陕西咸阳市永寿县中学2027届高三上学期第一次考试数学试卷（含答案）

/高三数学试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上．2、答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设，利用复数的相等列出方程组，求解即得复数，结合模的公式计算即可.【详解】由可得，设，则，代入得，则有，解得，故，则.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，先求得集合和，结合集合交集的定义和运算法则，即可求解.【详解】由不等式，可得，解得，即，又由方程，解得或或，即，所以.3.已知向量，满足，，则的值为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】由，得，又，则，所以.4.已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】由题意可得，渐近线的斜率，所以，因为，所以即，则离心率.5.如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】如图，取上下底面中心分别为，，则为正四棱台的高，因为.又，.所以为四棱台外接球的球心，外接球半径为，所以该四棱台外接球的表面积为.6.鲁菜是中国八大菜系中历史最悠久、技法最丰富、最见功力的菜系，是黄河流域烹饪文化的代表，当走进山东，人们感受到的不仅是一道道的美食，更是一份传承了千年之久的深厚文化底蕴以及热情好客之道．小明和名同学决定探访山东美食文化，计划打卡济南、青岛、潍坊等五个城市．若人各自独立且等可能地从个城市中任选一个，则小明去济南，且恰有一个城市有人，其余人分别选择另外两个不同城市的概率为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先算总选法数，再分两类符合条件的选法：（1）济南是人数为的城市的选法数为；（2）济南不是人数为的城市的选法数为，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】先计算总基本事件数个人各自独立且等可能地从个城市中任选个，由分步乘法计数原理得总选法为：.因为要求同时满足两个条件：①小明去济南；②恰有一个城市有人，其余人分别选另外两个不同城市，因为小明已经选了济南，分两类讨论：（1）济南是人数为的城市：需要从剩下名同学中选人也去济南，剩余名同学要从剩下个城市里选个不同城市、每人各去个，选法为：.（2）济南不是人数为的城市：剩下名同学中，需要人同去除济南之外的某一个城市，最后人去剩下城市里不同于上述两个城市的第三个城市，选法为：.符合条件的总事件数.由古典概型的概率公式，因此符合条件事件的概率.7.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用和差角的正余弦公式化简，再利用同角公式求解.【详解】由，得，整理得，由，得，整理得，所以.8.已知的定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列说法错误的是（）A.B.的图象关于点中心对称C.4为函数的一个周期D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性对函数的对称点与周期进行计算.【详解】已知为奇函数，所以，令，即，即，所以的图象关于点中心对称，正确；令，即，所以，即，正确；已知为偶函数，所以，因为，将替换为，得，将替换为，得，联立等式，得，即4为函数的一个周期，正确；因为周期为4，，即，又因为为奇函数，所以，即，错误.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知关于直线对称，，则（）A.B.经过的直线方程为C.与的公切线的数量为3D.若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为【答案】ABD【解析】【详解】对A，因为关于直线对称，所以圆心在直线上，所以.故A正确；对B，根据两点式，直线的方程为：即.故B正确；对C，因为，，，所以，所以与相交，故两圆有2条公切线.故C错误；对D，.故D正确.10.在数列中，，，．则（）A.数列为等比数列B.数列的通项公式为C.数列的前项和D.若，则数列的前项和【答案】ABC【解析】【分析】利用已知条件对数据通项进行求解，利用错位相减求解前项和.【详解】已知，所以，因为，因此，所以，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，正确；所以，即，正确；数列的前项和，正确；因为，所以，所以，等式两边同时乘：，所以，所以，错误.11.已知抛物线经过点，直线与交于、两点，则（）A.B.抛物线上的点到点和的距离之和的最小值是C.当时，的面积D.过点、分别作抛物线的切线交于点，则点在定直线上【答案】AD【解析】【分析】将点代入抛物线的方程，求得，可判定A正确；根据抛物线的定义，结合抛物线的几何性质，可判定B错误；当时，联立方程组，利用韦达定理，求得，结合三角形的面积公式，可判定C错误；分别求得过点和的切线方程，联立方程组，求得交点的横坐标，可判定D正确.【详解】对于A，因为抛物线经过点，可得，即，解得，所以A正确；对于B，由A选项知：抛物线的的方程为，可得其焦点坐标为，准线方程为，如图（1）所示，过点作，过点作，根据抛物线的定义，可得，所以，当点和重合时，即三点共线时，取得最小值，所以B错误；对于C，如图（2）所示，当时，直线，令，可得，即直线恒过定点，联立方程组，整理得，设，可得，且，可得，所以的面积，所以C错误；对于D，如图（3）所示，联立方程组，整理得，可得，且，设，不妨设，当时，由，可得，则，可得，所以过点的切线方程为，即，同理可得：过点的切线方程为，联立方程组，解得，即点在定直线上，所以D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等差数列中，，，则的前项和的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得和，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值.【详解】设等差数列的公差为，首项为.则，解得，所以.根据等差数列前项和公式有，所以为开口向下的二次函数，对称轴：.所以当时，取最大值：.13.已知函数，则不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】根据分段函数得到每一段上对应的不等式，利用指、对数函数的单调性求解即得.【详解】由题意，当时，由可得，解得，故得；当时，由可得，解得；综上可得，不等式的解集为.14.如图1，在中，，，是线段的中点．将沿所在直线翻折得到三棱锥，如图2．若，则三棱锥外接球的体积为________．【答案】【解析】【分析】由条件可知是等腰直角三角形，再由翻折的不变性得、、三条线段两两垂直，长度均为，因此可将三棱锥补形成一个棱长为的正方体，再求正方体的外接球的体积可得.【详解】在图1的中：由​，，可得，即是等腰直角三角形，又因为是中点，因此，且.因为翻折后长度不变：，仍满足，.因为，即，结合，，可知、、三条线段两两垂直，长度均为.因此可将三棱锥补形成一个棱长为的正方体，该正方体的外接球与三棱锥的外接球完全相同，如图：正方体的体对角线就是外接球的直径：​，得外接球半径.由球体积公式，因此三棱锥外接球的体积为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图．（1）求直方图中的值；（2）估计该小区用户月用电量的中位数；（3）用频率估计概率，假设各户月用电量是否小于相互独立，从该小区随机抽取10户居民用户，表示月用电量小于的户数，求．【答案】（1）（2）（3）3【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的性质建立方程，求解参数值即可.（2）判断出样本数据的中位数落在哪个区间内，进而根据中位数的求解方法列式，即可求得答案.（3）先根据用电量小于的频率估计概率，确定随机变量服从二项分布，并利用二项分布的数学期望公式进行求解.【小问1详解】由图可得组距为，根据频率和为，得，解得．【小问2详解】由图可得第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，因为前两组的累计频率为，前三组的累计频率为，所以中位数位于第三组内，设中位数为，则，解得．【小问3详解】用电量小于的频率为，所以用频率估计概率，从该小区随机抽取户居民用户，其用电量小于的概率，从该小区抽取户居民用户，设表示用电量小于的户数，则服从二项分布，则．16.如图，在三棱锥中，，均为等腰三角形，，，，，，分别为，的中点．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明：设中点为，连接，，因为，均为等腰三角形，则，，所以，，，故，所以，又且，平面，则平面，又平面，所以平面平面（2）【解析】【分析】（1）设中点为，连接，，利用等腰三角形的性质得，再根据勾股定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面，从而利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可.【小问1详解】略【小问2详解】以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，为中点，即，为中点，即，，，．设平面的一个法向量，则，取，则，，故，设直线与平面所成角为，则．17.在锐角三角形中，，，的对边分别为，，，且．（1）求;（2）若点为的垂心，，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角关系式的平方关系和正余弦定理求解.（2）如图，延长交于，延长交于，从而可得，．求出和，计算，利用余弦函数的图形和性质求解.【小问1详解】因为，所以，即，由正弦定理得，则，因为，所以．【小问2详解】如图，延长交于，延长交于，根据题意可得，．由（1）知，所以，设，且，又，则，．同理可得．则，因为，所以，又，，所以，所以的取值范围是．18.已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点．（1）求的方程；（2）证明：是定值；（3）是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）证明：设椭圆的左焦点为，连接，，由椭圆的对称性知；因为，分别为线段，的中点，所以，又因为，所以，即为定值．（3）存在，点或或或【解析】【分析】（1）因为椭圆的方程和焦点坐标得到和的值，利用公式求出，从而得到椭圆的方程．（2）设椭圆的左焦点为，连接，，根据椭圆的对称性得到，利用，分别为线段，的中点得到，结合椭圆的定义得解.（3）假设存在点，使得，设点，由，关于轴对称得到，求出，由点在上得到，由，分别为线段，的中点得到，由得到，通过计算得解.【小问1详解】因为椭圆，为的右焦点，所以，，所以，所以椭圆．【小问2详解】略【小问3详解】假设存在点，使得，设点，因为，关于轴对称，所以，所以．因为点在上，所以，即，代入得到，因为，分别为线段，的中点，所以，若，则，即，此时，即，解得，，所以存在点或或或，使得．19.已知函数（）有两个零点，，且．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．【答案】（1）（2）证明：由（1）得，所以，设，则，，设，，，所以在上单调递增，所以，所以，又由于，所以，所以．【解析】【分析】（1）先将原函数的零点方程作同构变形，借助严格单调的辅助函数消去外层，