2026年高考摸底数学卷02

2026年高考摸底数学卷02第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则（

）A． B．C． D．2．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，则（

）A． B． C． D．4.已知和点满足，若存在实数使得成立，则（

）A．2 B．3C．4 D．55．已知是减函数，则的大致图象为6．已知三棱锥的四个顶点均在球上，平面．若，则球的体积为（

）A． B． C． D．7.若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是A．B．C． D．8．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（

）A．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差B．数据的第60百分位数为9C．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8D．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是10．已知，则（

）A．与均有公共点的直线斜率最大为B．与均有公共点的圆的半径最大为4C．向引切线，切线长相等的点的轨迹是圆D．向引两切线的夹角与向引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆11．已知函数，则（

）A．的图象关于直线轴对称B．的图象关于点中心对称C．的所有零点为D．是以为周期的函数第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数是偶函数，则．13.（2025·山东潍坊·二模）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲､乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有种14．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a，4a，．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的仅是一个四棱柱，则a的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．(本小题满分13分）如图，四棱柱的底面是正方形，平面.

(1)求点到平面的距离；(2)若是线段上一点，平面与平面夹角的余弦值为时，求的值.16．(本小题满分15分）（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.17．(本小题满分15分）从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响.(1)若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是的概率；(2)现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值.18．(本小题满分17分）已知抛物线为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为（在轴两侧），与分别交轴于.(1)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；(2)若点在曲线上，求四边形的面积的范围.19．(本小题满分17分）已知，，直线是在处的切线，直线是在处的切线，若两直线、夹角的正切值为，且当时，直线恒在函数图象的下方.(1)求的值；(2)设，若是在上的一个极值点，求证：是函数在上的唯一极大值点，且.2026年高考摸底数学卷02第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【考查点】集合并集运算【解析】因为，，所以.故选A.2．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【考查点】复数的几何意义【解析】，故复数对应的点为，在第四象限，故选D3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【考查点】三角恒等变换【解析】因为，即，两边平方可得，解得，故选A【一题多解】因为解得，又因，故选A4.已知和点满足，若存在实数使得成立，则（

）A．2 B．3C．4 D．5【答案】B【考查点】平面向量线性运算【解析】，且，所以，又因为，所以，故选B.(巧用重心方法)由题根据，则为的重心．设点为底边的中点，则，所以，故5．已知是减函数，则的大致图象为【答案】B【考查点】函数图象的辨析【解析】因是减函数，所以【技巧】抓住隐含条件“是增函数”易知，则当时，所以的图象所在抛物线的对称轴为直线，其在y轴右侧，抛物线顶点在第四象限，且开口向上，只有B符合题意，故选B.【一题多解】是减函数，故可取，则当时，，排除ACD，选B.6．已知三棱锥的四个顶点均在球上，平面．若，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【考查点】球的切接，几何体的体积【解析】在中，，所以，所以．因为平面平面，所以．又，所以．如图将三棱锥，补形为长方体，则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的体对角线是长方体的外接球的直径，球心为的中点．又，即，所以球的半径为2，故球的体积．故选C．7.若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是A．B．C． D．【答案】D【考查点】抽象函数的性质【解题指导】分析在→→结合f(2)=0及对分类讨论→解不等式.【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或.解得或，所以满足的的取值范围是，故选D．【一题多解】将函数抽象为，图象如右，结合图形可得.或或解得或，选D8．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【考查点】双曲线方程及性质，直线与圆相切【解题指导】双曲线定义→求→→勾股定理求→→得关系→求离心率【解析】设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为，则，由及双曲线的定义可知，，故四边形是正方形，得，于是，故，所以，于是，在中，由余弦定理可得，从而，所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（

）A．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差B．数据的第60百分位数为9C．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8D．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是【答案】BC【考查点】二项分布的方差，用样本估计总体，简单随机抽样【解析】对于A，易知，而，所以，A错误；对于B，共有7个数据，而，故第60百分位数为9，B正确；对于C，若样本数据的平均数为2，则的平均数为，C正确；对于D，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是，错误.故选：BC10．已知，则（

）A．与均有公共点的直线斜率最大为B．与均有公共点的圆的半径最大为4C．向引切线，切线长相等的点的轨迹是圆D．向引两切线的夹角与向引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆【答案】AD【考查点】圆与圆的位置关系，轨迹问题【解析】由题意知，与两圆均有公共点，且斜率最大的直线恰为那条两圆斜率为正的内公切线，由两圆半径之比为，，可知切线与轴交于，设切线的倾斜角为，选项正确.与均有公共点的圆的圆心不确定，所以半径可以任意大（无最大值），选项B错误.向引切线，设切线长相等的点为,则，所以，化简得直线，选项错误.设的圆心分别为，点对切线的夹角等于点对切线的夹角，于是由相似三角形知，设，则，可得到点的轨迹是一个圆，选项D正确.故选：AD11．已知函数，则（

）A．的图象关于直线轴对称B．的图象关于点中心对称C．的所有零点为D．是以为周期的函数【答案】AC【考查点】三角恒等变化，三角函数的性质【解题指导】对于A：根据对称轴的定义分析证明；对于B：举例说明即可；对于C：根据零点的定义结合倍角公式运算求解；对于D：举例说明即可.【详解】对于A：因为，所以的图象关于直线轴对称，故A正确；对于B：因为，，所以的图象不关于点中心对称，B错误.对于C：因为，注意到，令，得，即，故的所有零点为，故C正确；对于D：因为，所以不是的周期，故D错误；故选：AC.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数是偶函数，则．【答案】【考查点】函数的奇偶性【解析】由已知，，因为为偶函数，所以，即，对恒成立，即，对恒成立，解得.【一题多解】（特殊值法）因为为偶函数，所以，即即，解得13.（2025·山东潍坊·二模）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲､乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有种【答案】12【考查点】排列组合，分配问题【解题指导】分3步进行→①甲地选一名老师→②甲地选两个学生→③剩下的1名教师，2名学生安排到乙地→分步计数原理求解．【答案】A【解析】根据题意，分3步进行分析：①甲地选一名老师，有种选法；②甲地选两个学生，有种选法；③剩下的1名教师，2名学生安排到乙地，有1种选法；故不同的安排方案共有种；故选．【一题多解】将4名学生均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)分法.故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种).故选A。【一题多解】属于平均分组且排序型，共有=12种，选A14．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a，4a，．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的仅是一个四棱柱，则a的取值范围是．【答案】【考查点】空间几何体的结构特征，空间几何体全面积【解题指导】分对边合在一起情况讨论→三棱柱和四棱柱的全面积→列出限制条件→求a的范围.【解析】拼成一个三棱柱时，全面积有三种情况：①上下底面对接，其全面积为.②边合在一起时，全面积为.③边合在一起时，全面积为.

拼成一个四棱柱时，有四种情况，全面积有三种情况：让边长为所在的侧面重合，其上下底面积之和都是，但侧面积分别为，显然，三种情况中全面积最小的是；因为比小，所以由题意得，解得.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．(本小题满分13分）如图，四棱柱的底面是正方形，平面.

(1)求点到平面的距离；(2)若是线段上一点，平面与平面夹角的余弦值为时，求的值.【考查点】线面，面面垂直，点到面的距离，面面角【解】（1）连接交于点，连接.因为平面，平面，所以，因为底面是正方形，所以，又，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.因为平面，平面，所以，又，所以.在中，，所以.又为的中点，所以且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.故点到平面的距离为.（2）以为原点，分别以分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，

则，，由（1）知，平面的一个法向量，设，则设为平面的一个法向量，由，取，得，设平面与平面的夹角为，则有，解得，即.16．(本小题满分15分）（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.【考查点】等差数列的通项公式，数列求和，数列与不等式问题【解】（1）时，，解得或，因为，所以，时，，得，因为，所以，又，故数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以数列的通项公式为；（2）解法一：由，所以，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，因为对任意的，成立，所以，当为奇数时，即，所以，不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为，因为为奇数，所以时，，则当为偶数时，，所以，同理可得，因为为偶数，所以时，，则，综上，.解法二：由，当为偶数时，.当为奇数时，，所以（下同解法一）解法三：因为对任意的，成立，则，即求的最小值，令，当为奇数时，则，所以最小值一定在为奇数时取到，当为奇数时，，当时，，当时，，所以当为奇数时，，则的最小值为，所以.17．(本小题满分15分）从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响.(1)若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是的概率；(2)现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值.【考查点】条件概率，概率与函数【解题指导】（1）全概率公式→条件概率公式求解；（2）一等奖的概率→→→导数求其最值.【详解】（1）记事件“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试合格”，由题意知，，，又事件互斥，则，即，所以在居民甲第一项测试“合格”的条件下，他第一个项目选择了的概率为：，即已知居民甲第一项测试“合格”，他第一项测试选择的项目是的概率是.（2）由居民乙获一等奖的概率为，可知.则.令，当时，；当时，.所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.所以.所以的最小值为.18．(本小题满分17分）已知抛物线为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为（在轴两侧），与分别交轴于.(1)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；(2)若点在曲线上，求四边形的面积的范围.【考查点】直线与抛物线的位置关系，定点问题，最值范围问题【解题指导】（1）设坐标→直线的方程→与抛物线方程联立→点坐标间的关系→抛物线处的切线方程→点的坐标→直线所过定点.（2）先求得四边形的面积的表达式，然后利用导数求得面积的取值范围.【解】（1）设，直线，联立，可得.在轴两侧，，，由得，所以点处的切线方程为，整理得，同理可求得点处的切线方程为，由，可得，又在直线上，.直线过定点.（2）由（1）可得在曲线上，.由（1）可知，，，令在单调递增，四边形的面积的范围为.【规律方法】求解抛物线的切线方程，有两种方法，一种是利用判别式法，即