上海延安中学2025-2026学年高一下学期数学期末试卷（含答案）

延安中学2025-2026学年第二学期高一年级数学期末2026.6一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知向量，若，则实数.

2．已知数列满足：，则.

3．已知复数满足，则的虚部是.

4．已知等差数列中，为的前项和，则.

5．已知，则在方向上的数量投影是.

6．已知复数满足，则的最小值是.

7．已知，关于的一元二次方程的一个根是纯虚数，则.

8．已知单位向量满足，则.

9．已知数列中，为的前项和，则.10．若点是半径为1的圆上三点，且，则.

11．设等比数列公比为为前项积，且满足，则下列结论正确的是.（填序号）

①；②；③的最大值为；④若，则．12．在复平面内，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．已知是无穷等比数列，是公比，则＂＂是＂数列严格单调递增＂的（）条件.

A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要

14．已知复数，下列说法正确的有（）

A．若，则B．若，则C．若，则或D．若，则15．已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一点，则的值不可能是（）

A．B．C．D．

16．已知是锐角所在平面内的一定点，动点满足：则动点的轨迹一定通过的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知向量，且．

（1）求与的夹角；（2）若，求实数的值．

18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知数列的前项和为．

（1）求的通项公式；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

19.（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）已知关于的一元二次方程有两根．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的值．

20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列．

（1）若是等比数列，且，求；

（2）若，令，证明：是等比数列，并求的值；（3）若是首项为1的等差数列，为公差，，，求正整数的最大值，以及取最大值时的值．

21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为夹角．

（1）若非零向量和满足，且，求的取值范围；

（2）若向量，且，求正数的值；

（3）若非零向量满足（是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6．7．8．9.;10．11．①③12．

11．设等比数列公比为为前项积，且满足，则下列结论正确的是.（填序号）

①；②；③的最大值为；④若，则．【答案】①③【解析】由题意等比数列的公比为为前项积，且满足，

可得，所以，则数列为单调数列，

所以由且，可得，所以数列为单调减数列，即，所以①正确；

由数列是等比数列，可得，

因为，所以，所以②错误；

数列为单调减数列，所以，所以的最大值为，即③正确；

当时，1，所以④错误.故答案为：①③12．在复平面内，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为.【答案】【解析】因为复数对应的点分别为，且，所以可确定点在以为圆心，2为半径的圆上.

又，所以为圆的直径，即点关于原点对称，所以．因为，所以

又，所以，

所以，即的最大值为，

所以的最大值为二、选择题13．A14．C15．D16．B15．已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一点，则的值不可能是（）

A．B．C．D．【答案】D【解析】建立如图所示的平面儿角坐标系，设，又，，则，

则，即

所以，则，即，所以三、解答题17．（1）；（2）1或

18．（1）；（2）

19．（1）；（2）或120.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列．

（1）若是等比数列，且，求；

（2）若，令，证明：是等比数列，并求的值；（3）若是首项为1的等差数列，为公差，，，求正整数的最大值，以及取最大值时的值．【答案】（1）40；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）由题意可知，，设等比数列的公比为，则，所以，即，解得．

（2）因为，所以所以所以数列是首项为，公比为的等比数列．（3）由，得，即，

所以，即，

因为，所以，

因为，所以，所以，解得，所以正整数的最大值为199，此时，解得．21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为夹角．

（1）若非零向量和满足，且，求的取值范围；

（2）若向量，且，求正数的值；

（3）若非零向量满足（是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为且，则，又，所以，得到，又，且，所以的取值范围是．

（2）因为和，则，则设向量