北航-现代控制理论考试试卷含答案

北航:现代控制理论考试试卷含答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知线性定常系统的传递函数为G(A.1阶B.2阶C.3阶D.4阶答案：B解析：传递函数分子分母存在公因子s，约去后得到既约传递函数s+2.线性定常连续系统x=A.能控性矩阵[B B.能控性矩阵[B C.矩阵A的所有特征值都具有负实部D.矩阵A非奇异答案：B3.根据对偶原理，系统Σ1=(A.能控性B.能观性C.稳定性D.鲁棒性答案：A4.下列关于李雅普诺夫稳定性理论的说法，正确的是（）A.李雅普诺夫第一法仅适用于线性系统B.李雅普诺夫第二法仅适用于线性定常系统C.李雅普诺夫函数是唯一的D.若线性定常系统渐近稳定，则对于任意给定的正定对称矩阵Q，李雅普诺夫方程ATP答案：D解析：A选项错误，李雅普诺夫第一法可用于非线性系统平衡点附近的小信号稳定性分析；B选项错误，李雅普诺夫第二法适用于线性、非线性、定常、时变各类系统；C选项错误，李雅普诺夫函数不唯一，只要满足定理判定条件即可。5.状态反馈能够任意配置闭环极点的前提条件是被控系统（）A.完全能观B.完全能控C.渐近稳定D.为最小相位系统答案：B6.设计全维状态观测器的前提条件是原系统（）A.完全能控B.完全能观C.渐近稳定D.输入输出维数相等答案：B7.若V(A.V(x)正定，V(B.V(x)C.V(x)D.V(x)答案：A8.已知线性定常系统的状态空间表达式为能控标准Ⅰ型，则其对偶系统为（）A.能控标准Ⅰ型B.能观标准Ⅰ型C.能控标准Ⅱ型D.能观标准Ⅱ型答案：B解析：根据对偶原理，能控标准型的对偶系统为能观标准型，能控标准Ⅰ型对应能观标准Ⅰ型。9.极小值原理中，最优控制u*A.对所有容许的u，HB.对所有容许的u，HC.∂D.∂答案：A解析：极小值原理的核心是最优控制使哈密顿函数取全局最小值；选项C是控制无约束时的必要条件，不具有普遍性。10.n阶线性定常离散系统x(A.nB.nC.nD.2答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1.线性定常连续系统x=Ax在平衡点x答案：都具有负实部2.线性定常系统Σ=(A,B答案：正定3.状态反馈控制u=−K答案：能控；能观4.对于n阶完全能观的系统，全维状态观测器的阶数为______。答案：n5.传递函数矩阵的最小实现是指______的实现。答案：具有最小状态维数6.用李雅普诺夫第二法分析非线性系统稳定性时，若V(x)正定，V答案：渐近稳定7.线性定常离散系统x(k+答案：i8.能观性的PBH判据为：系统完全能观当且仅当对矩阵A的所有特征值λi，都有r答案：n（系统状态维数）9.状态反馈极点配置中，希望极点的选取通常需要考虑______、超调量、调节时间等动态性能指标，同时保证物理可实现性。答案：稳态精度（或响应速度，合理即可）10.无限时间线性二次型最优控制问题中，最优控制律的形式为u*=−答案：黎卡提（Riccati）三、简答题（每题5分，共20分）1.简述最小实现的定义及常用求取步骤。答案：定义：对于给定的传递函数矩阵G((1)对传递函数G((2)根据既约传递函数的分母阶数确定最小实现的阶数n；（1分）(3)构造能控标准型或能观标准型实现，即为最小实现。（1分）2.简述线性定常系统能控性与能观性的对偶原理。答案：设系统Σ1=((1)系统Σ1完全能控的充要条件是对偶系统Σ(2)系统Σ1完全能观的充要条件是对偶系统Σ解析：对偶原理建立了能控性与能观性的内在联系，可通过分析对偶系统的能控性得到原系统的能观性，反之亦然，简化了相关分析与设计过程。3.简述李雅普诺夫第二法的基本思想，并说明线性定常系统渐近稳定的判定条件。答案：基本思想：通过构造一个广义的"能量函数"（李雅普诺夫函数V(x,t)），并根据其沿系统状态轨迹的导数V(x4.简述状态反馈极点配置的基本前提条件与设计步骤。答案：前提条件：被控系统完全能控。（1分）设计步骤：(1)判断系统的能控性，确认满足极点配置的前提条件；（1分）(2)根据性能指标要求，确定期望的闭环极点λ1(3)写出状态反馈下闭环系统的特征多项式det(sI(4)求解得到状态反馈矩阵K。（1分）四、计算题（每题10分，共20分）1.已知线性定常系统的状态空间表达式为：xy试求：(1)判断系统的能控性与能观性；(2)若系统完全能控，将其转换为能控标准Ⅰ型。答案：(1)能控性与能观性判别（5分）系统状态维数n=能控性矩阵：Udet(Uc能观性矩阵：Udet(Uo(2)转换为能控标准Ⅰ型（5分）系统的特征多项式为：det即特征多项式系数a0=−A输出矩阵Cc=CP，其中变换矩阵P满足P最终能控标准Ⅰ型为：x2.已知线性定常系统的状态方程为：x试用李雅普诺夫第二法判断系统在原点平衡点的渐近稳定性，并求取对应的李雅普诺夫函数。答案：系统为线性定常自治系统，采用李雅普诺夫方程法求解。设李雅普诺夫函数为V(x)A取Q为单位矩阵I=10−展开得到方程组：(1)−(2)p(3)2p解方程组得：p11=2316，$$P=\frac{1}{16}\begin{bmatrix}23&7\\7&5\end{bmatrix}

$$（2分）

顺序主子式$\Delta_1=\frac{23}{16}>0$，$\Delta_2=\frac{23\times5-7\times7}{256}=\frac{66}{256}>0$，故$P$正定，系统在原点处全局渐近稳定。

对应的李雅普诺夫函数为：$$V(x)=\frac{1}{16}(23x1^2+14x1x2+5x2^2)$$（3分）

##五、综合分析题（共20分）

已知线性定常系统的状态空间表达式为：$$\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\0&-5\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\100\end{bmatrix}u$$y要求：(1)判断系统的能控性与能观性；（4分）(2)设计状态反馈矩阵K，使闭环系统的极点配置为s1,2=−(3)若状态不可直接测量，设计全维状态观测器，使观测器的极点为s1答案：(1)能控性与能观性判别（4分）系统状态维数n=能控性矩阵：Udet(Uc能观性矩阵：Udet(Uo(2)状态反馈矩阵设计（8分）设状态反馈矩阵K=k1$$A-BK=\begin{bmatrix}0&1\\0&-5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0\\100\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1&k_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\-100k_1&-5-100k_2\end{bmatrix}

$$（2分）

闭环系统的特征多项式为：$$\det(sI-(A-BK))=s^2+(5+100k2)s+100k1$$（2分）

期望的闭环特征多项式为：$$(s+7.07-j7.07)(s+7.07+j7.07)=s^2+14.14s+100$$（2分）

比较系数得：

$5+100k_2=14.14\impliesk_2=0.0914$

$100k_1=100\impliesk_1=1$

故状态反馈矩阵$K=\begin{bmatrix}1&0.0914\end{bmatrix}$。（2分）

(3)全维状态观测器设计（8分）

全维状态观测器的状态方程为：$$\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-C\hat{x})=(A-LC)\hat{x}+Bu+Ly$$其中$L$为观测器增益矩阵，设$L=\begin{bmatrix}l_1\\l_2\end{bmatrix}$，则观测器的特征矩阵为：$$A-LC=\begin{bmatrix}0&1\\0&-5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}l1\\l2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-l1&1\\-l2&-5\end{bmatrix}$$（2分）

观测器的特征多项式为：$$\det(sI-(A-LC))=s^2+(l1+5)s+5l1+l_2$$（2分）

期望的观测器特征多项式为：$$(s+50)^2=s^2+100s+2500$$（2分）

比较系数得：

$l_1+5=100\impliesl_1=95$

$5\times95+l_2=2500\impliesl_2=2025$

故观测器增益矩阵$L=\begin{bmatrix}95\\2025\end{bmatrix}$，观测器的状态方程为：$$\dot{\hat{x}}=\begin{bmatrix}-95&1\\-202