2027北师大版数学九上第一章-专题04 特殊平行四边形中的折叠问题（专项训练）

专题04特殊平行四边形中的折叠问题常考题型·精准突破题型1菱形中的折叠问题（难）题型2矩形中的折叠问题（高频）（难）题型3正方形中的折叠问题（难）综合攻坚·知能拔高常考题型·精准突破◆题型1菱形中的折叠问题1．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，将菱形纸片折叠，使得点恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则_____．2．（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在菱形中，，，是的中点，是边上一动点．将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为________．3．（25-26八年级下·广西南宁·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，．【成果展示】(1)第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处，折痕分别交，于点，．判断四边形的形状，并加以证明．(2)第二小组：将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图2所示的位置，点的对应点为点，折痕交于点，交于点．①判断和的数量关系，并加以证明．②将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点．若恰好是的中点，且，求线段的长．◆题型2矩形中的折叠问题4．（2026·江苏连云港·中考真题）取一张矩形纸片（图1），按如图2所示方式折叠，使点A落在上，折痕为，再按如图3所示方式折叠，点与点恰好重合，则____．5．（25-26八年级下·河南漯河·期末）在折纸活动中，小强将一张矩形纸片（如图1）进行了两次折叠，第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上（如图2）；第二次将沿折叠，点B的对应点为G（如图3）．若点G落在的边上，且，则的长为___________．6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，其中，．大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题：(1)动手操作一：将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请写出四边形是什么特殊四边形：___________________；(2)动手操作二：为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2，①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由，②求线段的长；(3)动手操作三：大家在第三张卡纸上先找出线段的中点，沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接并延长，交边于点．展平后再次折叠纸片得到，如图3，请直接写出的长．◆题型3正方形中的折叠问题7．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，将正方形沿折叠，点A落在上的处．若，则折痕的长为________．8．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图，将正方形沿折叠，使得点A的对应点恰好与边上的中点E重合，点D的对应点为F，若，则_______．9．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角．(1)如图，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边上，折痕为，此时折出的度；(2)如图，小刚受到小明折叠过程的启发，发现如果将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点为上一点，再将沿折叠，使点落到上的点处，此时度；(3)如图，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为．①求的度数；②若，求的长度．综合攻坚·知能拔高一、单选题1．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，正方形纸片的边长为，点分别在边上，将分别沿折叠，点恰好都落在上的点处，已知，则的长为（

）．A． B． C． D．2．（25-26八年级下·广西钦州·期末）如图，菱形的边，高，点F是边上一动点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点P．当的长度最小时，的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（

）A． B． C． D．二、填空题4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________．5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）数学实验课上，小聪将菱形纸片沿折叠，其中点E、F分别在边、上．当点B落在上的点处且时，恰有，则_______，此时_______．6．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）如图，矩形纸片，，，，分别是，上的点．将矩形沿直线折叠，点落在点，点落在点．若点是边的三等分点，则的长为________．三、解答题7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图1，在矩形中，，点、分别在边、上，且满足．将矩形沿直线折叠，使点与重合，点与重合，点恰好落在边上，连接．(1)填空：_________（填“”或“”）；(2)求的度数；(3)如图2，过点作的平分线，交直线于点．请猜想线段、和之间的数量关系，并加以证明．8．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接BF并延长交于点．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若为的中点，求的值；(3)如图3，连接，若，，直接写出的长．9．（25-26八年级下·广东广州·期末）数学活动课上，同学们以菱形纸片开展“折纸”活动．已知．(1)如图，折叠后，使点落在对角线上的点处，得到折痕，连接．证明：；(2)如图，折叠后，使点落在边上的点处，折痕与对角线交于点处，连接，，．①求的度数；②若菱形的边长为，则的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由．10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习矩形的过程中，对其中一个问题作如下探究：(1)【问题背景】教材79页8题如图1，将矩形纸片沿着直线折叠，使点C落在处，，相交于点E，则与的数量关系是_____________．(2)【变式思考】如图2，矩形纸片，，，折叠纸片使点B的对应点E落在对角线上，求折痕的长；(3)【探究延伸】如图3，矩形纸片，，，点E为射线上一个动点，把沿着直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．专题04特殊平行四边形中的折叠问题常考题型·精准突破题型1菱形中的折叠问题（难）题型2矩形中的折叠问题（高频）（难）题型3正方形中的折叠问题（难）综合攻坚·知能拔高常考题型·精准突破◆题型1菱形中的折叠问题1．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，将菱形纸片折叠，使得点恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则_____．【答案】【分析】连接，根据菱形性质和证明是等边三角形，利用等腰三角形三线合一性质得出，结合平行线性质得出，设，利用折叠性质和勾股定理列方程求解．【详解】解：连接、，四边形是菱形，，，，，是等边三角形，点是边的中点，，，在中，，，，即，设，则，由折叠的性质可知，，在中，由勾股定理得，即，整理得，解得，∴．2．（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在菱形中，，，是的中点，是边上一动点．将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为________．【答案】6或【分析】分两种情况：连接，若；连接，若；分别利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质计算即可得出结果．【详解】解：如图，连接，若，∵四边形为菱形，∴，，∵，∴，由折叠的性质可得，∴，∴，∵是的中点，∴，过点作于，则，∴，，∴，∴；如图，连接，若，∵四边形为菱形，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴点落在上，∵是的中点，∴，∴，由折叠的性质可得，∴；综上所述，的长为6或．3．（25-26八年级下·广西南宁·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，．【成果展示】(1)第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处，折痕分别交，于点，．判断四边形的形状，并加以证明．(2)第二小组：将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图2所示的位置，点的对应点为点，折痕交于点，交于点．①判断和的数量关系，并加以证明．②将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点．若恰好是的中点，且，求线段的长．【答案】(1)解：四边形是菱形，证明如下：设与交于点，∵菱形纸片，，∵折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处，∴垂直平分，，，，，，∴四边形是菱形；(2)①，证明：如图，连接，∵菱形，，∴，∴是等边三角形，，∵折叠，，，，，，；②【分析】（1）设与交于点，先由菱形纸片得到，再由折叠得到，，即可证明，得到，推出，则四边形是菱形；（2）①连接，由菱形，得到，由折叠得到，，则，根据，得到，利用等角对等边得到；②由恰好是的中点，得到，则，则，根据，求出，则，最后根据求解即可；【详解】（1）略（2）①略②解：如图，连接，，∵，，∵恰好是的中点，，，∵，，，根据①可得，∴，，解得：，，，，，．◆题型2矩形中的折叠问题4．（2026·江苏连云港·中考真题）取一张矩形纸片（图1），按如图2所示方式折叠，使点A落在上，折痕为，再按如图3所示方式折叠，点与点恰好重合，则____．【答案】【分析】设，根据折叠的性质、矩形的性质可判断是等腰直角三角形，则可得，根据折叠的性质得出，即可求解．【详解】解：设，∵四边形是矩形，∴，根据图2可得，∴是等腰直角三角形，∴，根据图3可得，∴.5．（25-26八年级下·河南漯河·期末）在折纸活动中，小强将一张矩形纸片（如图1）进行了两次折叠，第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上（如图2）；第二次将沿折叠，点B的对应点为G（如图3）．若点G落在的边上，且，则的长为___________．【答案】2或【分析】第一次折叠得到，，，第二次折叠得到，，分两种情况：当点E和点G重合时，；当点G落在上时，则于点G，由勾股定理求出，再根据即可得解．【详解】解：∵纸片是矩形，∴，，∵第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上，∴，，，∵第二次将沿折叠，点B的对应点为G，∴，，分以下两种情况：如图，当点E和点G重合时，；如图，当点G落在上时，则于点G，∵，，∴，∴，∴，∴；综上所述：的长为2或．6．（25-26八年级下·山东泰安·期末）手工实践课上，老师带领同学们开展趣味折纸活动，每位同学都领到三张平整的长方形卡纸，其中，．大家跟随老师的步骤动手折叠、探究图形变化中的数学问题：(1)动手操作一：将一张长方形卡纸进行折叠，使顶点与顶点重合，压出平整折痕，然后展平得到图1，请写出四边形是什么特殊四边形：___________________；(2)动手操作二：为进一步探究折叠规律，大家在第二张卡纸上先找出线段的中点，再沿着线段向内折叠，使顶点落在长方形内部的点处，连接，如图2，①试判断线段与折痕的位置关系，并说明理由，②求线段的长；(3)动手操作三：大家在第三张卡纸上先找出线段的中点，沿线段折叠卡纸，让顶点落在点处，连接并延长，交边于点．展平后再次折叠纸片得到，如图3，请直接写出的长．【答案】(1)四边形是菱形(2)①位置关系：，理由如下：连接交于点，如图，由翻折可知：垂直平分，∴，，∵点为的中点，∴是的中位线，∴，即；②线段的长为；(3)【分析】（1）连接，，设与交于点，由翻折可知，，是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，由矩形的性质可得，推出，，证明得出，即可得证；（2）①连接交于点，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，证明是的中位线，得出，即可得解；②根据①可求出，由勾股定理可得，由等面积法求出，得出，最后再由勾股定理计算即可得解；（3）延长交的延长线于点，则，，，，根据矩形的性质即可证明，有，结合平行线的性质得到，即有，设，则，利用勾股定理，求得和，设，则和，在中，利用勾股定理求得即可．【详解】（1）解：如图，连接，，设与交于点，由翻折可知：，，是的垂直平分线，即有，，∵四边形是矩形，∴，∴，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形；（2）解：①略②如图，由①可知：，，在矩形纸片中，，，∵点为的中点，∴，在中，，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴；（3）解：延长交的延长线于点，如图，则，，，，∵四边形是矩形，∴，∵点为线段的中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由折叠得，∴，则，设，∵，∴，∵，点为线段的中点，∴，∵，∴，解得，则，设，则，，∵，，∴，在中，，即，解得，则．◆题型3正方形中的折叠问题7．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，将正方形沿折叠，点A落在上的处．若，则折痕的长为________．【答案】【分析】如图，过点作于点，连接，则四边形是矩形，接着根据正方形和折叠的性质，可利用证明，从而得到，设，然后根据线段的和差推出，，，进而在中，利用勾股定理建立方程求得，即可求得答案．【详解】解：如图，过点作于点，连接，则，，∵四边形是正方形，∴，，∴四边形是矩形，∴，，∵折叠，∴，，∴，∴，在和中，∴，∴，设，∵，∴，，∴，∴，在中，，即，解得∴，，∴在中，．8．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图，将正方形沿折叠，使得点A的对应点恰好与边上的中点E重合，点D的对应点为F，若，则_______．【答案】【分析】利用折叠的性质，得到对应边相等、对应角相等，以及折痕垂直平分，确定已知边长：E是中点，，所以．设的长度为未知数，在中，根据勾股定理列方程，求解得到和的长度．过点N作的垂线，构造直角三角形，证明该直角三角形与全等，依据全等三角形对应边相等，得到和的长度．最后代入分式计算比值．【详解】解：连接，过作于，则，∵正方形边长为8，∴，∵是中点，∴，∴在中，​．设，则，由折叠知，，在中，由勾股定理：，代入得：，解得，∴，．∵，∴∴四边形是矩形，∴，∵，∴，由折叠知，折痕是的垂直平分线，．设垂足为点H，则，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴．9．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角．(1)如图，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边上，折痕为，此时折出的度；(2)如图，小刚受到小明折叠过程的启发，发现如果将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点为上一点，再将沿折叠，使点落到上的点处，此时度；(3)如图，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为．①求的度数；②若，求的长度．【答案】(1)(2)(3)①②【分析】（1）根据折叠的性质可得，再由求解即可；（2）添加辅助线，连接，得到为的垂直平分线，结合折叠的性质可得，，进而得到为等边三角形，从而可求解，由此可解；（3）①根据折叠可知，，，再结合，求解即可；②先由折叠的性质得到，，再由直角三角形中的勾股定理建立关于的方程，求解即可．【详解】（1）解：根据折叠的性质可得，，，即，；（2）解：连接，如图，将长方形纸片对折，折痕为，为的垂直平分线，，再由折叠的性质可得，，，为等边三角形，，，；（3）解：①由折叠性质可知：，．四边形是正方形，，即．；②四边形是正方形，，由折叠可得，，，，，，，中，，，即，解得．综合攻坚·知能拔高一、单选题1．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，正方形纸片的边长为，点分别在边上，将分别沿折叠，点恰好都落在上的点处，已知，则的长为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正方形的折叠的性质，利用勾股定理列方程即可得到答案．【详解】∵正方形纸片的边长为，∴，，根据折叠的性质可得：，设，则，，，∵在中，，即，解得：，∴，．2．（25-26八年级下·广西钦州·期末）如图，菱形的边，高，点F是边上一动点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点P．当的长度最小时，的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据题意画出对应图形，由可推出，确定当三点共线时，的长度最小；画出三点共线时的图形，即可求解．【详解】解：如图1：由题意得：，，，∴，∴，，，即：，故当三点共线时，的长度最小，且最小值为，如图2：则有，∵，∴，，.3．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由对折得，结合折叠知，，连接，通过证明是等边三角形，推出，进而推出，再在中利用角对边是斜边一半结合勾股定理求出长度．【详解】解：如图，连接，根据题意可知，为中点，为中点，，四边形为矩形，，，由沿折叠得到，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，即，解得，故．二、填空题4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________．【答案】/0.6【分析】连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形，，∴，．∵，∴．∵沿对折至，∴，，．∴，．在和中，，∴．∴．设，则，，．在中，由勾股定理得：，即．解得．∴的长是．5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）数学实验课上，小聪将菱形纸片沿折叠，其中点E、F分别在边、上．当点B落在上的点处且时，恰有，则_______，此时_______．【答案】【分析】第一空，根据等腰直角三角形的性质求解即可；第二空，延长，相交于点P，设，根据菱形的性质及等腰直角三角形的判定与性质，可逐步求得，进而可求得和的长，即得答案．【详解】解：，，由折叠可知，∴，．故答案为：．延长，相交于点P，设，，，将菱形纸片沿折叠，点B落在上的点处，，，四边形是菱形，，，，，，，，，同时可得，，，将菱形纸片沿折叠，，，，，，．【点睛】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．6．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）如图，矩形纸片，，，，分别是，上的点．将矩形沿直线折叠，点落在点，点落在点．若点是边的三等分点，则的长为________．【答案】或【分析】首先由矩形得到，，，设，则，然后根据题意分两种情况讨论，分别利用勾股定理列方程求解．【详解】解：∵矩形纸片，，，∴，，，由折叠得，，设，则，∵点是边的三等分点，∴当时，如图，∴，∵，∴，即解得∴；当时，如图，∵，∴，即解得∴；综上所述，的长为或．三、解答题7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图1，在矩形中，，点、分别在边、上，且满足．将矩形沿直线折叠，使点与重合，点与重合，点恰好落在边上，连接．(1)填空：_________（填“”或“”）；(2)求的度数；(3)如图2，过点作的平分线，交直线于点．请猜想线段、和之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)(2)(3)解：猜想，证明如下：

如图，在线段上截取，连接，由（1）得，，在矩形中，，由折叠的性质可得，∴，，，；平分，，，，即，，为等腰直角三角形，

，，，，，

，，，，

又，．

【分析】（1）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，则可证明，得到；（2）连接，由折叠的性质得，，证明，得到，再证明，即可得到；

（3）如图，在线段上截取，连接，证明，推出，则可证明，再证明为等腰直角三角形，得到，，证明，得到，，则可证明，再由勾股定理即可得到结论．

【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，由折叠的性质可得，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（2）解：如图，连接，由折叠的性质得，，在矩形中，，，，，，

，又，，，

；

（3）略8．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接BF并延长交于点．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若为的中点，求的值；(3)如图3，连接，若，，直接写出的长．【答案】(1)证明：如图1，∵四边形是正方形，∴，，根据折叠性质得：，，，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，，，∴，∴，∴．(2)(3)【分析】（1）根据四边形是正方形，结合折叠性质证明是等边三角形，根据等边三角形性质求出，，，进一步求出等于30度，即可得，再根据等角对等边即可证明．（2）根据四边形是正方形，即可得，，结合直角三角形斜边中线的性质得，可证明，即可得，再根据折叠性质即可证明是等边三角形，根据等边三角形性质求出，再根据30度角的直角三角形性质即可得的值．（3）延长交于，连接交于，根据折叠性质、结合四边形是正方形，即可证明，根据全等性质得，再根据，结合余角性质得，根据等角对等边得，结合已知条件得，设，用的代数式表示出、、，在直角三角形中，根据勾股定理列方程，解出即可得的长．【详解】（1）略．（2）解：如图2，连接，，∵为的中点，是直角三角形，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，根据折叠性质得：，，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴．∴的值为．（3）解：如图3，延长交于，连接交于，则：，根据折叠性质得：，，，，∵四边形是正方形，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴是的中点，∴，设，则，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：，∴，解得：，∴，∴的长为．【点睛】本题考查正方形性质、折叠性质、勾股定理、30度直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，充分理解题意，作出正确的辅助线、灵活运用几何知识是解题的关键．9．（25