四川省百师联盟2027届高三9月开学联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页四川省百师联盟2027届高三9月开学联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=x,y∣x+y−2=0,B=y∣x−y=0，则A.1 B.1,1 C.1,1 D.⌀2.已知复数z=1+2i1−ai,a∈R.若z为纯虚数，则a=A.−2 B.−12 C.123.已知平面向量a=3,0,b=x,2.若向量a+bA.−2 B.12 C.1 D.4.将含甲、乙在内的5名工程师分配至两间不同的工作站工作．若工程师甲、乙必须安排在同一工作站，且每间工作站至少分配2人，则不同的分配方案共有(

)A.8种 B.10种 C.12种 D.14种5.已知Sn为等比数列an的前n项和，若an+1=3SA.18 B.24 C.48 D.1926.某新能源实验室迭代优化固态电池快充工艺，电池单次充满所需时长T(单位：分钟)与工艺迭代次数n(n∈N∗)的关系式为T(n)=40e−0.1n+10，定义边际时长缩减量ΔT(n)=T(n)−T(n+1)。当ΔT(n)<0.4时，继续迭代带来的快充提升低于研发成本，应当停止迭代。已知e−0.1A.20 B.22 C.24 D.267.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，∠A1AB=∠A1AD=A.1515 B.155 C.8.设F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，F1F2A.13 B.33 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据x1,x2,x3,⋯,xn。已知该组数据的平均数为4，方差为3，极差为8，中位数为5.对原始数据进行线性变换，得到一组新数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，⋯，2xnA.a=11 B.b=12 C.c=8 D.d=1310.已知数列an的前n项和为Sn，若an+an+1A.a3=7 B.数列a2n−1是等差数列

C.a11.设双曲线C:x225−y211=1的左、右焦点分别是F1,F2,A是双曲线A.双曲线C的离心率为65 B.▵AF1F2的外接圆周长为20π

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和5，体积为49，则该正四棱台的高为

．13.已知sinα−π12=23，则14.已知函数fx=ex−1+e1−x−x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)为研究储能行业技术人员使用储能仿真软件的情况与方案自主优化能力是否有关联，随机调查了100名储能企业技术人员，得到如下2×2列联表(单位：人)．仿真软件使用情况自主优化能力合计强一般经常使用22不经常使用16合计44(1)将列联表补充完整并依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析储能技术人员使用储能仿真软件的情况是否与自主优化能力有关．(2)一名新入职储能技术员此前未使用储能仿真软件，计划开始学习使用．他在第n天使用储能仿真软件开展工作的概率为1n+1，每天是否使用相互独立．设这名技术员前3天中使用储能仿真软件的天数为X，求X的分布列与数学期望E参考公式：χ2参考数据：α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.84110.82816.(本小题15分)在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=3且3(1)求角B；(2)若c=3，求中线BD17.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AC=6(1)求证：平面A1BC⊥平面(2)若直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值为18.(本小题17分)已知抛物线E:y2=2pxp>0的焦点为F，抛物线E上一动点M到焦点F距离的最小值为1.过点F的直线交抛物线E于A,B两点，点C在抛物线E上，且▵ABC的重心(1)求抛物线E的标准方程；(2)若OP⊥AB(O为坐标原点)，垂足为P，求证：存在定点Q，使得PQ为定值；(3)若AB=5，求重心G的坐标．19.(本小题17分)已知函数fx(1)求曲线y=fx在点1,f(2)证明：fx(3)若fx>a−1x+lna在1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】BCD

11.【答案】AC

12.【答案】3

13.【答案】1914.【答案】−∞,115.【答案】解：(1)完整的列联表如下．仿真软件使用情况自主优化能力合计强一般经常使用222850不经常使用341650合计5644100零假设为H0由列联表中的数据，计算得χ2根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0即认为储能技术人员使用储能仿真软件的情况与自主优化能力有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．(2)由题意，X的可能取值为0，1，2，3．因为新员工第1天、第2天、第3天使用储能仿真软件开展工作的概率分别为12所以PX=0PX=1PP故X的分布列如下表．X0123P11111所以X的数学期望EX

16.【答案】解：(1)∵A+B+C=π,∴cos∴∵3cos整理得3∵A∈0,π又∵b=3,∴bsin由正弦定理，得sinB∵C∈0,π∵B∈0,π(2)在▵ABC中，∵b=3,c=∴由余弦定理，得9=a2+3−2解得a=23或a=−∵b∵D是AC的中点，∴AD=3∴BD=

17.【答案】解：(1)证明：在▵A1AC中，∵∠A1由余弦定理得A1∴AC2+∵A1C⊥AB，AB∩AC=A，AB、AC⊂平面ABC，∴∵A1C⊂平面A1BC，∴(2)由(1)，得A1C⊥平面ABC，又∵AC、BC⊂平面ABC，∴AC⊥A又∵AB⊥AC，∴A1C、AC以点C为坐标原点，分别以CA、CB、CA1所在的直线为x、y、建立如图所示的空间直角坐标系．设BC=kk>0，由(1)知A则C0,0,0、A10,0,3∴A1B=0,k,−设平面BCC1B则m⋅CB令x=3，则y=0，z=1，设直线A1B与平面BCC则sinθ=cosA∴A在三棱柱ABC−A1B1C1中，设平面AA1B则n⋅A令b=1，则a=6，c=设平面AA1B1B则cosα=即平面AA1B1B

18.【答案】解：(1)因为抛物线E:y2=2pxp>0，所以抛物线设Mx0,所以当x0=0时，MF取得最小值所以p2=1，解得所以抛物线E的标准方程为y2(2)由(1)，得F1,0方法一：由题意，得直线AB过定点F，直线OP过定点O，且OP⊥AB于点P，所以点P在以OF为直径的圆上，圆心为点12,0，半径为所以存在定点Q12,0，使得PQ方法二：由题意，得直线AB的倾斜角不为0，设直线AB的方程为x=my+1．因为OP⊥AB，所以直线OP的方程为y=−mx．解x=my+1,y=−mx,得x=1设Px,y，则x=1m2+1即x−1所以点P在以点12,0为圆心，所以存在定点Q12,0，使得PQ(3)由题意，得直线AB的倾斜角不为0，设直线AB的方程为x=my+1，Ax1,y1，B由x=my+1,y2=4x,消去x则y1所以AB=由题意，得4m2+4=5因为▵ABC的重心G在x轴上，所以yG所以y3=−y因为x1+x故▵ABC的重心G4

19.【答案】解：(1)∵fx又∵f′x∴曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为即2x+y−2−e=0．(2)证明：∵x>0,∴fx>0等价于方法一：令gx=e令hx=e∵函数h′x在0,+∞上单调递增，且h′∴函数h′x在12,1内存在唯一的零点x∴当x∈0,x0时，h′x<0∴函数hx即g′x在0,x∴函数g′x的最小值为g′∴函数gx在0,+∞当x∈0,1时，∵当x∈1,+∞时，g综上，gx>0在0,+∞上恒成立，即fx方法二：令gx当x∈0,1时，∵当x∈1,+∞时，g′令mx=ex−2∴m′x∴函数mx即g