河南省禹州市2026-2027学年高三上学期开学联考数学试卷（含答案）

/河南省禹州市2026-2027学年高三上学期开学联考数学试卷一、单选题1．样本数据68,56,50,42,39,62,35,30的极差为（

）A．32 B．36 C．38 D．402．在等差数列an中，若a2+a4+aA．3 B．-3 C．5 D．-53．已知集合A=e1+ln2,cosA．2e B．−12,2e 4．若直线y=2x+2与曲线y=eA．−2 B．−1 C．1 D．25．函数fx=xA． B．C． D．6．已知非零向量m，n满足m⊥(4n+m)，且m在n上的投影向量为−2n，则向量m，A．π4 B．π3 C．2π7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，过点F且倾斜角为5π6的直线与C在第一象限的交点为A，与x轴的交点为B，若A．y=−4 B．y=−3 C．y=−28．在x+y+z+1n+2（n∈N*）的展开式中，含xyz项的系数为bn，记数列1A．12 B．13 C．14二、多选题9．已知复数z满足z2−i=1−A．z=35+1C．z+35是纯虚数10．已知直线l的方程为kx−y−k+1=0（k∈R），点M4,0，曲线E上任意一点A．直线l过定点B．存在实数k，使直线l与曲线E无公共点C．直线l被曲线E截得的弦长的最小值为2D．当k=−1时，直线l被曲线E11．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=ACA．AB．点P到平面ACB1C．直线PB1与平面ACD．点Q的轨迹长度为2三、填空题12．已知椭圆C:x2a2+y13．已知函数fx=cosωx+φ+3sinωx+φ（ω>014．甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为p（0<p<1），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为fp，则当fp四、解答题15．某眼科研究机构为研究患白内障与年龄是否有关，将年龄在60岁以上（含60岁）的人群定义为老年人，现随机抽取了180名居民，检查其是否患有白内障，得到如下2×2列联表：白内障患者非白内障患者合计老年人44100非老年人64合计60180(1)请完善上述2×2列联表，并分别估计老年人与非老年人患白内障的概率；(2)根据小概率值α=0.005附：χ2α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816．在△ABC中，∠ABC=3π4，点D在边AC上，△ABD(1)求BD；(2)求△BCD17．如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，∠ABC=π3，BC//AD，AD=1，PB=(1)求证：MN//平面PAB(2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值．18．已知函数fx(1)求不等式fx(2)讨论fx(3)已知函数hx=xfx−sin19．已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(1)求E的方程．(2)设O为坐标原点，过点F的直线l与E的右支交于M，N两点，其中点N在第四象限，直线MO与E的另一个交点为R．（ⅰ）若MF=5NF，求（ⅱ）求△MNR答案与解析题号12345678910答案CABDADBCADACD题号11答案ABD1．C分析：由极差的定义求解．解析：该组样本数据中最小数为：30，最大数为：68，则该组数据的极差为：68−30=38．2．A解析：在等差数列an中，由性质：a2+a6已知a3=8，则公差3．B解析：因为e1+ln2sin7π4已知B=−14．D分析：根据导数的几何意义，结合题意求出切点坐标，进而求解a值.解析：对y=ex由题意知ex−1+1=2，解得x=1，即切点的横坐标为代入曲线方程得4=e1−1+1+5．A解析：fx=x3e−x所以函数fx的图象关于原点中心对称，当x>0时，fx令f′x>0，解得x<3，所以令f′x<0，解得x>3，所以A选项中图像关于原点中心对称且在0,+∞B选项中图像关于原点中心对称，但是在0,+∞C选项中图像在0,+∞先单调递增再单调递减，但是关于yD选项中图像关于原点中心对称，但是在0,+∞6．D分析：由垂直条件列出内积方程，再由投影向量定义列出第二个内积方程，联立得到两向量模长的比例关系，最后代入夹角余弦公式直接求出cos⁡θ，结合夹角范围解析：由m→⊥(4n所以4m→m→在n→上的投影向量为：m由①②得−|m→|2所以cos⁡θ=m→7．B分析：根据题意，得到直线方程，从而得到点A,B坐标，再结合AB=2解析：如图所示，抛物线C：x2=2py（p>0），焦点F的坐标为过点F且倾斜角为5π6的直线l，其斜率为k=由于直线l与x轴的交点为B，令y=0，得x=32p将直线方程代入抛物线方程中，得x2=2p解得x=33由于交点A在第一象限，所以xA=3所以点A的坐标为33又因为AB=2，所以32p所以抛物线C的准线方程为y=−8．C分析：先由排列组合的知识求含xyz项的系数为bn，再由裂项相消法求数列1bn的前n项和为T解析：先取一个x，有n+2种取法，再取一个y，有n+1种取法，再取z，有所以bn=(n+2)(n+1)n由裂项相消求和：TnTn=1212−1n由不等式Tn<t恒成立得：t9．AD解析：z=1−i而z的虚部为−1z+z=10．ACD分析：根据题意，先求得曲线E的轨迹方程，结合直线的点斜式方程，直线与圆的位置关系和圆的弦长公式，逐项求解，即可得到答案.解析：设曲线E上任意一点N(x,y)因为ON⋅MN=0，可得x即曲线E是以C(2,0)为圆心，半径为r对于A，将直线方程kx−y−因为该式对任意k∈R恒成立，则满足x−1=0即直线恒过定点P(1,1)对于B，由定点P到圆心C(2,0)的距离为PC即点P在圆E的内部，所以不存在实数k，使直线l与曲线E无公共点，所以B错误；对于C，因为直线l过定点P，且PC=2，即圆心到直线的最大距离为结合圆的性质，可得弦长的最小值为Lmin对于D，当k=−1时，直线l的方程为−x−此时圆心C(2,0)在直线x+y此时直线l被曲线E截得的弦长为圆的直径2r11．ABD分析：利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算.通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长.解析：以C为原点，分别以CA，CB，CC1为x，y，由题得各点坐标：C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A1对于选项A，向量AB1→=−2,2,2因此AB1→⊥B对于选项B，CA=(2,0,0),设平面ACB1的一个法向量n解得x=0z=−y，令因为CP→=2,0,1，所以点P到平面ACB1对于选项C，向量PB1=(−2,2,1)，设直线PB1则sinθ=∣对于选项D，侧面BCC1B1内的点Q满足x=0(2−0)2+(该圆半径为2，在矩形BCC1B1（所以轨迹长度为14×2π12．1分析：由椭圆的简单性质，利用椭圆的焦点坐标得到c的值，再根据a2=b解析：椭圆C：x2a2+y23=1故答案为：113．5分析：根据题意，由fx是奇函数求出φ，再根据g解析：已知函数fx=cosωx+由于fx是奇函数，所以满足f0=0，即2又因为0<φ<π，当k=1时，φ=函数gx的对称轴满足ωx+5由于函数gx的图象在区间0,π上恰有2条对称轴，所以不等式又因为ω>0，所以不等式0<3m−1π在区间13,3ω+13要恰有两个整数，这两个整数只能是1和所以ω的取值范围为(514．1−分析：根据二项分布可求f(解析：甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的情况有：甲胜3局乙胜1局；甲胜3局乙胜2局，故fp故f'当0<p<1−1010时，f′故fp在0,1−1010故p=1−101015．(1)白内障患者非白内障患者合计老年人4456100非老年人166480合计60120180老年人患白内障的概率为0.44，非老年人患白内障的概率为0.2.(2)认为患白内障与年龄有关.分析：（1）根据题意补全2×2列联表，进而求概率即可.（2）提出零假设，根据公式求出卡方χ2解析：（1）2×2列联表为白内障患者非白内障患者合计老年人4456100非老年人166480合计60120180估计老年人患白内障的概率为44100非老年人患白内障的概率为1680（2）零假设为H0χ2根据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H16．(1)10(2)33分析：（1）利用三角形面积公式和余弦定理求解；（2）先由正弦定理求得AC，再由三角形面积公式求得S△解析：（1）∵S△∴sinA∵∠ABC=3∴cosA∴在△ABD中，由余弦定理得B∴BD=（2）由题可得sinC∴在△ABC中，由正弦定理得AB∴AC=∴S△∴S△17．(1)如图，取PA的中点为Q，连接BQ，MQ.因为M为PD的中点，所以MQ//AD，又3BN=NC因为AD//BC，BC=2AD=2所以四边形BNMQ为平行四边形，故MN//因为MN⊄平面PAB，BQ⊂平面PAB，所以MN//(2)10535分析：（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，求出平面PAD与平面PCD的法向量，根据面面角的向量求法求解即可.解析：（1）略（2）连接AC.因为PB=PA=AB=BC=2取线段AB的中点O，连接OP，OC，则OP⊥AB，OC⊥因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面且OP⊂平面PAB，OC⊂平面所以AB，OP，OC两两互相垂直.以OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则P0,0,3，A−1,0,0，C所以DP=32,−3设平面PAD的法向量为m=则m⋅AD=0m⋅DP=0，即−所以平面PAD的一个法向量为m=设平面PCD的法向量为n=则n⋅CD=0n⋅DP=0，即−所以平面PCD的一个法向量为n=设平面PAD与平面PCD夹角为θ，则cosθ所以平面PAD与平面PCD夹角的余弦值为1053518．(1)0,(2)fx在0,2(3)证明：由函数fx=5+则h′x=−2当0<x<π2时，sinx>0，所以函数hx在区间0,设Hx=−x所以Hx在π又因为y=−2sinx所以h′x=−2因为h′π2由零点存在定理可知，存在唯一的x0∈π当π2<x<x0时，综上可得，当0<x<x0时，h′故hx在0,x0所以hx在0,π上有且只有一个极小值点分析：（1）根据题意，把不等式转化为cosx>2cos（2）求得f′x=−xsinx−5−cosxx（3）根据题意，得到hx=cosx−xsinx−tx，先求得hx在0,π2上无极值点，设Hx=−xcos解析：（1）解：由函数fx=5+cosx整理得cosx>cos可得2cosx+1因为0<2x<2π，即0<所以原不等式的解集为0,2（2）解：由函数fx=5+设gx=−x当π2<x<3π2时，g所以gx在0,π2上单调递减，在π又因为g0=−6，所以当0<x<2π时，gx<0，即f（3）略19．(1)x(2)（ⅰ）4x−分析：（1）根据右焦点坐标及渐近线方程，结合c2（2）（ⅰ）设出直线方程x=my+2，与双曲线方程联立，根据题意及韦达定理求出m（ⅱ）由双曲线的对称性知S△MNR=2S△MON，进而得到S△