2026年天津市北师大版高中一年级数学下册第4章同步练习题

2026年天津市北师大版高中一年级数学下册第4章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，0)∪(1，+∞)B．(-1，0)C．(0，1)D．(1，+∞)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)。当x∈(-1，0)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(0，+∞)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减。又g(0)=0，g(1)=ln2-1＜0，g(2)=ln3-2＞0，由零点存在性定理知，ln(a+1)=a在(-1，0)和(1，+∞)各有一个解，故a∈(-1，0)∪(1，+∞)。2.若函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1，4]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值是（）A．-4B．-2C．2D．4解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。故M=18，m=-4，M+m=14。3.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值是（）A．1B．2C．eD．e²解析：f'(x)=e^x-a，由题意f'(1)=e-a=0，得a=e。4.不等式|x-1|+|x+2|＞3的解集是（）A．(-∞，-2)∪(1，+∞)B．(-2，1)C．(-∞，-3)∪(2，+∞)D．(-∞，-3)∪(3，+∞)解析：分段讨论：当x∈(-∞，-2)时，-x+1-x＞3，x＜-1；当x∈[-2，1)时，-x+1+x＞3，无解；当x∈[1，+∞)时，x-1+x+2＞3，x＞1。故解集为(-∞，-1)∪(1，+∞)。5.已知函数f(x)=x²-2x+3，若f(a)=f(3)，则a的值是（）A．0B．2C．0或2D．3或1解析：f(3)=6，f(a)=a²-2a+3=6，即a²-2a-3=0，解得a=-1或a=3。6.若函数f(x)=ln(2x+1)在区间(0，1)上的平均变化率为2，则k的值是（）A．1B．2C．3D．4解析：平均变化率=(f(1)-f(0))/(1-0)=ln3-0=ln3≠2，故无解。7.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，若f(x)在x=1处取得极值，则f(x)的另一个极值点x₀是（）A．-1B．0C．2D．3解析：f'(x)=3x²-6x+2，由f'(1)=0得x=1。f''(1)=-6＜0，故x=1为极大值点。令f'(x)=0得3x²-6x+2=0，解得x₁=1+√3/3，x₂=1-√3/3。另一个极值点为x₂=-1。8.若函数f(x)=x²-2ax+a²在区间[-1，2]上的最小值是1，则a的值是（）A．-1B．1C．-1或3D．1或3解析：f'(x)=2x-2a，令f'(x)=0得x=a。当a∈[-1，2]时，f(a)=-a²+2a+a²=2a=1，a=1/2∉[-1，2]，故舍去。当a∈(-∞，-1)时，f(x)在[-1，2]上单调递减，f(-1)=1，a=-1；当a∈(2，+∞)时，f(x)在[-1，2]上单调递增，f(2)=1，a=3。9.已知函数f(x)=ln(x+1)-kx在x=1处取得极小值，则k的值是（）A．1/2B．1C．2D．3解析：f'(x)=1/(x+1)-k，由题意f'(1)=1/2-k=0，得k=1/2。10.若函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值是（）A．4B．6C．8D．10解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0。故M=0，m=-4，M+m=-4。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处的切线方程是y=2x-1，则f'(1)的值是________。参考答案：2解析：f'(x)=3x²-6x+2，f'(1)=3-6+2=2。2.不等式|x-1|+|x+2|＜3的解集是________。参考答案：(-2，1)解析：分段讨论：当x∈(-∞，-2)时，-x+1-x＜3，x＞-1；当x∈[-2，1)时，-x+1+x＜3，无解；当x∈[1，+∞)时，x-1+x+2＜3，x＜1。故解集为(-1，1)。3.若函数f(x)=ln(2x+1)在x=1处的导数是________。参考答案：1/3解析：f'(x)=2/(2x+1)，f'(1)=2/3。4.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的最大值是________。参考答案：2解析：f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0，最大值为2。5.若函数f(x)=x²-2x+3在x=1处的切线方程是________。参考答案：y=x+2解析：f'(x)=2x-2，f'(1)=0，f(1)=2，切线方程为y=2x+2。6.不等式|x-1|+|x+2|≥3的解集是________。参考答案：(-∞，-2]∪[1，+∞)解析：分段讨论：当x∈(-∞，-2)时，-x+1-x≥3，x≤-1；当x∈[-2，1)时，-x+1+x≥3，无解；当x∈[1，+∞)时，x-1+x+2≥3，x≥1。故解集为(-∞，-1]∪[1，+∞)。7.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处的二阶导数是________。参考答案：0解析：f''(x)=6x-6，f''(1)=6-6=0。8.若函数f(x)=ln(2x+1)在x=1处的导数是________。参考答案：1/3解析：f'(x)=2/(2x+1)，f'(1)=2/3。9.函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1，3]上的最小值是________。参考答案：2解析：f(-1)=6，f(0)=3，f(2)=1，最小值为1。10.若函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处的切线方程是________。参考答案：y=2x-1解析：f'(x)=3x²-6x+2，f'(1)=2，f(1)=0，切线方程为y=2x-1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处取得极值，则f(x)在x=1处可导。（√）解析：极值点处函数可导，f'(1)=0。2.不等式|x-1|+|x+2|＞3的解集是(-∞，-2)∪(1，+∞)。（×）解析：正确解集为(-∞，-1)∪(1，+∞)。3.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的最大值是6。（×）解析：最大值是2。4.若函数f(x)=ln(2x+1)在x=1处的导数是2/3，则f(x)在x=1处取得极值。（×）解析：f'(1)=2/3，但f''(1)=2/3＞0，f(x)在x=1处单调递增。5.函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1，3]上的最小值是1。（√）解析：f(-1)=6，f(0)=3，f(2)=1，最小值为1。6.不等式|x-1|+|x+2|＜3的解集是(-2，1)。（√）解析：正确解集为(-1，1)。7.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处的二阶导数是6。（×）解析：f''(1)=0。8.若函数f(x)=ln(2x+1)在x=1处的导数是2/3，则f(x)在x=1处取得极值。（×）解析：f'(1)=2/3，但f''(1)=2/3＞0，f(x)在x=1处单调递增。9.函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1，3]上的最小值是2。（×）解析：最小值是1。10.若函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处的切线方程是y=2x-1，则f'(1)的值是2。（√）解析：f'(1)=2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1，3]上的最大值和最小值。解：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0。故最大值为0，最小值为-4。2.求函数f(x)=ln(2x+1)在x=1处的切线方程。解：f'(x)=2/(2x+1)，f'(1)=2/3，f(1)=ln3。切线方程为y=2/3(x-1)+ln3，即y=2/3x+ln3-2/3。3.解不等式|x-1|+|x+2|＞3。解：分段讨论：当x∈(-∞，-2)时，-x+1-x＞3，x＜-1；当x∈[-2，1)时，-x+1+x＞3，无解；当x∈[1，+∞)时，x-1+x+2＞3，x＞1。故解集为(-∞，-1)∪(1，+∞)。4.求函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1，3]上的最小值。解：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(-1)=6，f(0)=3，f(1)=2，f(3)=6。故最小值为2。5.求函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处的导数。解：f'(x)=3x²-6x+2，f'(1)=2。6.解不等式|x-1|+|x+2|＜3。解：分段讨论：当x∈(-∞，-2)时，-x+1-x＜3，x＞-1；当x∈[-2，1)时，-x+1+x＜3，无解；当x∈[1，+∞)时，x-1+x+2＜3，x＜1。故解集为(-1，1)。7.求函数f(x)=ln(2x+1)在x=1处的导数。解：f'(x)=2/(2x+1)，f'(1)=2/3。8.求函数f(x)=x²-2x+3在区间[-1，3]上的最大值。解：f(-1)=6，f(0)=3，f(1)=2，f(3)=6。故最大值为6。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，若f(a)=f(3)，求a的值。解：f(3)=9，f(a)=a³-3a²+2a=9，即a³-3a²+2a-9=0。因式分解得(a-3)(a²+1)=0，故a=3。2.已知函数f(x)=ln(2x+1)在x=1处的导数是2/3，求k的值。解：f'(x)=2/(2x+1)，f'(1)=2/3，故k=1/2。3.已知函数f(x)=x²-2x+3，若f(a)=f(3)，求a的值。解：f(3)=6，f(a)=a²-2a+3=6，即a²-2a-3=0，解得a=-1或a=3。4.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，若f(a)=f(2)，求a的值。解：f(2)=-4，f(a)=a³-3a²+2a=-4，即a³-3a²+2a+4=0。因式分解得(a+1)(a²-4a-4)=0，故a=-1。5.已知函数f(x)=ln(2x+1)在x=1处的导数是2/3，求k的值。解：f'(x)=2/(2x+1)，f'(1)=2/3，故k=1/2。6.已知函数f(x)=x²-2x+3，若f(a)=f(1)，求a的值。解：f(1)=2，f(a)=a²-2a+3=2，即a²-2a+1=0，解得a=1。7.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，若f(a)=f(0)，求a的值。解：f(0)=1，f(a)=a³-3a²+2a=1，即a³-3a²+2a-1=0。因式分解得(a-1)(a²-2a+1)=0，故a=1。8.已知函数f(x)=ln(2x+1)在x=1处的导数是2/3，求k的值。解：f'(x)=2/(2x+1)，f'(1)=2/3，故k=1/2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.C4.A5.C6.无解7.A8.C9.A10.B解析：2.g(x)在(-1，0)单调递增，(1，+∞)单调递减，且g(0)=0，g(1)=ln2-1＜0，g(2)=ln3-2＞0，故a∈(-1，0)∪(1，+∞)。3.f(x)在[-1，3]上单调递减，最小值m=f(3)=0，最大值M=f(-1)=6，M+m=6。4.f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0，a=e。5.分段讨论：x∈(-∞，-2)时，-x+1-x＞3，x＜-1；x∈[1，+∞)时，x-1+x+2＞3，x＞1。故解集为(-∞，-1)∪(1，+∞)。6.f(a)=f(3)⇒a²-2a+3=9⇒a²-2a-6=0⇒a=-1或a=3。7.平均变化率=(f(1)-f(0))/(1-0)=ln3≠2，无解。8.f'(x)=3x²-6x+2，f'(1)=0，f''(1)=-4＜0，故x=1为极大值点。令f'(x)=0得x₁=1+√3/3，x₂=1-√3/3。另一个极值点为x₂=-1。9.f'(x)=2x-2a，令f'(x)=0得x=a。当a∈[-1，2]时，f(x)在[-1，2]上单调递减，f(a)=-a²+2a+a²=2a=1，a=1/2∉[-1，2]，故舍去。当a∈(-∞，-1)时，f(x)在[-1，2]上单调递减，f(-1)=1；当a∈(2，+∞)时，f(x)在[-1，2]上单调递增，f(2)=1。故a=-1或a=3。10.f'(x)=1/(x+1)-k，由题意f'(1)=1/2-k=0，得k=1/2。11.f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0。故M=0，m=-4，M+m=-4。二、填空题1.22.(-1，1)3.2/34.25.y=x+26.(-∞，-1]∪[1，+∞)7.08.2/39.110.y=2x-1解析：2.f'(x)=3x²-6x+2，f'(1)=2。3.分段讨论：x∈(-∞，-2)时，-x+1-x＜3，x＞-1；x∈[-2，1)时，-x+1+x＜3，无解；x∈[1，+∞)时，x-1+x+2＜3，x＜1。故解集为(-1，1)。4.f'(x)=2/(2x+1)，f'(1)=2/3。5.f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0。故最大值为0。6.f'(x)=2x-2，f'(1)=0，f(1)=2，切线方程为y=2x-1。7.分段讨论：x∈(-∞，-2)时，-x+1-x≥3，x≤-1；x∈[-2，1)时，-x+1+x≥3，无解；x∈[1，+∞)时，x-1+x+2≥3，x≥1。故解集为(-∞，-1]∪[1，+∞)。8.f''(x)=6x-6，f''(1)=0。9.f'(x)=2/(2x+1)，f'(1)=2/3。10.f(-1)=6，f(0)=3，f(2)=1，最小值为1。11.f'(x)=3x²-6x+2，f'(1)=2，f(1)=0，切线方程为y=2x-1。三、判断题1.√2.×3.×4.×5.√6.√7.×8.×9.×10.√解析：2.极值点处函数可导，f'(1)=0。3.正确解集为(-1，1)。4.最大值是2。5.f'(1)=2/3，但f''(1)=2/3＞0，f(x)在x=1处单调递增。6.f(-1)=6，f(0)=3，f(1)=2，f(3)=6。最小值为2。7.正确解集为(-1，1)。8.f''(1)=0。9.f'(1)=2/3，但f''(1)=2/3＞0，f(x)在x=1处单调递增。10.最小值是1。11.f'(1)=2。四、简答题1.f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=0，f(2)=-4，f(3)=0。故最大值为0，最小值为-4。2.f'(x)=2/(2x+1)，f'(1)=2/3，f(1)=ln3。切线方程为y=2/3(x-1)+ln3，即y=2/3x+ln3-2/3。3.