北京市朝阳区北京中学2026-2027学年高三上学期定位考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市朝阳区北京中学2026-2027学年高三上学期定位考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知集合U=x∈N∗∣x<5,M={1,2}，则A.{3,4} B.{0,3,4} C.{3,4,5} D.{0,3,4,5}2.已知复数z，z1−i=1−i，则A.35 B.3 C.23.已知直线y=2x是双曲线C:y216−x2A.52 B.5 C.24.若直线4x−3y−m+2=0被圆x2+y2=16所截得的弦的长度为4A.12 B.8 C.12或−8 D.8或−125.设数列an是公比不为1的无穷等比数列，则“数列an为递减数列”是“对任意的正整数n，an+2<an”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.对任意的锐角α，β，下列不等关系中，正确的是(

)A.sin(α+β)>sin α+sin β B.sin(α+β)>7.碳14的半衰期约为5730年(即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半)，经过t年后，碳14的含量N=N012kt(k为常数)，从2亿年到3亿年，碳14含量占比由PA.P12=P23 B.P8.在Rt▵ABC中，AC=BC=4，D是以BC为直径的圆上一点，则ABA.12 B.82 C.59.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD−A1B1C1D1

①有水的部分始终是棱柱；②水面所在四边形EFGH

为矩形且面积不变；③棱A1D④当点H

在棱CD

上且点G

在棱CC1

上(均不含端点BE⋅BF

不是定值．则正确命题的个数为(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.已知函数f(x)的定义域为R，若f(x)是奇函数，且f(x)+f(2−x)≥2x，则下列结论中一定正确的是(

)A.f(11)>240 B.f(12)<80 C.f(19)<180 D.f(20)>200二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.函数f(x)=1x+x+1的定义域为___

12.设(2x+1)5=a5x5+a13.若函数fx=sinωx+3cosωx(ω>0)，则fx

的最大值为

；若fx

的最小正周期为π，则满足条件“fx+φ是偶函数”的φ

14.在直角坐标系xOy

中，直线l过抛物线y2=8x

的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60∘

则▵OAF

的面积为15.已知数列an

满足a1=1，an+1①an

是递减数列；③a2026≤2三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.在▵ABC中，已知2a(Ⅰ)求sinB的值(Ⅱ)若∠B为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在且唯一，求条件①:c=5;条件②：cos条件③：a注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.如图，在四棱锥P−ABCD

中，侧面PAD⊥

平面ABCD

，▵PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD

为直角梯形，其中BC//AD

，AB⊥AD

，AB=BC=1

，M

为线段PA

中点，连接BM

．(1)证明：BM//

平面PCD

；(2)求平面BMC

与平面PCD

夹角的余弦值．18.某家电专卖店销售A、B、C三种型号的空调，销售情况如下表所示：第一周第二周第三周第四周A型数量(台)111015aB型数量(台)14913bC型数量(台)61112c(1)从前三周随机选一周，求这一周A型空调销售量既比B型空调多又比C型空调多的概率；(2)根据以往的销售和维修记录，一台A型空调、B型空调在销售后五年内需要维修的概率分别为110、18.为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店售出的A(3)直接写出一组a、b、c的值，使得表中三种类型的空调在前四周销售台数的方差相等．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点M2,1，且a=2b，(1)求椭圆方程(2)求证：直线MA，MB与y轴始终围成一个等腰三角形．20.设函数fx=xex，点t,f(1)求曲线y=fx在点0,f(2)设gx=f′x(3)设hx=fx−gtx−t21.已知各项均为正整数的有穷数列An：a1,a2,⋅⋅⋅,ann>3满足∀1≤i<j≤n，有ai(1)判断下列数列是否具有性质P；①A4：3，1，7，5；

②A5：2，4，8，(2)已知数列A6：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m(3)若一个数列A2024：a1,a2,⋅⋅⋅,a2024具有性质1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】D

11.【答案】[−1,0)∪(0,+∞)

12.【答案】122

13.【答案】2；π14.【答案】415.【答案】②④

16.【答案】解：(1)由2asinA=33(1−cos2A)，得2asinA=33⋅2sin2A=63sin2A，

结合sinA≠0，化简得a=33sinA，由正弦定理asinA=bsinB，可得sinB=bsinAa=26sinA33sinA=223．

(2)若选择条件①：c=5，则由b<c，可知B为锐角，cosB=1−sin2B=13，

由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，

可得24=a2+25−10a3，解得a=3或13，此时△ABC有两解，不符合题意；

若选择条件②：cosA=63，则A为锐角，且sinA=1−cos2A=33．

由正弦定理asinA=bsinB，可得a=bsinAsinB=26×33223=3，

由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得9=24+c17.【答案】解：(1)在四棱锥P−ABCD中，取PD的中点N，连接MN，

由M为PA的中点，且AD=2,BC=1，得MN//AD//BC，MN=1则四边形BCNM为平行四边形，所以BM//CN．而CN⊂平面PCD，BM⊄平面PCD，所以BM//平面PCD．(2)取AD的中点O，连接PO，OC.由▵PAD为等边三角形，得PO⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，则PO⊥平面ABCD，由AO=BC=1，AO//BC，得四边形ABCO是平行四边形，于是OC//AB，而AB⊥AD，则OC⊥AD，直线OC，OD，OP两两垂直，

如图，以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A0,−1,0，D0,1,0，C1,0,0，B1,−1,0，BC=0,1,0，BM=−1,1设平面BMC的法向量为m=则m⋅BC=0m⋅BM=0设平面PCD的法向量为n=则n⋅CP=0n⋅CD=0设平面BMC与平面PCD所成的角为θ，则cosθ=故平面BMC与平面PCD所成角的余弦值为57

18.【答案】解：(1)由表格中的数据可知，第三周A型空调销售量既比B型空调多又比C型空调多，第一周和第二周均不满足要求，故从前三周随机选一周，这一周A型空调销售量既比B型空调多又比C型空调多的概率为13(2)记事件M:从该家电专卖店售出的A型空调中随机抽取一台，B型空调中随机抽取两台，抽取的三台空调在销售后五年内恰有两台需要维修，包含两种情况：①抽取的一台A型空调需要维修，抽取的两台B型空调中有且只有一台空调需要维修；②抽取的一台A型空调不需要维修，抽取的两台B型空调都需要维修．故PM(3)方差相等，即三组数据波动一样，A:11、10、15、a，B:14、9、13、b，C:6、11、12、c，一组可行解：a=16，b=8，c=7，三组数据离散程度相同，方差相等，答案不唯一，此时A组数据的平均数为x1=11+10+15+164=13B组数据的平均数为x2=14+9+13+84=11C组数据的平均数为x3=6+12+11+74=9所以a=16，b=8，c=7满足题意．

19.【答案】解：(1)由题意可得4a2+1b所以椭圆C的方程为x2(2)设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k设Ax1,y1，B因为直线l

平行于OM

，kOM所以可设直线l的方程为y=1联立，消去y，得x2Δ=(2m)2−4所以−2<m<2

且m≠0

所以x1+x又k=1=2所以k1+k2=0，故直线MA，

20.【答案】解：(1)因为fx=x∵f′x=1−x∴

曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为(2)∵gx=f′x令g′x=0得当x∈−∞,2时，g′x<0，当x∈所以函数gx的单调增区间为2,+∞，单调减区间为−∞,2(3)∵h′x=gx令φx=h′x①当t<2时，若x∈−∞,t，φ′x<0，即h′又h′t=0，所以h′x>0，当x∈t,2时，φ′x<0，即h′又h′t=0，所以h′x<0，∴hx在x=t取极大值，∴t<2②当t=2时，若x∈−∞,t，φ′x<0，即h′若x∈t,+∞，φ′x>0，即h′因为h′t=0，所以∴hx在定义域内单调递增，∴hx无极值，③当t>2时，若x∈t,+∞，φ′x>0，即h′因为h′t=0，所以h′x>0，当x∈2,t时，φ′x>0，即h′因为h′t=0，所以h′x<0，∴hx在x=t取极小值，∴t>2综上，t的取值范围为{t|t≠2}．

21.【答案】解：(1)①A4：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而a4②A5：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而a5(2)对于数列A6：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有15个，所以m≤15.而A5：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有(i)当m为奇数时，ai+m1≤i≤5都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则A6：2，4，8，16，32，m中所有ai(ii)当m为偶数时，ai+m1≤i≤5所以m∈10,12,14当m=10时，10+32=42在前5项中任两项和的结果中未出现，所以A6：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值的个数大于10，即m>10当m=12时，12+32=44，12+16=28，12+2=14这三个结果在前5项中任意两项和的结果中未出现，所以A6：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值的个数大于12，即m>12当m=14时，A6：2，4，8，16，32，m中任意两项和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共14综上，m=14或m=15．(3)a2024存在最小值，且最小值为将A2024的项从小到大排列构成新数列B2024：所以b1所以bi+bj即ai+aj1≤i<