线性代数试卷及答案

线性代数综合测试题PAGE共3页第4页线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1.若，则__________。2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足。4．矩阵的行向量组线性。5．阶方阵满足，则。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）1.若行列式中每个元素都大于零，则。（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（）4.，则。（）5.若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为。()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)1.设为阶矩阵，且，则（）。① ② ③ ④42.维向量组（3£s£n）线性无关的充要条件是（）。①中任意两个向量都线性无关②中存在一个向量不能用其余向量线性表示③中任一个向量都不能用其余向量线性表示④中不含零向量3.下列命题中正确的是()。①任意个维向量线性相关②任意个维向量线性无关③任意个维向量线性相关④任意个维向量线性无关4.设，均为n阶方阵，下面结论正确的是()。①若，均可逆，则可逆 ②若，均可逆，则可逆③若可逆，则可逆 ④若可逆，则，均可逆5.若是线性方程组的基础解系，则是的（）①解向量 ②基础解系 ③通解 ④A的行向量四、计算题(每小题9分，共63分)2.设，且求。设且矩阵满足关系式求。问取何值时，下列向量组线性相关？。5.为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。6.设求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

线性代数期末考试题答案一、填空题1.5 2. 3. 4.相关 5.二、判断正误1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.×三、单项选择题1.③ 2.③ 3.③ 4.② 5.①四、计算题2.，3.4.当或时，向量组线性相关。5.①当且时，方程组有唯一解；②当时方程组无解③当时，有无穷多组解，通解为6.则，其中构成极大无关组，7.特征值，对于λ1＝1，，特征向量为

《线性代数》课程试题A卷一、选择题（每空格3分共30分）1.设行列式，则=（）.A6B-6C18D-182.设A为3阶方阵，且|A|＝2，则|2A-1|=（）.A-4B-1C1 D43.设A、B均为n阶方阵，则必有（）.ABCD4.已知向量组,下列选项为该向量组的一个极大无关组的是（）.ABCD5.设是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是（）.ABCD6.设向量组线性相关，则向量组中（）.A必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7.设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=λ2=0，λ3=2，则秩（A）=（）.A0B1C2 D38.设与是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（）.A B秩（）=秩（）C存在可逆阵，使 D9.下列向量中与正交的向量是（）.ABCD10.二次型().AA可逆B|A|>0CA的特征值之和大于0 DA的特征值全部大于0二、填空题（每小题3分共30）11.五阶行列式的展开式共有项.12.行列式中元素的余子式=13.四阶行列式的值是14.矩阵中的元素=15.若A，B为n阶矩阵，则=16.设为3阶方阵，且，则17.设矩阵，则18.在线性方程组中，若未知量的个数n=5，，则方程组的一般解中自由未知量的个数为19.设向量组线性无关，则向量组（填线性相关，线性无关）。20.设元线性方程组有解，则当时，有无穷多解。三、判断题：（每小题4分，共20分）21.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）22.可逆矩阵的特征值，则的特征值为。()23.若行列式中每个元素都大于零，则。（）24.中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（）25.，则。（）四、计算题（每小题10分，共20分）26．设求|2A|

27.计算三阶行列式

《线性代数》课程试题A卷参考答案一、选择题1、A2、D3、B4、C5、B6、A7、B8、D9、D10、D二、填空题11、5!12、-1013、2414、115、16、817、18、219、线性无关20、小于n三、判断题21、√22、〤23、〤24、√25、√四、计算题26．27．

《线性代数》课程试题B卷一、选择题（每空格3分共30分）1.设为阶矩阵，且，则（）。A B C D42.维向量组（3£s£n）线性无关的充要条件是（）。A中任意两个向量都线性无关B中存在一个向量不能用其余向量线性表示C中任一个向量都不能用其余向量线性表示D中不含零向量3.下列命题中正确的是()。A任意个维向量线性相关B任意个维向量线性无关C任意个维向量线性相关D任意个维向量线性无关4.设，均为n阶方阵，下面结论正确的是()。A若，均可逆，则可逆B若，均可逆，则可逆C若可逆，则可逆 D若可逆，则，均可逆5.若是线性方程组的基础解系，则是的（）A解向量 B基础解系 C通解 DA的行向量6.如果，则=（）A；B；C；D。7.设是矩阵，则（）成立.A；B；C；D。8.设是矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（）A的行向量组线性无关B的列向量组线性无关C的行向量组线性相关D的列向量组线性相关9.设，则分别等于（）ABCD10.若是方程的解，是方程的解，则（）是方程的解（为任意常数）ABCD二、真空题（每小题3分共30）11.若，则__________。12.若齐次线性方程组只有零解，则应满足。13.已知矩阵，满足，则与分别是阶矩阵。14.矩阵的行向量组线性。15.阶方阵满足，则。16.设A为对称矩阵，B为与A同阶的正交矩阵，则．17.设为四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为．18.设A,B均为n阶方阵，且|AB|=1，则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数的和为．19.若A相似于diag(1,-1,2)，则．20.当t满足条件时，二次型f是正定的，其中三、判断题：（每小题4分，共20分）21.若行列式中每个元素都大于零，则。（）22.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）23.中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（）24.，则。（）25.可逆矩阵的特征值，则的特征值为。()四、计算题（每小题10分，共20分）26.计算三阶行列式

27.设求f(A).

《线性代数》课程试题B卷参考答案一、选择题1、C2、C3、C4、B5、A6、B7、D8、D9、C10、A二、填空题11、512、13、14、相关15、16、B;17、0;18、0;19、;20、三、判断题21、〤22、√23、√24、√25、〤四、计算题26解：

27解：

《线性代数》课程试题C卷一、选择题（每空格3分共30分）1.设|A|是四阶行列式，且|A|=-2，则||A|A|=（）A4；B8；C25；D-25．2.设A,B,C为同阶方阵，且ABC=E.则下列各式中不成立的是（）ACAB=E；B；CBCA=E；D．3.A总线性相关；B总线性相关；C总线性无关；D总线性无关．4.设和为两个n维向量组，且，则（）A两向量组等价；B；C当能由线性表示时，两向量组等价；D当时，两向量组等价．5.下列说法中向量组必定线性相关的是（）A可由线性表示；B；C；D6.如果，则=（）A；B；C；D。7.设是矩阵，则（）成立.A；B；C；D。8.设是矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（）A的行向量组线性无关B的列向量组线性无关C的行向量组线性相关D的列向量组线性相关9.设，则分别等于（）ABCD10.若是方程的解，是方程的解，则（）是方程的解（为任意常数）ABCD二、填空题（每小题3分共30）11.多项式中，常数项为．12.设A为二阶方阵，B为三阶方阵，且|A|=|B|=2，则．13.为三维列向量，已知三阶行列式，则行列式．14.设A,B均为四阶方阵，r(A)=3,r(B)=4，则r(A*B*)=．15.设，已知A6=E，则A17=．16.设A为对称矩阵，B为与A同阶的正交矩阵，则．17.设为四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为．18.设A,B均为n阶方阵，且|AB|=1，则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数的和为．19.若A相似于diag(1,-1,2)，则．20.当t满足条件时，二次型f是正定的，其中三、判断题：（每小题4分，共20分）21.若行列式中每个元素都大于零，则。（）22.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）23.中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（）24.，则。（）25.可逆矩阵的特征值，则的特征值为。()四、计算题（每小题10分，共20分）26.计算

27.设求|2A|

《线性代数》课程试题C卷参考答案一、选择题1、D2、D3、A4、C5、B6、B7、D8、D9、C10、A二、填空题11、3;12、32;13、-5;14、1;15、16、B;17、0;18、0;19、;20、三、判断题21、〤22、√23、√24、√25、〤四、计算题2627

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m，=n，则行列式等于（）A.m+n B.-(m+n)C.n-m D.m-n2.设矩阵A=，则A-1等于（）A. B.C. D.3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1，2）的元素是（）A.–6 B.6C.2 D.–24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A.A=0 B.BC时A=0C.A0时B=C D.|A|0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A.1 B.2C.3 D.46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n B.秩(A)=n-1C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A.k≤3 B.k<3C.k=3 D.k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1 B.|A|必为1C.A-1=AT D.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）A.A与B相似B.A与B不等价C.A与B有相同的特征值D.A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A. B.C. D.第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15..16.设A=，B=.则A+2B=.17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=.19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=.22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为.23.设矩阵A=，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为.24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.设A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.26.试计算行列式.27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x1,x2,x3)=，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D 7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D 14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15.616.17.418.–1019.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数20.n-r21.–522.–223.124.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解（1）ABT==.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64·（-2）=-12826.解==27.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以B=(A-2E)-1A==28.解一所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解对矩阵A施行初等行变换A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.经正交标准化，得η1=，η2=.λ=-8的一个特征向量为ξ3=，经单位化得η3=所求正交矩阵为T=.对角矩阵D=（也可取T=.）31.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设，即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.证由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2=b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，即（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而l0=0.所以η0，η1，η2线性无关。

线性代数试卷一

单项选择题（每题3分，共18分）

1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的

（

）(A)

充分条件；(B)

必要条件；(C)

充要条件；(D)

无关条件。2．已知为四维列向量组，且行列式

，，则行列

式

（

）(A)

40；

(B)

－16；(C)

－3；

(D)

－40。3．设向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是

（

）(A)

向量组线性无关；(B)

对任一个，向量组线性相关；(C)

存在一个，向量组线性无关；(D)

向量组与向量组等价。4．已知为阶可逆矩阵（），交换的第1，2列得，为的伴随矩阵，则

（

）(A)

交换