2026-2027学年黑龙江省哈尔滨德强高级中学高三（上）开学验收数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年黑龙江省哈尔滨德强高级中学高三（上）开学验收数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x∈N∗|x2A.(0,2) B.(0,2] C.{1} D.{1,2}2.设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是(

)A.

x+y=2 B.

x+y>2 C.

x2+y3.函数f(x)=xcos2xln(xA. B.

C. D.4.在锐角△ABC中，已知b2+c2−a2bcA.(12,+∞) B.(12,18] C.(63+6,18]5.已知函数f(x)=cosx，函数g(x)的图象可以由函数f(x)的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍得到，若函数g(x)在(π2,A.(0,49] B.[49,6.若关于x的不等式ea+x⋅lnx<x2+ax对∀x∈(0,1)A.(−∞,0] B.[−1,0] C.[−1,+∞) D.[0,+∞)7.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉(未看被丢掉小球的颜色).现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为(

)A.314 B.13 C.238.已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(−x)+f(x)=0，若当x>0时，[f(x)+f′(x)]ex>[f(x)−f′(x)]eA.f(e)<f(−e) B.xf(x)≤0

C.f(x)存在极值点 D.f(x)有且只有一个零点二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z=1+2ii，i为虚数单位，则下列说法正确的有(

)A.|z|=3

B.z−=2+i

C.z在复平面内对应的点位于第四象限

D.若复数ω满足|ω|=110.已知a>0，b>0，则下列正确的有(

)A.a+1b>b+1a

B.若a>b，则1a<1b

C.若ab+b11.已知△ABC中，B与C均为锐角，△ABC的面积为14，sin2B+sin2C=sinAA.A=π2 B.BC=3

C.△ABC周长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=−4lnx−12x2+ax在[1,4]上存在单调递减区间，则a的取值范围为13.我市某学校的数学老师组织学生到崖州湾南繁基地进行科学实践活动，研究人员让学生尝试取摘西红柿园中最大的西红柿，规定只能摘一颗且只可以向前走不能回头.假设学生小丽在园中一共会遇到n颗西红柿(设每颗西红柿的大小各不相同)，最大的那颗出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能地摘到最大的那颗，小丽在老师的建议下采用了如下策略：观察前k(1≤k<n)颗西红柿但不摘取，自第k+1颗开始，只要发现比她前面见过的西红柿更大的就摘这颗，否则就摘最后一颗.记该学生摘到那颗最大西红柿的概率为P，当n=100，k=10时，P的值约为

．

(取110+14.在△ABC中，A=B+2C，AB+AC=1，则BC的最小值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知f(x)=x2−alnx．

(1)若a=2，求f(x)的单调区间和极值；

(2)若f(x)在(1,+∞)上既存在极小值点，又存在零点，求参数16.(本小题15分)

已知向量a=(23,sinωx)，b=(cos2ωx,2cosωx)，函数f(x)=a⋅b−3(ω>0)，f(x)相邻对称轴之间的距离为π2．

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)将函数f(x)17.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4asinA=bsinCcosA+csinAcosB．

(1)求ca的值；

(2)∠ABC的角平分线交AC于点D．

①证明：BD2=2BC2−2DC218.(本小题17分)

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为12，乙胜丙的概率为p(0<p<1)，每场比赛互不影响．

(1)若p=13，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求：

(ⅰ)甲最终获胜的概率；

(ⅱ)丙最终获胜的概率；

(2)若19.(本小题17分)

已知a，b∈R，函数f(x)=e12x−asinx−acosx，g(x)=bx2+1．

(1)证明：当a=0时，对于任意x>0，f(2x)>12x2+x+1恒成立；

(2)已知x>0时，曲线y=f(x)和y=g(x)有公共点，

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】BCD

10.【答案】BD

11.【答案】ACD

12.【答案】(−∞,5)

13.【答案】0.235

14.【答案】4515.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x2−2lnx，函数定义域为(0,+∞)，

所以f′(x)=2x−2x=2(x+1)(x−1)x，令f′(x)=0⇒x=1，

则当x∈(0,1)时f′(x)<0，当x∈(1,+∞)时f′(x)>0，且f(1)=1−0=1，

所以f(x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,+∞)，

f(x)在x=1处取到极小值f(1)=1，无极大值．

(2)因为f(x)=x2−alnx，所以f′(x)=2x−ax=2x2−ax，

①若a≤0，则f′(x)>0，此时f(x)在(0,+∞)上单调递增，不存在极小值点，与题设矛盾，故舍去；

②若a>0，令f′(x)=0⇒x=a2(−a2舍去)，

当x∈(0,a2)时，f′(x)<0，当x∈(a2,+∞)时，f′(x)>0，

则f(x)在(0,a2)上单调递减，在(16.【答案】解：(1)f(x)=a⋅b−3

=23cos2ωx+2sinωxcosωx−3

=3(1+cos2ωx)+sin2ωx−3=2sin(2ωx+π3)，

因为f(x)相邻对称轴之间的距离为π2，

所以最小正周期T=π，

而T=2π2ω，所以ω=1，

所以f(x)=2sin(2x+π3)，

令2x+π3∈[2kπ+π2,2kπ+3π2]，k∈Z，

则x∈[kπ+π12,kπ+7π12]，k∈Z，

故f(x)的单调递减区间为[kπ+π12,kπ+7π17.【答案】(1)ca=2

(2)①由角平分线性质，ADDC=ABBC=ca=2，故AD=2DC．

因∠ADB+∠CDB=π，故cos∠ADB=−cos∠CDB．

由余弦定理：在△ABD中，AB2=AD2+B18.【答案】(ⅰ)19；(ⅱ)519.【答案】证明：当a=0时，函数f(x)=e12x，f(2x)=ex，

令h(x)=ex−12x2−x−1，x>0，

h′(x)=ex−x−1，设F(x)=h′(x)=ex−x−1，F′(x)=ex−1，

当x>0时，F′(x)>0，所以h′(x)在(0,+∞)单调递增，

又h′(0)=0，所以x>0时，h′(x)>0，h(x)在(0,+∞)单调递增，

又h(0)=0，所以x>0时，h(x)>0，即ex−12x2−x−1>0，

所以对于任意x>0，f(2x)>12x2+x+1恒成立

(i)b∈(1,+∞)；(ii)方法1：柯西不等式

因为x>0时，曲线y=f(x)和y=g(x)有公共点，

所以存在x0>0，使得e12x0−asinx0−acosx0=bx02+1，

即a(sinx0+cosx0)+bx02+1=e12x0，

由柯西不等式可知：

[a(sinx0+cosx0)+bx02+1]2≤(a2+b2)[(sinx0+cosx0)2+x02+1]=(a2+b2)(x02+sin2x0+2)，

当且仅当ax02+1=b(sinx0+cosx0)时，等号成立，

又[a(sinx0+cosx0)+bx02+1]2=ex0，

所以ex0≤(a2+b2)(x02+sin2x0