2026-2027学年云南省昭通市第一中学高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年云南省昭通市第一中学高三（上）月考数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设(a+i)i=b−3i(a,b∈R)，则(

)A.a=3，b=1 B.a=−3，b=−1

C.a=3，b=−1 D.a=−3，b=12.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={y|y=3x−1,x∈A}，则A∩B=(

)A.{1} B.{1,2} C.{2,5} D.{1,2,5}3.已知向量a，b满足|a|=|b|=2，|aA.2 B.−3 C.34.已知双曲线x2a2−y2A.2 B.3 C.2 5.已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为π3，则该圆台的表面积为(

)A.20π B.44π C.68π D.24π6.若sin(α−π6)=2A.59 B.−59 C.77.某校举行“数学文化节”活动，有5个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有(

)A.36种 B.72种 C.24种 D.240种8.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，若f(x)=f(−x)−2sinx，且当x≥0时，f′(x)+cosx<0，则不等式f(x+A.(−∞,π2) B.(π2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆O：x2+y2A.点(1,2)在圆内

B.直线x=−12截圆O所得的弦长为152

C.圆C：(x−3)2+(y+4)10.已知{an}是公差d>0的等差数列，其前n项和为Sn，且a2⋅A.an=2n−12 B.当且仅当n=5时，Sn取最小值

C.数列{211.已知△ABC的顶点均在抛物线Ω：y2=2px(p>0)上，且△ABC的重心为抛物线Ω的焦点F.若|FA|+|FB|+|FC|=12A.p=6

B.△ABC的周长小于36

C.△ABC的三个顶点到y轴的距离之和为9

D.Ω上一动点P到直线x+y+10=0的距离的最小值为7三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(1−x)3的展开式中x2的系数为

13.已知函数f(x)=ex−3x+3a有零点，则a的取值范围是

14.在平面直角坐标系中，若M(x1,y1)，N(x2,y2)，则称“d=|x1−x2|+|y1−y四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+ccosA=2bcosB．

(1)求角B的大小；

(2)若b=4，△ABC的周长为12，求△ABC的面积．16.(本小题15分)

2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越.行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力.某公司进行AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩(满分100分)分为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值以及第80百分位数；

(2)假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用X表示其成绩在[80,100]范围的人数，求X的分布列、期望及方差．17.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面为矩形，PA⊥平面ABCD，点E，F分别为棱BC，PD的中点．

(1)证明：CF//平面PAE；

(2)当PA=AB=2且AE⊥DE时，求平面PAE与平面ACF夹角的余弦值．18.(本小题17分)

著名的古希腊数学家阿基米德首次利用“逼近法”得到了椭圆的面积公式为：S=abπ(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长).已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为42π，左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆C上的动点，且点A到点F1，F2的距离之和为42．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点G(4,0)作直线交椭圆C于M，N两点，设直线F219.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex，g(x)=ax2+x+1(a∈R)，h(x)=f(x)−g(x)．

(1)若a=1时，求g(x)在(0,g(0))处的切线方程；

(2)若a≤12时，证明：当x>0时，h(x)>0；

(3)已知数列{an}满足an1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】AC

11.【答案】ABC

12.【答案】3

13.【答案】(−∞,−1+ln3]

14.【答案】16

15.【答案】解：(1)因为acosC+ccosA=2bcosB，

所以由正弦定理得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，

所以sin(A+C)=2sinBcosB，

所以sin(π−B)=2sinBcosB，即sinB=2sinBcosB，

因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，所以cosB=12，

因为B∈(0,π)，所以B=π3；

(2)由△ABC的周长为a+b+c=12，所以a+c=8，

由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，

则a2+16.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得：

10×(0.005+2a+0.03+a+0.005)=1，解得a=0.02；

又0.05+0.4+0.3=0.75，故第80百分位数在(80,90]，

则80+0.8−0.750.2×10=82.5，

所以第80百分位数为82.5；

(2)由题意，成绩在[80,100]的频率为(0.02+0.005)×10=0.25，

则从全公司中随机抽取1人，成绩在[80,100]的概率为0.25，

随机抽取3人，成绩在[80,100]范围的人数服从二项分布X∼B(3,14)，

则P(X=k)=C3k(X0123P272791则E(X)=3×14=317.【答案】(1)证明：如图，取PA的中点为G，连接FG，EG．

因为四边形ABCD是矩形，且点E为BC的中点，所以EC/​/AD，

且EC=12AD，

又因为F，G分别为PD，PA的中点，所以GF/​/AD，

且GF=12AD，

所以GF/​/EC，且GF=EC，所以四边形ECFG为平行四边形，

所以CF/​/EG，且CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，

所以CF/​/平面PAE．

(2)因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，

所以分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

因为E为BC中点，所以AE=DE，即△AED为等腰直角三角形，即∠EAD=45°．

又因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAE=45°，所以AB=BE，即AD=2AB．

又PA=AB=2，

所以A(0,0,0)，E(2,2,0)，C(2,4,0)，F(0,2,1)，P(0,0,2)，

则AE=(2,2,0)，AP=(0,0,2)，AC=(2,4,0)，AF=(0,2,1)，

设平面PAE的法向量为n1=(x1,y1,z1)，

则AE⋅n1=0AP⋅n1=0，即2x1+2y1=02z1=0，

则z1=0，令x1=1，则y1=−118.【答案】解：(1)由题意可得abπ=42π2a=42，解得a=22b=2，

所以椭圆C的标准方程为x28+y24=1；

(2)(i)证明：由(1)可知c2=a2−b2=4，所以c=2，所以右焦点为F2(2,0)，

设过点G(4,0)的直线方程为x=my+4(m∈R)，

将直线x=my+4代入椭圆方程得(my+4)28+y24=1，

整理得(m2+2)y2+8my+8=0，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

由韦达定理得y19.【答案】解：(1)当a=1时，g(x)=x2+x+1，则g(0)=1，

又g′(x)=2x+1，则g′(0)=1，

所以g(x)在(0,g(0))处的切线方程为y=x+1；

(2)证明：因为h(x)=ex−ax2−x−1，

当a≤12且x>0时，h′(x)=ex−2ax−1，

设H(x)=h′(x)，则H′(x)=ex−2a，易知H