2026新教材数学 26.4 实际问题与二次函数- 商品利润问题 教学课件

26.4二次函数与实际问题——商品利润问题人教版九年级数学上册·第26章月亮圆了，灯笼红了，国旗飘了。再过不久就是中秋节，紧跟着是国庆节。今年中秋，你们家准备买什么口味的月饼？你家附近月饼店，一盒月饼卖多少钱，其实都是“算”出来的！今天，咱们不当吃月饼的人，而当一回“卖月饼的老板”。用数学过好中国节创业挑战·帮“圆月坊”老板算笔账中秋前夕，老板遇到了难题老板做了市场调查，得到四条信息：①现在每盒售价60元，每天能卖出300盒②每涨价1元，每天就少卖出10盒③每降价1元，每天就多卖出20盒④每盒的成本（进价）是40元老板的难题：销售旺季来了，该涨价还是降价？如何定价，才能每天赚得最多？理清变量·利润到底和什么有关？把“文字”翻译成“数学”每天总利润＝

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。顺着这个关系，逐层拆解：→利润是“定价”的函数，定价一变，利润就变设未知数小窍门：题目给的是“涨/降1元”对应的销量变化，所以设“涨价x元”（或“降价x元”）比直接设售价更顺手。每盒利润每天卖出的盒数每盒利润＝售价−成本（成本固定40元）每天销售量＝看定价（定价变，销量跟着变）情形一·涨价x元，逐项表示售价单件利润每天销售量每天总利润y定义域（实际意义）：x≥0，且销量300−10x≥0→0≤x≤3060+x(60+x)−40=20+x300−10x(20+x)(300−10x)情形一·配方求最值展开、配方，找抛物线顶点y=(20+x)(300−10x)=−10x²+100x+6000=−10(x−5)²+6250开口向下，顶点处取得最大值：x=5时，y最大=6250定价65元/盒（60+5）时，每天利润最大＝6250元◆涨价方案：利润冲到6250元情形二·降价x元，薄利多销？售价60−x单件利润(60−x)−40=20−x每天销售量300+20x每天总利润y(20−x)(300+20x)y=−20x²+100x+6000=−20(x−2.5)²+6125（0≤x≤20）降价顶点x=2.5→定价57.5元，最大利润6125元（定价到“角”也合理）拍板！哪个定价最赚？涨价方案定价65元最大利润6250元降价方案定价57.5元最大利润6125元6250＞6125→涨价方案更优！结论：定价65元/盒时，每天利润最大，为6250元。（涨价、降价都要算，再比较取最优，才不会漏掉最好解！）方法提炼·利润问题“四步法”从“做一题”到“会一类”①设元通常设涨价/降价x元（或直接设售价）②列表列式找单件利润、销售量表达式，列y关于x的二次函数③定定义域按实际意义确定x范围（销量、单件利润非负）④求最值·决策配方或顶点公式求最值，比较各情形给定价建议巩固练习·国庆灯笼“定价师”（同型练手）国庆期间，某文创店销售“中国红”小灯笼：·现价每个50元，每天卖150个；·每涨价1元，每天少卖5个；·每降价1元，每天多卖10个；·每个成本30元。问题：如何定价，可使每天利润最大？（分涨价、降价两种情况）任务：独立完成在任务单上，注意也分“涨价、降价”两种情形，并比较取最优。练习答案·金牌定价师揭晓涨价x元：y=(20+x)(150−5x)=−5(x−5)²+3125降价x元：y=(20−x)(150+10x)=−10(x−2.5)²+3062.5涨价→定价55元，利润3125元降价→定价47.5元，利润3062.5元3125＞3062.5→涨价5元、定价55元时利润最大！提高拓展·精讲习题教材P53练习1「旅行社接团」旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元；对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人缴费降低30元。问：旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大是多少？先想一想：营业额y关于人数x，是一个“统一”的式子吗？——关键在“20人起组团、超过才优惠”：优惠有门槛，规律要分两段！为什么是分段函数？优惠有“门槛”，规律分两段第一段（不优惠）0<x≤20营业额y=2100x（一次函数，随人数增多而增大）→x=20时最大：42000元第二段（有优惠）20<x≤90y=[2100−30(x−20)]x=−30x²+2700x=−30(x−45)²+60750→x=45时最大：60750元定义域提醒：每人缴费不能为负→2100−30(x−20)≥0→x≤90，两段都要在“有意义的范围”内求最值。完整分段函数：y=2100x(0<x≤20)；y=−30(x−45)²+60750(20<x≤90)巩固练习：课本53页第2题2.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一。当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？课堂小结·今天我们学到了什么盘点收获建模关键：把“文字”翻译成“函数”——找准单件利润、销售量随定价的变化规律，列二次函数。求解关键：用顶点（配方）求最值；现实问题里x有范围，最值要在“有意义的范围”内找。策略关键：涨价、降价都要算，最后比较取最优（分类讨论思想）。视野拓展：二次函数还能解决面