湖南省娄底市实验中学2027届数学八年级第一学期期末经典模拟试题含解析

湖南省娄底市实验中学2027届数学八年级第一学期期末经典模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．的平方根是（）A． B． C． D．2．如图，在中，，，以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交，于两点；再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点.若的面积为9，则的面积为（）A．3 B． C．6 D．3．一个两位数的个位数字与十位数字的和为14，若调换个位数字与十位数字，所得的新数比原数小36，则这个两位数是（）A．86 B．95 C．59 D．684．下列实数中是无理数的是（）A．π B．4 C．0.38 D．-5．2011年3月11日，里氏9.0级的日本大地震导致当天地球的自转时间较少了0.0000016秒，将0.0000016用科学记数法表示为（）A． B． C． D．6．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个 B．7个 C．6个 D．5个7．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是()A． B． C． D．8．下列图形具有稳定性的是（）A．梯形 B．长方形 C．直角三角形 D．平行四边形9．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，,、…均为等边三角形，若，则的边长为（）A．20 B．40 C． D．10．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知点，点关于轴对称，点在第___________象限．12．一次函数y＝2x+b的图象沿y轴平移3个单位后得到一次函数y＝2x+1的图象，则b值为_____．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是_____.14．如图，，将直线向右平移到直线处，则__________°.15．在函数中，那么_______________________.16．已知点P(x，y)是一次函数y＝x+4图象上的任意一点，连接原点O与点P，则线段OP长度的最小值为_____．17．如图，已知△ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且AE=CF，BE、AF交于点D，则∠BDF＝______．18．如图，正四棱柱的底面边长为8cm，侧棱长为12cm，一只蚂蚁欲从点A出发，沿棱柱表面到点B处吃食物，那么它所爬行的最短路径是______cm．三、解答题(共66分)19．（10分）在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD的取值范围是．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围．②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论．20．（6分）如图，已知：在坐标平面内，等腰直角中，，，点的坐标为，点的坐标为，交轴于点.（1）求点的坐标；（2）求点的坐标；（3）如图，点在轴上，当的周长最小时，求出点的坐标；（4）在直线上有点，在轴上有点，求出的最小值.21．（6分）在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=OB，AB=6．（1）求AB所在直线的函数表达式；（2）如图，以OA，OB为边在第一象限作正方形OACB，点M（x，0）是x轴上的动点，连接BM．①当点M在边OA上时，作点O关于BM的对称点O′，若点O′恰好落在AB上，求△OBM的面积；②将射线MB绕点M顺时针旋转45°得到射线MN，射线MN与正方形OACB边的交点为N．若在点M的运动过程中，存在x的值，使得△MBN为等腰三角形，请直接写出x所有可能的结果．22．（8分）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图.乙槽中有一圆柱形铁块放在其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)，现将甲槽中的水匀速注人乙槽.甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间(分钟)之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题:（1）图2中折线表示槽中的水的深度与注水时间的关系，线段表示槽中的水的深度与注水时间的关系(填“甲”或“乙”)，点的纵坐标表示的实际意义是；（2）当时，分别求出和与之间的函数关系式；（3）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水深度相同？（4）若乙槽底面积为平方厘米(壁厚不计)，求乙槽中铁块的体积．23．（8分）小山同学结合学习一次函数的经验和自己的思考，按以下方式探究函数的图象与性质，并尝试解决相关问题．请将以下过程补充完整：（1）判断这个函数的自变量x的取值范围是________________；（2）补全表格：（3）在平面直角坐标系中画出函数的图象：（4）填空：当时，相应的函数解析式为___（用不含绝对值符合的式子表示）；（5）写出直线与函数的图象的交点坐标．24．（8分）已知7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+7x4y3﹣21x3y2，则这个多项式是______．25．（10分）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．（1）求证：PB＝QC；（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．26．（10分）如图1，把一张长方形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在E处，BE交AD于点F.（1）求证：FB=FD;（2）如图2，连接AE，求证：AE∥BD;（3）如图3，延长BA，DE相交于点G，连接GF并延长交BD于点H，求证：GH垂直平分BD．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3故选C2、A【分析】根据作图方法可知是的角平分线，得到，已知，由等角对等边，所以可以代换得到是等腰三角形，由30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积公式，可知两个三角形等高，用底边之间的关系式来表示两个三角形的面积的关系，即可求出结果.【详解】，，，根据作图方法可知，是的角平分线，，，点在的中垂线上，在，，，，又，，，故选：A根据作图的方法结合题目条件，可知是的角平分线，由等角对等边，所以是等腰三角形，由于所求三角形和已知三角形同高，底满足，所以三角形面积是三角形的，可求得答案.3、B【分析】先设出原两位数的十位与个位分别为和，再用含和的式子表示出原两位数和新两位数，最后根据题意找到等量关系列出方程组求解即可．【详解】设这个两位数的十位数字为，个位数字为则原两位数为，调换个位数字与十位数字后的新两位数为∵这个两位数的个位数字与十位数字的和为14∴∵调换个位数字与十位数字后的新两位数比原两位数小36∴∴联立方程得解得：∴这个两位数为95故选：B．本题主要考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意找出等量关系．4、A【解析】根据有理数和无理数的概念解答：无限不循环小数是无理数．【详解】解:A、π是无限不循环小数，是无理数；B、4=2是整数，为有理数；C、0.38为分数，属于有理数；D.-227故选：A.本题考查的是无理数，熟知初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解答此题的关键．5、B【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.0000016=1.6×10-6.故选B.科学计数法：绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数.6、A【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．【详解】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故选A．本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．7、D【详解】开始一段时间内，乙不进行水，当甲的水到过连接处时，乙开始进水，此时水面开始上升，速度较快，水到达连接的地方，水面上升比较慢，最后水面持平后继续上升，故选D．8、C【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得答案．【详解】直角三角形具有稳定性，梯形、长方形、平行四边形都不具有稳定性．故选：C本题考查三角形的性质之一，即三角形具有稳定性，掌握三角形的这一性质是快速解题的关键．9、C【分析】根据等边三角形的性质和，可求得，进而证得是等腰三角形，可求得的长，同理可得是等腰三角形，可得，同理得规律，即可求得结果．【详解】解：∵，是等边三角形，∴，∴，∴，则是等腰三角形，∴，∵，∴=1，，同理可得是等腰三角形，可得=2，同理得、，根据以上规律可得：，故选：C．本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．10、B【解析】设小李每小时走x千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设小李每小时走x千米，依题意得：故选B．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．二、填空题(每小题3分,共24分)11、四【分析】关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出a，b的值即可.【详解】已知点，点关于轴对称，则，解得，则点在第四象限.本题是对坐标关于x轴对称的考查，熟练掌握二元一次方程组是解决本题的关键.12、﹣2或2【分析】由于题目没说平移方向，所以要分两种情况求解，然后根据直线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：由题意得：平移后的直线解析式为y＝2x+b±3＝2x+1．∴b±3＝1，解得：b＝﹣2或2．故答案为：﹣2或2．本题考查了直线的平移，属于基本题型，熟练掌握直线的平移规律是解答的关键．13、2．【分析】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延长线于H，根据等边三角形的性质得到DC=EG，根据全等三角形的性质得到FC=FG，于是得到在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，根据勾股定理即可得到结论．【详解】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，

作GH⊥AC交AC的延长线于H，

∵△BDE和△BCG是等边三角形，

∴DC=EG，

∴∠FDC=∠FEG=120°，

∵DF=EF，

∴△DFC≌△EFG（SAS），

∴FC=FG，

∴在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，

∴当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，

∵BC=CG=AB=2，AC=2，

在Rt△CGH中，∠GCH=30°，CG=2，

∴GH=1，CH=，

∴AG===2，

∴AF+CF的最小值是2．此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14、1【分析】直接利用平移的性质结合三角形外角的性质得出答案．【详解】由题意可得：m∥n，则∠CAD＋∠1＝180°，可得：∠3＝∠4，故∠4＋∠CAD＝∠2，则∠2−∠3＝∠CAD＋∠3−∠3＝∠CAD＝180°−∠1＝180°−70°＝1°．故答案为：1．此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，正确转化角的关系是解题关键．15、【分析】把代入函数关系式求解即可．【详解】解：当时，．故答案为：．本题考查了已知自变量的值求函数值和分母有理化，属于基础题目，正确代入、准确计算是关键．16、【分析】线段OP长度的最小值，就是O点到直线y＝x+4垂线段的长度，求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积即可求得线段OP长度的最小值．【详解】解：如图，一次函数y＝x+4中，令y＝0，求得x＝3；令x＝0，则y＝4，∴A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，线段OP长度的最小值，就是O点到直线y＝x+4垂线段的长度，∴OP⊥AB，∵OA•OB＝，∴OP＝．故答案为．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形的面积，理解“垂线段最短”是本题的解题关键．17、60°.【解析】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，AB=AC，又∵AE=CF，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠ABE=∠CAF，∴∠BDF=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAF=∠BAC=60°.考点：1.等边三角形的性质；2.全等三角形的性质和判定；3.三角形的外角的性质.18、1【分析】把长方体展开为平面图形，分两种情形求出AB的长，比较即可解答．【详解】把长方体展开为平面图形，分两种情形：如图1中，AB=，如图2中，AB=，∵1＜4，∴爬行的最短路径是1cm．故答案为1．本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题(共66分)19、（1）1＜AD＜7；（2）①2＜EF＜6；②CE⊥ED，理由见解析【分析】（1）在△ABE中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；（2）①延长ED到点N，使，连接CN、FN，由SAS证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在△CFN中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；②延长CE与DA的延长线交于点G，易证DG∥BC，得出，由ASA证得，得出，即可证得，由，根据等腰三角形的性质可得出．【详解】（1）在△ABE中，由三角形的三边关系定理得：，即，即故答案为：；（2）①如图②，延长ED到点N，使，连接CN、FN∵点D是BC边上的中点在△NDC和△EDB中，是等腰三角形，在△CFN中，由三角形的三边关系定理得：，即；②；理由如下：如图③，延长CE与DA的延长线交于点G∵点E是AB中点在△GAE和△CBE中，，即．（等腰三角形的三线合一）本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．20、（1）点的坐标为；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为；（4）最小值为1.【分析】（1）过C作直线EF∥x轴，分别过点A、B作直线EF的垂线，垂足分别为E、F，证明ΔACE≌ΔCBF，得到CF=AE，BF=CE，即可得到结论；（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为G、H易证ΔAGD≌ΔBHD，得到GD=HD．由G(-3，0)，H(1，0)，即可得到结论；（3）作点A(-5，1)关于轴的对称点A'(-5，-1)，连接AP，A'P，A'C．过A'作A'R⊥y轴于R，则AP=A'P，根据ΔACP的周长=AC+AP+CP=AC+A'P+CP≥AC+A'C．根据△A'RC和△COP都是等腰直角三角形，得到PO=CO=4，从而得到结论．（4）作点B关于直线AC的对称点B'．过B'作B'R⊥y轴于R，过B作BT⊥y轴于T．可证明△B'RC≌△BTC，根据全等三角形对应边相等可B'的坐标．过点B'作x轴的垂线交直线AC于点M，交x轴于点N，则BM+MN=B'M+MN．根据“垂线段最短”可得它的最小值即线段B'N的长．即可得到结论．【详解】（1）如图，过C作直线EF∥x轴，分别过点A、B作直线EF的垂线，垂足分别为E、F，∴∠E=∠F=10°，∴∠EAC+∠ECA=10°．∵∠ACB=10°，∴∠BCF+∠ECA=10°，∴∠BCF=∠EAC．又∵AC=BC，∴ΔACE≌ΔCBF，∴CF=AE，BF=CE．∵点A(-5，1)，点C(0，4)，∴CF=AE=3，BF=CE=5，且5-4=1，∴点B的坐标为(3，-1)；（2）如图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为G、H，∴∠AGD=∠BHD=10°．又∵∠ADG=∠BDH，AG=BH=1，∴ΔAGD≌ΔBHD，∴GD=HD．∵G(-3，0)，H(1，0)，∴GH=4，∴GD=HD=2，∴OD=OG-GD=3-2=1，∴点D的坐标为(-1，0)；（3）作点A(-5，1)关于轴的对称点A'(-5，-1)，连接AP，A'P，A'C．过A'作A'R⊥y轴于R．则AP=A'P，∴ΔACP的周长=AC+AP+CP=AC+A'P+CP≥AC+A'C．∵A'R=5，CR=CO+OR=4+1=5，∴A'R=CR，∴△A'RC是等腰直角三角形，∴∠CA'R=45°．∵A'R∥x轴，∴∠CPO=∠CA'R=45°，∴△COP是等腰直角三角形，∴PO=CO=4，∴点P的坐标为(-4，0)．（4）如图，作点B(3，-1)关于直线AC的对称点B'．过B'作B'R⊥y轴于R，过B作BT⊥y轴于T．∵BC=B'C，∠B'RC=∠BTC=10°，∠B'CR=∠BCT，∴△B'RC≌△BTC，∴B'R=BT=3，CR=CT=CO+OT=4+1=5，∴OR=OC+CR=4+5=1，∴B'(-3，1)．过点B'作x轴的垂线交直线AC于点M，交x轴于点N，则BM+MN=B'M+MN．根据“垂线段最短”可得它的最小值即线段B'N的长．故BM+MN的最小值为1．本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质以及最短距离问题．灵活运用全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．21、（1）y=-x+6；（2）①S△BOM=；②当-6≤x≤0，x=6，x=时，△MBN为等腰三角形．【分析】（1）由题意可以求出A、B的坐标，再利用待定系数法可以得到AB所在直线的函数表达式；

（2）①由已知可以求出OM的值，从而得到△OBM的面积；

②根据已知条件将M在x轴上运动，可以得到△MBN为等腰三角形时x所有可能的结果．

【详解】（1）∵OA=OB，AB=6，∴A（6，0），B（0，6）.设AB所在直线为y=kx+b，将点A，B坐标代入得，，解得：，∴AB所在直线的函数表达式为y=-x+6.（2）①如图，∵由轴对称性可知，BO′=BO=6，在等腰Rt△AMO′中，AO′=，∴OM=O′M=，∴S△BOM=·OB·OM=×6×（）=.

②如图，当-6≤x≤0时，BM=BN；

如图，当x=6时，M与A重合，N与C重合，NB=NM；

如图，当x=时，MB=MN.

∴当-6≤x≤0，x=6，x=时，△MBN为等腰三角形.本题考查正方形的动点问题，通过建立直角坐标系，利用数形结合的思想对问题进行讨论是解题关键．22、（1）乙；甲；乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；（2）y甲=-2x+12，y乙=3x+2；（3）注水2分钟；（4）84cm3【分析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；（2）根据题意分别求出两个水槽中y与x的函数关系式即可；（3）根据（2）中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间；（4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积；【详解】解：（1）由题意可得：∵乙槽中含有铁块，∴乙槽中水深不是匀速增长，∴折线表示乙槽中水深与注水时间的关系，线段DE表示甲槽中水深与注水时间的关系，由点B的坐标可得：点B的纵坐标表示的实际意义是：乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；故答案为：乙；甲；乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；（2）设线段AB、DE的解析式分别为：y甲=k1x+b1，y乙=k2x+b2，

∵AB经过点（0，2）和（4，14），DE经过（0，12）和（6，0），∴，解得：，，解得：，∴当时，y甲=-2x+12，y乙=3x+2；

（3）由（2）可知：令y甲=y乙，即3x+2=-2x+12，

解得x=2，

∴当2分钟时两个水槽水面一样高．（4）由图象知：当水槽中没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm，即1分钟上升3cm，

当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm，即1分钟上升2.5cm，

设铁块的底面积为acm2，

则乙水槽中不放铁块的体积为：2.5×36cm3，

放了铁块的体积为3×（36-a）cm3，

∴1×3×（36-a）=1×2.5×36，

解得a=6，

∴铁块的体积为：6×14=84（cm3）．本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，解题的关键是理解题意，学会构建方程或方程组解决问题.23、（1）全体实数；（2）见解析；（3）见解析；（4）；（5）【分析】（1）由函数解析式：可以得到自变量的取值范围，（2）利用函数解析式给出的自变量的值得出函数值可以得到答案．（3）根据自变量与函数值的对应值在平面直角坐标系中描好点并连线得到图像．（4）在的条件下去掉绝对值符号，得到函数解析式．（5）观察图像写出交点坐标即可．【详解】（1）因为：，所以函数自变量的取值范围是全体实数．（2）利用把分别代入解析式计算出函数的值填入下表：（3）描点并连线（见图5）．（4）因为：，所以所以：（5）在同一直角坐标系中画出的图像，观察图像得交点为（如图6所示）．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，能熟记一次函数的图象和性质是解此题的关键．24、4x+xy-3【分析】根据7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+7x4y3﹣21x3y2，用28x4y2+7x4y3﹣21x3y2除以7x3y2，用多项式除以单项式的法则，即可得到答案.【详解】解：∵7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+7x4y3﹣21x3y2，∴(28x4y2+7x4y3﹣21x3y2)÷7x3y2=(4x+xy-3)(7x3y2)÷7x3y2=4x+xy-3本题主要考查了多项式的除法、多项式除以单项式的法则，关键是根据已知条件得到这个多项式是(28x4y2+7x4y3﹣21x3y2)÷7x3y2.25、（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案；（2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC=∠APB=110°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可.直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，∴AP=AQ，∠PAQ=60°，∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，∴∠BAP=∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，∴△BAP≌△CAQ（SAS），∴PB=QC；（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，∵∠APB=110°，∴∠PQC=110°﹣60°=90°，∵PB=