【高考专项复习】重难专题03 高考热点：基本不等式与其它模块的融合（九种题型清单）

题型1与函数的融合题型1与函数的融合题型6与解三角形的融合题型2与导数的融合题型7与解析几何的融合题型3与数列的融合题型8与立体几何的融合基本不等式与其它模块的融合题型4与向量的融合题型9与概率统计的融合题型5与三角函数的融合基本不等式与函数的融合主要应用于求函数的最值、解决参数范围的问题。其核定和最小”的原理求解。的最小值是()则 有则由f(a)+f(b-1)=04.(25-26高二下·江苏南京·阶段检测)函数的最大值为()【分析】对于函数进行变形得,再利用基本不等式求最值即可.A.a+b=abB.ab的最小值为2【详解】则a>1,所以取不到1,选项D错误.的最小值是()小值为()【详解】∵函数f(x)的定义域为R,且的最大值为()所以e³=⁻¹-e²²ᵐ=e-e即2m+n=2,m,n>0,得0<m<1,0<n<2,则时等号成立，所以的最大值为0.心，则的最小值为.【分析】求出函数f(x)的对称中心基本不等式即可求得最值.所以函数f(x)的图象的对称中心为的最小值为4.11.(2026·重庆·模拟预测)已知a,beR且b>0,若对任意的x∈(0,+∞),【答案】4【答案】4答案.当且仅当即b=2时取等号，故4a²+b的最小值为4.导数证明基本不等式或其变形；3.解决“恒成立”与“有解”问题中的参数范围。1.已知点P在曲线,α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()【答案】D【分析】求导，结合基本不等式可得y'∈(-1,0),得到答案【详解】设函数【详解】设函数f(x)=x+Inx.∵函数y=Inx在(0,+)上单调递增，函数y=x在(0,+c)上单调递增，的最小值为3.故选B.M(x,y),N(x₂,y₂),x₁≠x₂,若两条切线斜率之积为1,则的取值范围是()A.(0.1)B.(0.1)【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出、%,再由两条切线的斜率之积为1得到,即可用x的式子表示x₀、y%,代入化简可得利用可.则【答案】因为a>0,b>0,所以f(x)=a[(x-x₂)(x-x;)+(x-x,)(x-x,)+(k₃=f'(x,)=a(x₃-x₁)(x₃而x-x₃=(x-x₂)+(x₂-x₃)=m+n,x-x=-(m+n),点方法技巧基本不等式与数列的融合主要考查基本不等式处理数列中的最值问题、大小比较以及不1.利用基本不等式求数列的最值：当数列的通项公式或前n项和公式满足“一可直接使用基本不等式求最值。2.数列中的大小比较与不等关系A.b₂b,≤a₂a,B.b₂b₄≥a₂a,C.a₂+a≤b₂+bD.a₂+a≥【详解】因为,所以A.[-16,+∞]B.(-15,+∞)则1≥-15.(n∈N,d为常数),则称数列{a}(n∈N,d为常数),则称数列{a}数列，已知数列为调和数列，【答案】所以,当且仅当或【答案】【答案】,故b,=n²,n≥2,联立①②,将a=7-2d代入②,解得d=-2,a=11。所以,所以且h(2)=-8ln2+16=8(2-In2)>0,h(3)=-241n2+16=8(2-3ln2)=8(lne²-n8)<0,a₄+a-a₂-a=2.【详解】(1)当q=3时，由a+a₃-a₂-a=2,(2)由a₄+a₃-a₂-a₁=2,得(a+a)q²-(a+a,)=2,基本不等式与向量的融合主要是利用向量的几何性质(如三点共线、数量积定义)构建等量关系，再结满足OC=xOA+yOB,则必有x+y=1;2.利用“数量积”结合坐标法活几何法：向量数量积在三角形内部点的问题中，面积比往往对应向量的系数。与AB,AC边分别交于M,N点，若AB=xAM,AC=yAN,则的最小值为(则向量AM在AB上的投影向量的模的最小值为()E人MBDDFAoAEB则BE=ABC,ae[0.1],则BE=(22,bz),设E(x,y),因为AE·AC=12,所以4(2λ+2)=12而点F为线段BD上的一个动点(包括端点),设F(0,1),t∈[-b,b],由基本不等式得由基本不等式得,当且仅当故A正确.即n=√2m时取等号，5.(多选)(2026·江西南昌·模拟预测)如图，在等边三角形ABC中，AB=6,点O是靠近B的三等分点，过0的直线分别交射线AB,AC于不同的两点M,N,AB=mAM,AC=nAN,则下列选项中正确的是C.2m+n=3D.的最【答案】ACD【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可.【详解】对于A,对于B,由A选项知对于C,因为点M,O,N三点共线，所以存在实数使得AO=λAM+(1-λ)AN, A.AB·AC=3D.2|AB+AC的取值范围为(5,5√2对于A,由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA→2²所以ABAC=bccosA=3,故A正确；MQPDC00 【答案】C【详解】GB【答案】由于AM=xAB+yAD(x,y∈R),则A(0.0.FI.),【答案】【答案】的最小值是.于是AO=mAB+(1-m)AC,结合A于是由[3(x+y)-2][(x+y)-2]≥0可得x+y≥2,最小值是2,当x=y=1时取等号.AEBOD,ANMGMBCBEA=λCE,直线CD和BE交于点F,且FC=μDF,记CA=a,C【答案】AEDFCBC【答案】【答案】B令a=-a₂,则,若a,a,a,中有2个或3个向合基本不等式的使用条件。解题策略：1.利用平方和构造定值：三角函数中的sin²α+cos²α=1是天然的定值条件，求最值的典型结构为求的最小值；2.三角换元法：对于代数式中含有√1-x²或两项平方和为定值(x²+y²=1)的结构，可令x=sinθ,y=cosθ进行三角换元。,2.(2026·天津南开·二模)已知x≠kπ时，的最小值为()因此的最小值为3.的最小值为()的最小值为()【分析】由条件可得,然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果.故所求式的最小值为,故C正确.【答案】C【分析】由条件可得√2(sinacosβ+cosasinβ)【详解】由题意sina>0,cosa>0,sinβ>0,cosβ>0,所以【答案】【答案】-4【答案】-4【答案】【答案】a²+(a²+b²-c²)=3b²→c²展开整理：sin(4+B)=2sin(4-B)→sinAcosB=tan4+tanB+tanC=tan4tanBtanC,代入tan4=3tanB得：记代入tanA=3tanB化简得：基本不等式与解三角形的融合主要应用于求解三角形边长、周长、面积的最值或取值范围问题。其核心思路是利用正弦定理或余弦定理将集合条件转化为代数关系，再结合基本不等式进行放缩求解。解题模1.(黑龙江哈尔滨市第五中学校2025-2026学年高三下学期6月月考数学试卷)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2,a+2cos4=b+2cosB,a≠b,则△ABC面积的最大值为()A.无最大值B.2求的最小值().A.3则△ABC面积的最大值为()则tanB+tanC=2tanBtanC,所以，当tanA=4,tanBtanC=2时，tanAtanB-tanC取最小值可.令令而SB=SAD+SAD’cosAcosB≠0,则tan所以tanA=3tanB.【答案】【答案】AD所以所以(当且仅当时取等号).acosC+√3asinC-b-c=0.(2)由题意可知,当且仅当b=c时取等号.【详解】(1)略(2)若D在AB边上，且AD=2DB,CD=2,求△ABC面积的最大值.【详解】(1)由sin²A+cos²B+cos²C=2+sinBsinC,所以f(x)=f(4)=1,即线段AD长度的最大值为1.点方法技巧小、距离最短等)或范围问题。其核心思想是将几何量(长度、面积、斜率等)转化为代数不等式，再的最小值为()的最小值为4.的最大值为()A.41B.25C.10原点，M为线段FP的中点，则直线OM斜率的最大值为()的最小值为()到直线y=-x的距离为d₂.则下列说法正确的是()对于A,.故A正确.单位圆上满足xy=0的点有(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),共4个，故C错误.E:x²+y²-4y=0于M,N两点，其中A,M位于第一象限，则的最小值为()则yBNM方程为(x-3)²+y²=9,则△PMN面积的最小值为()由(x-3)²+y²=9圆心为(3,0),半径为3,MN9.(多选)(2026·重庆·模拟预测)抛物线C:y²=2x的焦点为F,坐标A.直线AB过点FOaF交DMαEd2BNE则故D正确.因为x²+y²+z²=1,所以D²+D²≤1(当且仅当z=0(1)当AB的中点在直线x-2y=0上时，直线AB的方程为【答案】7x-4y-7=0;4x-y-4=0.【分析】(1)设A(a,a),B(b,-2b),求出线段AB的中点坐标，根据题意列方程组求出a、b,求得直线AB【详解】(1)设A(a,a).B(b,-2b),则线段AB的中点为oBX【答案】【详解】FFMNRB所以OP·|OQ=(ON|+|PN)-(ON|-lQyA0B【答案】【答案】如图(2)所示，分别连接MT,NF,MT₂,N'F,石N(2)设直线的斜率为k(k<0),则其方程为y+2=k(x+联立解得x²-6x+1=0,A(x,y),B(x₂,y₂),C(x₃,y;),D(x,个ABBM,解得,则,同理M交【详解】(1)解：设A(x₁,y),因为点A焦点F的距离等于9,(2)解：由题意，设直线AB方程x=ty+m,B大基本不等式与立体几何的融合主要应用于解决空间几何体的表面积、体积及外接球/内切球相关的最值问题。解题步骤为：1.根据模型：设出几何体的关键变量(如底面半径r,高h,棱长a,b,c);2.列出等式：根据题目条件(如周长、面积、体积)尽力变量间的约束条件；3.转化目标：将要求解的目标量(体积V,表面积S)表示为含变量的代数式；4.应用不等式。A.4√2B.3√3【详解】记三棱柱上、下底面中心分别为0,0₂,则O₁O₂的中点为0,ABAB+AC=8√2,则三棱锥P-EFG的外接球表面积的最小值为()【分析】设AB=2m,AC=2n,由题设m+n=4√2·将x,y,Z,m,的关系式，三棱锥P-EFG的外接球就是长方体的外接球，利用基本不等式结合球的表面积公式求解.将P-EFG放在棱长为x,y,z的长方体中，如图，EG正方形，PA=PD,△PAD的面积为2,则()A.PB=PCB.PA的最小值为√2【分析】对A,分别作AD,BC的中点E,F,易证AD⊥平面PEF,可得BC⊥PF,得解；对B,由三角形所以BC⊥PF,且F是BC的中点，对于B,所以PA的最小值为2,故B错误；对于D,当PA⊥AB时，又AB⊥AD,PAOAD=A,所以ABI平面PAD,x≥4,则,所以CCFB截面.h2Bh2BR0CC当且仅当,等号成立.值为.令该容器体积的最小值为.【答案】【答案】ADO作平面α,且平面α与侧棱PB,PD(不含端点)分别交于点E,G,若四棱锥P-ABCD的体积为24,【答案】8PFEB所以,解得则PB-PA=PC-PD,【详解】(1)设PA=h,则AB=2h.,解得,解得则则,解得(2)因为PA⊥面ABC,ABC面ABC,BCc面ABC,P或“和定积最大”的结构；3.验证约束条件：概率问题中的变量由严格的范围限制(如0≤p≤1,最终结果需回归到实际背景中解释。开式中x项的系数为()由,解得令3-2r=1,解得r=1,所3.(多选)(江苏省如皋中学2026届高三5月培优数学练习卷)设随机变量X～N(μa²),其中C.y的平均数为6能确定为6;选项D根据正态分布的对称性确定.【详解】令1=a-1(t>0),所以μ的最小值为5,选项A正确；样本数据₁,的方差等于σ²,按所以y的平均数不一定是6,选项C错误；P(X<3)=P(X<6-3),P(X>7)=P(A.P(AB)≠0B.S>2T当且仅当时取等号，即T的最大值为,C对，,则S²≥1,结合概率的性质知0<S≤1,则S=1,D对.E(ξ)=0.3,则下列说法正确的是()5012PCa