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3.4洛朗级数及展开方法一、洛朗级数考察解析域以外的点都解析那么在

的区域内能否展为幂级数呢？一、洛朗级数当时，也就是整个复平面都可以展开为幂级数一、洛朗级数

我们规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和.综上可知：定理1洛朗展开定理设函数f(z)在圆环域内解析，则在此圆环内f(z)

必可展开成洛朗级数其中,系数项

称为函数

f(z)在该圆环域内的洛朗展式，且展开式是唯一的。其中为圆环域内任意闭合圆周(或简单闭曲线)，并取逆时针为正方向.负幂项部分称为洛朗级数的主要部分，正幂项部分称为洛朗级数的解析部分(或称为正则部分).证明：

类似于泰勒展开定理，我们可以证明展开式是唯一的，定理证毕。特别说明：(1)由闭路变形定理可知，定理中的C也可以写成圆环域内绕内圆的任一正向简单闭曲线。(2)一个函数可能在几个圆环域内解析，在不同的圆环域内的洛朗展开式是不同的，但在同一圆环域内，不论用何种方法展开，所得的洛朗展开式是唯一的。(3)洛朗展开式中的

不能写成

，这是因为若

是函数

的奇点，

不存在。故需注意洛朗级数展开系数与泰勒级数展开系数在写法上的区别。二、洛朗级数展开方法实例直接展开法洛朗级数展开定理间接展开法利用基本展

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