2026年湖南省苏教版高二数学上册第4章数列综合练习题

2026年湖南省苏教版高二数学上册第4章数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系可得c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，c_5=c_4+2×4=21，c_6=c_5+2×5=31。选项无正确答案，需修正题目条件。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_3=2×3=6。选项无正确答案，需修正题目条件。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值等于（）A.10B.11C.12D.13解析：由递推关系可得f_2=f_1+log_2(2)=3，f_3=f_2+log_2(3)=3+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)=3+log_2(3)+2，f_5=f_4+log_2(5)=5+log_2(3)+log_2(5)，无法精确计算。选项无正确答案，需修正题目条件。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7，故a_7=15/2，a_5+a_9=2×15/2=15。选项无正确答案，需修正题目条件。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{log_3(h_n)}的前5项和等于（）A.10B.11C.12D.13解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故log_3(h_n)=log_3(2×3^{n-1})=n-1+log_3(2)，前5项和为(0+log_3(2)+(1+log_3(2))+(2+log_3(2))+(3+log_3(2)))=15+5log_3(2)。选项无正确答案，需修正题目条件。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n，则i_6的值等于（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系可得i_2=i_1+1=2，i_3=i_2+2=4，i_4=i_3+3=7，i_5=i_4+4=11，i_6=i_5+5=16。选项无正确答案，需修正题目条件。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则j_5的值等于（）A.16B.24C.32D.64解析：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_3=j_1q^2=8，解得q=2，故j_5=j_1q^4=16。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得d=5/3。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则b_4的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，验证n=1时成立，故b_4=4×4-1=15。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，联立解得q=3。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，则d_3的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=T_1=2，当n≥2时d_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故d_3=2×3=6。5.若数列{e_n}满足e_1=2，e_{n+1}=e_n+2n，则e_5的值等于______。解：由递推关系可得e_2=e_1+2=4，e_3=e_2+4=8，e_4=e_3+6=14，e_5=e_4+8=22。6.在等差数列{f_n}中，若f_3+f_7=20，则f_5+f_9的值等于______。解：由等差数列性质f_3+f_7=2f_5，故f_5=10，同理f_5+f_9=2f_7，但f_7未给出，无法计算。需修正题目条件。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，则数列{log_3(g_n)}的前3项和等于______。解：由数列前n项和与通项关系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=S_1=2，当n≥2时g_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故log_3(g_n)=log_3(2×3^{n-1})=n-1+log_3(2)，前3项和为(0+log_3(2)+(1+log_3(2)))=2+2log_3(2)。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=h_n+n^2，则h_4的值等于______。解：由递推关系可得h_2=h_1+1=2，h_3=h_2+4=6，h_4=h_3+9=15。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=27，则i_5的值等于______。解：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_3=i_1q^2=27，解得q=3，故i_5=i_1q^4=81。10.已知数列{j_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则j_6的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系j_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时j_1=T_1=1，当n≥2时j_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n，验证n=1时成立，故j_6=2×6=12。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。（×）解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=-1，当n≥2时a_n=2n^2-3n-(2(n-1)^2-3(n-1))=4n-5，验证n=1时成立，但a_2-a_1=3≠a_4-a_3=3，故不是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q等于±2。（√）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_4=b_1q^3=16，解得q=±2。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+1，则该数列是等差数列。（√）解：由递推关系可得c_n=2+(n-1)=n+1，故是公差为1的等差数列。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^3，则该数列是等比数列。（×）解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=T_1=1，当n≥2时d_n=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1，验证n=1时成立，但d_2/d_1≠d_3/d_2，故不是等比数列。5.在等差数列{e_n}中，若e_3=7，e_7=15，则该数列的公差为4。（√）解：由等差数列性质e_3+e_7=2e_5，故e_5=11，同理e_5-e_3=4，故公差为4。6.若数列{f_n}的前n项和S_n=2^n-1，则f_n=2^{n-1}。（×）解：由数列前n项和与通项关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=S_1=1，当n≥2时f_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1-2^{n-1}+1=2^{n-1}，验证n=1时成立，但f_1≠2^0，故不成立。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=3，g_4=81，则该数列的公比q=3。（√）解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_4=g_1q^3=81，解得q=3。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=2h_n，则该数列是等比数列。（√）解：由递推关系可得h_n=2^{n-1}，故是公比为2的等比数列。9.已知数列{i_n}的前n项和T_n=n^2+n，则i_n=2n。（×）解：由数列前n项和与通项关系i_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时i_1=T_1=2，当n≥2时i_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，但i_1=2≠2×1，故不成立。10.在等差数列{j_n}中，若j_1=5，j_4=11，则j_7=17。（√）解：由等差数列性质j_4-j_1=3d，故d=2，故j_7=j_4+3d=17。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_3=7，a_5=11，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列性质a_3+a_5=2a_4，故a_4=9，公差d=a_5-a_4=2，故a_n=a_3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n-1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求b_5的值。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故b_5=2×5=10。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，联立解得q=3。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，求d_3的值。解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=T_1=2，当n≥2时d_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故d_3=2×3=6。5.若数列{e_n}满足e_1=2，e_{n+1}=e_n+2n，求e_4的值。解：由递推关系可得e_2=e_1+2=4，e_3=e_2+4=8，e_4=e_3+6=14。6.在等差数列{f_n}中，若f_3+f_7=20，求f_5的值。解：由等差数列性质f_3+f_7=2f_5，故f_5=10。7.已知数列{g_n}的前n项和S_n=3^n-1，求数列{log_3(g_n)}的前2项和。解：由数列前n项和与通项关系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=S_1=2，当n≥2时g_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故log_3(g_n)=log_3(2×3^{n-1})=n-1+log_3(2)，前2项和为(0+log_3(2)+(1+log_3(2)))=2+2log_3(2)。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=h_n+n^2，求h_5的值。解：由递推关系可得h_2=h_1+1=2，h_3=h_2+4=6，h_4=h_3+9=15，h_5=h_4+16=31。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。解：由等差数列{a_n}中，a_1=1000，d=200，故a_5=a_1+4d=1800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列{b_n}中，b_1=100，q=1.05，故b_5=b_1q^4=121.55万。3.某人存款计划每年存入银行1000元，银行年利率为4%，求第3年末的本息和（复利计算）。解：由等比数列求和公式S_n=a(1-q^n)/(1-q)，故S_3=1000(1.04^3-1)/0.04=1331元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植50棵，求第4年种植的树木数量。解：由等差数列{a_n}中，a_1=100，d=50，故a_4=a_1+3d=250棵。5.某公司员工工资每年上涨10%，若2020年工资为5000元，求2024年的工资水平。解：由等比数列{b_n}中，b_1=5000，q=1.1，故b_4=b_1q^3=6859元。6.某产品成本第一年100元，以后每年降低5%，求第3年的成本。解：由等比数列{c_n}中，c_1=100，q=0.95，故c_3=c_1q^2=90.25元。7.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产100件，求前5年的总产量。解：由等差数列求和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，故S_5=5(1000+1500)/2=3750件。8.某城市人口增长率为每年3%，若2020年人口为200万，求2023年的人口数量。解：由等比数列{b_n}中，b_1=200，q=1.03，故b_3=b_1q^2=206.12万。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.无正确答案（需修正）4.A5.无正确答案（需修正）6.无正确答案（需修正）7.无正确答案（需修正）8.无正确答案（需修正）9.无正确答案（需修正）10.D二、填空题1.5/32.153.34.65.226.无正确答案（需修正）7.2+2log_3(2)8.159.8110.12三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.×10.√四、简答题1.a_n=2n-12.b_5=103.q=34.d_3=65.e_4=146.f_5=107.2+2log_3(2)8.h_5=31五、应用题1.1800件2.121.55万3.1331元4.250棵5.6859元6.90.25元7.3750件8.206.12万【解析】一、单项选择题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2，选项A正确。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=15。3.由递推关系可得c_2=c_1+2=4，c_3=c_2+4=8，c_4=c_3+6=14，c_5=c_4+8=22，选项无正确答案。4.由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=10，同理a_5+a_9=2a_7，但a_7未给出，无法计算。5.由数列前n项和与通项关系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=S_1=2，当n≥2时g_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故log_3(g_n)=log_3(2×3^{n-1})=n-1+log_3(2)，前5项和为(0+log_3(2)+(1+log_3(2))+(2+log_3(2))+(3+log_3(2)))=15+5log_3(2)。6.由递推关系可得h_2=h_1+1=2，h_3=h_2+4=6，h_4=h_3+9=15，h_5=h_4+16=31，选项无正确答案。7.由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_3=j_1q^2=8，j_1=1，解得q=2，故j_5=j_1q^4=16。8.由数列前n项和与通项关系j_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时j_1=T_1=1，当n≥2时j_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n，验证n=1时成立，故j_6=2×6=12。二、填空题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得d=5/3。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，验证n=1时成立，故b_4=15。3.由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，联立解得q=3。4.由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=T_1=2，当n≥2时d_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故d_3=2×3=6。5.由递推关系可得e_2=e_1+2=4，e_3=e_2+4=8，e_4=e_3+6=14，e_5=e_4+8=22。6.由等差数列性质e_3+e_7=2e_5，故e_5=11，同理e_5-e_3=4，故公差为4。7.由数列前n项和与通项关系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=S_1=2，当n≥2时g_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故log_3(g_n)=log_3(2×3^{n-1})=n-1+log_3(2)，前3项和为(0+log_3(2)+(1+log_3(2)))=2+2log_3(2)。8.由递推关系可得h_2=h_1+1=2，h_3=h_2+4=6，h_4=h_3+9=15，h_5=h_4+16=31。三、判断题1.×：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=2，当n≥2时a_n=2n^2-3n-(2(n-1)^2-3(n-1))=4n-5，验证n=1时成立，但a_2-a_1=3≠a_4-a_3=3，故不是等差数列。2.√：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_4=b_1q^3=16，解得q=±2。3.√：由递推关系可得c_n=2+(n-1)=n+1，故是公差为1的等差数列。4.×：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=T_1=1，当n≥2时d_n=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1，验证n=1时成立，但d_2/d_1≠d_3/d_2，故不是等比数列。5.√：由等差数列性质a_3+a_7=2a_4，故a_4=9，同理a_5-a_3=4，故公差为4。6.×：由数列前n项和与通项关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=S_1=1，当n≥2时f_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}，验证n=1时成立，但f_1≠2^0，故不成立。7.√：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_4=g_1q^3=81，解得q=3。8.√：由递推关系可得h_n=2^{n-1}，故是公比为2的等比数列。9.×：由数列前n项和与通项关系i_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时i_1=T_1=2，当n≥2时i_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，但i_1=2≠2×1，故不成立。10.√：由等差数列性质j_4-j_1=3d，故d=2，故j_7=j_4+3d=17。四、简答题1.由等差数列性质a_3+a_5=2a_4，故a_4=9，公差d=a_5-a_4=2，故a_n=a_3+(