C.10 D.129.如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（）

A. B. C. D.10.如图，在中，，，．点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动；同时点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动．当点到达点时，运动停止．设运动时间为秒，的面积为，则的最大值为（

）

A.9.6 B.10 C.12 D.16.8二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。11.抛物线的顶点坐标为

．12.在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为

（结果保留根号）．

13.如图，木工师傅在加固一个三角形屋架时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条，分别与两边、交于点、。已知，，，则木条

。​​​​​​​14.近年来，无人机航拍被广泛应用于地理测绘。在一次测算某湿地公园中天然湖泊面积的活动中，测绘人员用无人机航拍了一张面积为25平方千米的区域俯视图。为了估算湖泊的面积，他们在航拍图上随机选取了大量的点，经过大量重复试验，发现点落在湖泊区域的频率稳定在0.48左右。据此估计，该湖泊的面积约为

平方千米。15.已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点。若线段的长为4，则的值为

.16.如图，四边形内接于，为直径，、交于点，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点．若，点到的距离为2，则

．

三、解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知二次函数，求它的图象与直线的交点坐标．18.(本小题10分)如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件．

(1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径；(2)求裁剪后剩下废料的面积．19.(本小题10分)如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）．

(1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等；(2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积．20.(本小题10分)

临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量．(1)估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率；(2)若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？21.(本小题10分)如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上．

(1)求证：；(2)求线段的长．22.(本小题10分)如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点．

(1)求证：平分；(2)若，，求的长．23.(本小题18分)【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示．【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点．(1)请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式．(2)【模型应用】网前吊球的落点到球网的距离

；(3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围．24.(本小题10分)为半圆的直径，半径交弦于点，已知．

(1)如图1，连接，①求证：；②若，，求的长；(2)如图2，连接，，若，，求半圆的半径．

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】

12.【答案】

/

13.【答案】3.2

14.【答案】12

15.【答案】3

16.【答案】4

17.【答案】解：在中，当时，则，解得或，∴二次函数的图象与直线的交点坐标为和．

18.【答案】【小题1】解：连接，根据题意，，

​​​​​​​，是直径，，，，，，，即裁剪得到的扇形装饰部件的半径为；【小题2】解：即裁剪后剩下废料的面积为．

19.【答案】【小题1】如图所示：【小题2】如图所示：根据图形可知的三边长分别为，，，相似三角形对应边成比例，设的三边分别为，，，，正方形网格中最长线段长，的最大值为，此时的三边分别为，，，，．

20.【答案】【小题1】解：∵随机捕捉的100只动物中，野鸡有40只，∴样本中捕捉一只动物是野鸡的频率为，∴估计随机捕捉一只动物是野鸡的概率为；【小题2】解：设该保护区野兔总数为只，野鸡总数为只，∵第一次标记野兔60只，重捕的360只野兔中带标记的有12只，∴，解得；∵第一次标记野鸡40只，重捕的140只野鸡中带标记的有8只，∴，解得；答：该保护区约有野兔1800只，野鸡700只．

21.【答案】【小题1】证明：是等边三角形，，，根据折叠可知，，，，，，．【小题2】解：设，则，根据折叠可知，，，，，，，，，，，，，，解得，经检验，是所列方程的根，即的长为．

22.【答案】【小题1】证明：四边形是圆内接四边形，∴，∵，，，，，，，平分；【小题2】解：过作于，

​​​​​​​平分，，，，在和中，，在和中，，，，，答：的长为．

23.【答案】【小题1】解：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系如图所示：连接，设抛物线解析式为，，，，，，，，把，代入函数解析式得，解得，；【小题2】【小题3】解：把代入抛物线解析式得，解得，，乙站在球网右侧，，羽毛球离地高度不小于，，，，乙站在球网右侧，的取