2026-2027学年湖南省永州市高三（上）第一次模拟数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年湖南省永州市高三（上）第一次模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1<A.{−1,0,1} B.2.已知复数z=−4+3A.3 B.4 C.5 D.63.抛物线y2=4x上与焦点的距离等于3A.2 B.3 C.4 D.54.在△ABC中，B=π3，ACA.π6 B.π4 C.π35.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3A.6 B.12 C.18 D.246.直线x+y+m=0(m>A.1 B.2 C.2 D.7.已知一组数据为1，2，3，4，6，若n为这组数据的上四分位数，则(x−1)n的展开式中A.6 B.3 C.1 D.−8.在三棱锥A−BCD中，BD=BC=1，∠DBC=A.6−28 B.6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(A.ω=4 B.f(π12)=0

C.f(x10.设F1，F2为椭圆C：x2a2+y2=1A.若a=2，则|PF1|≤2+1

B.若a=2，则|PF1|⋅|P11.函数f(x)的定义域是D，对于t∈D，定义集合A.若f(x)=2x+1，则Uf(2)={x|x≤2}

B.若f(x)=(12)x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线y=x+ex在点(013.某数学竞赛题库有A、B两类试题，A类试题有6000道，B类试题有4000道.某学生解答A类试题正确率为90%，解答B类试题正确率为70%.若从题库中随机抽取一道试题，则该生解答正确的概率是

14.已知△ABC的周长为12，且cosC+2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，S5=4a4．

(1)求数列{16.(本小题15分)

盒中装有标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性都相等，记X为抽取出的3张卡片上的最小数字．

(1)求抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1的概率．

(2)求随机变量17.(本小题15分)

如图，四棱锥S−ABCD中，侧面SBC⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，SB=SC，∠ABC18.(本小题17分)

已知双曲线Γ：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的两焦点分别为F1(0,2)，F2(0,−2)，其渐近线方程为y=±x，过点F1且斜率为k的直线l与Γ交于A，B两点，O为坐标原点．

(1)求Γ的标准方程．

(2)19.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx−ax+ax(a∈R)，g(x)=x2−1．

(1)当a1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】AC10.【答案】AB11.【答案】AC12.【答案】y=13.【答案】0.82

14.【答案】915.【答案】解：(1)设等差数列{an}公差为d，

因为a2=3，所以a2=a1+d=3，

因为S5=5(a1+a5)2=10a32=5a3，S5=4a4，所以516.【答案】解：(1)根据题意，设A=“抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1”，

从盒中任意抽取3张，有C83种取法，

若抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1，有6种取法，

则P(A)=6C83=328；

(2)根据题意，X可取的值为1、X12

3

P921故X的期望为E(X17.【答案】解：(1)证明：取BC中点O，连接SO，AO，

因为底面ABCD为平行四边形，SB=SC，∠ABC=30°，AB=2，BC=23，

所以根据余弦定理可得AC=12+4−2×23×2×32=2，

所以AC=AB=2，又SB=SC，BC中点为O，

所以BC⊥AO，BC⊥SO，又AO∩SO=O，

所以BC⊥平面AOS，又SA⊂平面AOS，

所以SA⊥BC；

(2)因为侧面SBC⊥底面A18.【答案】解：(1)双曲线T：y2a2−x2b2=1，焦点在y轴上，

因为焦点F1(0,2)，F2(0,−2)，所以c=2，即c2=a2+b2=4，

因为渐近线y=±x，焦点在y轴的双曲线渐近线方程为y=±abx，

所以ab=1，a=b，联立a=ba2+b2=4，

解得a2=2，b2=2，

则双曲线标准方程为y22−x22=1；

(2)直线l过F1(0,2)，斜率k，因为l不垂直y轴，所以k≠0，

则直线l的方程为y=kx+2(k≠0)，联立双曲线方程y=kx+2y22−x22=1，

将y=kx+2代入y22−x22=1，

整理得到(kx+2)2−x2=2.即(k2−1)x2+4kx+2=0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

直线l和双曲线y22−x22=1要有两个交点，则有k2−1≠0且Δ=(4k)2−4(k2−1)⋅2>0且k≠0，

Δ=8k2+8>0恒成立，解得k≠±1且k≠0，且x1+x2=−4kk2−1，x1x2=2k2−1，

因为A(x1,y1)，则AO与双曲线另一交点C(−x1,−y1)，

因为y1=kx1+2，y2=kx2+2，所以kBA=y1−y2x1−x2=k，kBC=−y1−y2−x1−x2=y1+y2x1+x2，

因为y1+y2=k(x1+x2)19.【答案】，

解：(1)当a=25时，f(x)=lnx−25x+25x，

求导得f′(x)=1x−25−25x2=−2x2+5x−25x2，

因式分解得f′(x)=−(2x−1)(x−2)5x2，

当0<x<12时，f′(x)<0；当12<x<2时，f′(x)>0；当x>2时，f′(x)<0，

所以f(x)的单调递减区间为(0,12)