理科数学高考备考讲义

第一章第1讲[A级基础达标]1．设全集U＝R，集合A＝{y|y＝tanx，x∈B}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))))，则图中阴影部分表示的集合是()A．[－1,1] B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))【答案】C2．(2018年银川模拟)已知集合A＝{x|x2－16＜0}，B＝{－5,0,1}，则()A．A∩B＝∅ B．B⊆AC．A∩B＝{0,1} D．A⊆B【答案】C3．(2018年石家庄模拟)已知集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|y＝lg(x－2)}，则A∩(∁RB)＝()A．(2,4) B．(－2,4)C．(－2,2) D．(－2,2]【答案】D4．(2018年天津模拟)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，若A⊆B，则a的值为()A．－2 B．－1C．0 D．1【答案】A5．(2018年江苏)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________.【答案】{1,8}6．(2018年衡阳模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x＋2≥x＋4}．(1)求A∩B；(2)若C＝{x|2x－a＞0}，且B∪C＝B，求实数a的取值范围．【解析】(1)因为A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x＋2≥x＋4}＝{x|x≥2}，所以A∩B＝[2,3)．(2)C＝{x|2x－a＞0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(a,2)))))，因为B∪C＝B，所以C⊆B，则eq\f(a,2)≥2，即a≥4.所以实数a的取值范围是[4，＋∞)．[B级能力提升]7．(2018年佛山模拟)已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S的4个元素的子集中，无“孤立元素”的共有()A．4个 B．5个C．6个 D．7个【答案】C【解析】由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，这样的集合共有6个．8．已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1＜x＜2}，且(∁RB)∪A＝R，则实数a的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】集合A＝{x|y＝lg(a－x)}＝{x|a－x＞0}＝{x|x＜a}＝(－∞，a)，因为全集为R，B＝(1,2)，所以∁RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．因为(∁RB)∪A＝R，所以a≥2，实数a的范围为[2，＋∞)．9．已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,n－1)，x，n∈Z))))，则∁UA＝________.【答案】{0}【解析】因为A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,n－1)，x，n∈Z))))，当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1；n≤－2时，x∉Z.故A＝{－2,2,1，－1}，又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁UA＝{0}．10．已知集合A＝{(x，y)|y＝a}，B＝{(x，y)|y＝bx＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值范围是________．【答案】(1，＋∞)【解析】由于集合B中的元素是指数函数y＝bx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝bx＋1(b>0，b≠1)与y＝a的图象有且只有一个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．

第一章第2讲[A级基础达标]1．(2018年上海模拟)在△ABC中，“cosA＋sinA＝cosB＋sinB”是“∠C＝90°”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B2．下列结论错误的是()A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C．命题“若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”【答案】C3．(2018年新余二模)“m＞1”是“函数f(x)＝3x＋m－3eq\r(3)在区间[1，＋∞)上无零点”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A4．(2018年日照二模)已知向量a＝(－2，m)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(m,2)))，m∈R，则“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的()A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B5．(2018年盐城三模)“x＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z”是“sinx＝eq\f(1,2)”成立的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要6．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．【解析】y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16)，因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，所以eq\f(7,16)≤y≤2.所以A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，所以B＝{x|x≥1－m2}．因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B．所以1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4).故实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).[B级能力提升]7．(2018年泰安二模)已知l，m是三维空间中两条不重合的直线，α是一个平面，则“m⊥α，l与m无交点”是“l∥m，l⊥α”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】l，m是空间两条不重合的直线，α是一个平面，则“m⊥α，l与m无交点”，不一定能推出“l∥m，l⊥α”，但由“l∥m，l⊥α”一定能推出m⊥α，l与m无交点，故“m⊥α，l与m无交点”是“l∥m，l⊥α”的必要不充分条件．故选B．8．设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”．若a>b≥0，则a2>b2，即a|a|>b|b|；若a≥0>b，则a|a|≥0>b|b|；若0>a>b，则a2<b2，即－a|a|<－b|b|，从而a|a|>b|b|.再证“a|a|>b|b|”⇒“a>b”．若a，b≥0，则由a|a|>b|b|，得a2>b2，故a>b；若a，b≤0，则由a|a|>b|b|，得－a2>－b2，即a2<b2，故a>b；若a≥0，b<0，则a>b.综上，“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件．9．(2018年太原二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1＞0”是“S3＞S2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由a1＞0可得S3－S2＝a3＝a1q2＞0，即S3＞S2成立，故“a1＞0”是“S3＞S2”的充分条件．由S3＞S2可得S3－S2＝a3＝a1q2＞0，可得a1＞0，故“a1＞0”是“S3＞S2”的必要条件．综上可得，“a1＞0”是“S3＞S2”的充要条件．故选C．10．(2018年西宁模拟)《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．则“皮之不存，毛将焉附？”中“有毛”是“有皮”的________条件(将正确的序号填入空格处)．①充分条件；②必要条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．【答案】①【解析】由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为①.

第一章第3讲[A级基础达标]1．已知命题p：∃x0∈R，sinx0＜eq\f(1,2)x0，则¬p为()A．∃x0∈R，sinx0＝eq\f(1,2)x0 B．∀x∈R，sinx＜eq\f(1,2)xC．∃x0∈R，sinx0≥eq\f(1,2)x0 D．∀x∈R，sinx≥eq\f(1,2)x【答案】D【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即¬p：∀x∈R，sinx≥eq\f(1,2)x.2．(2018年滨州模拟)已知命题p：x∈A∪B，则¬p是()A．x不属于A∩B B．x不属于A或x不属于BC．x不属于A且x不属于B D．x∈A∩B【答案】C【解析】由x∈A∪B知x∈A或x∈B．非p是：x不属于A且x不属于B．故选C．3．(2018年烟台模拟)命题p：∃x∈R，cosx＞1的否定是()A．￢p：∃x∈R，cosx≤1 B．￢p：∀x∈R，cosx≤1C．￢p：∃x∈R，cosx＜1 D．￢p：∀x∈R，cosx＜1【答案】B【解析】特称命题的否定是全称命题，命题p：∃x∈R，cosx＞1的否定是“∀x∈R，cosx≤1”．故选B．4．(2018年桂林月考)给出下列三个结论：①命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”；②函数f(x)＝x－cosx(x∈R)有3个零点；③对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时，f′(x)>g′(x)．其中正确结论的序号是()A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】B【解析】①显然正确；由y＝x与y＝cosx的图象知，函数f(x)＝x－cosx(x∈R)有1个零点；②不正确；对于③，由题设知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，又奇函数在关于原点对称区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称区间上单调性相反，所以x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0，所以f′(x)>g′(x)，故③正确．5．已知命题p：∃φ∈R，使f(x)＝sin(x＋φ)为偶函数；命题q：∀x∈R，cos2x＋4sinx－3＜0，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(¬p)∨qC．p∨(¬q) D．(¬p)∧(¬q)【答案】C【解析】∃φ＝eq\f(π,2)，使f(x)＝sin(x＋φ)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx是偶函数，所以p是真命题，¬p是假命题；∃x＝eq\f(π,2)，使cos2x＋4sinx－3＝－1＋4－3＝0，所以q是假命题，¬q是真命题．所以p∧q，(¬p)∨q，(¬p)∧(¬q)都是假命题，p∨(¬q)是真命题．故选C．6．(2018年常州一模)命题“∃x∈[0,1]，x2－1≥0”是______命题．(选填“真”或“假”)【答案】真【解析】当x＝1时，x2－1＝0≥0，所以命题“∃x∈[0,1]，x2－1≥0”是真命题．7．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题？写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假．(1)若a＞0且a≠1，则对任意实数x，ax＞0；(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|；(4)∃x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋1＜0.【解析】(1)全称命题，其否定形式：若a>0且a≠1，则∃x∈R，ax≤0，显然该命题是假命题．(2)全称命题，其否定形式：∃x1，x2∈R，且x1＜x2，使tanx1≥tanx2，该命题是真命题．(3)特称命题，其否定形式：∀T∈R，|sin(x＋T)|≠|sinx|，该命题是假命题．(4)特称命题，其否定形式：∀x∈R，x2＋1≥0，该命题是真命题．8．已知p：函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]内单调递减；q：∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0.若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．【解析】若p为真，则a＞0且对称轴x＝－eq\f(－4,2a)＝eq\f(2,a)在区间(－∞，2]的右侧，即eq\f(2,a)≥2，所以0<a≤1.若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根，所以Δ＝[16(a－1)]2－4×16<0.所以eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).因为命题“p∧q”为真命题，所以命题p，q都为真．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤1，,\f(1,2)<a<\f(3,2)，))即eq\f(1,2)<a≤1.故实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).[B级能力提升]9.已知p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0；q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(¬q)为假命题，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0,2]C．R D．∅【答案】B【解析】若p∨(¬q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，由ex－mx＝0，得m＝eq\f(ex,x)，设f(x)＝eq\f(ex,x)，则f′(x)＝eq\f(x－1ex,x2)，当x＞1时，f′(x)＞0，函数单调递增，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，函数单调递减，当x＜0时，f′(x)＜0，函数单调递减，所以当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝e.所以函数f(x)的值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)．所以若p为假命题，则有0≤m＜e.命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以当p∨(¬q)为假命题时，m的取值范围是[0,2]．10．给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(1＋x)]为偶函数；命题q：函数y＝eq\f(ex－1,ex＋1)为偶函数．下列说法正确的是()A．p∨q是假命题 B．(¬p)∧q是假命题C．p∧q是真命题 D．(¬p)∨q是真命题【答案】B【解析】对于命题p：令y＝f(x)＝ln[(1－x)·(1＋x)]，由(1－x)(1＋x)＞0，得－1＜x＜1，所以函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称．又因为f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．所以命题p为真命题．对于命题q：令y＝g(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)，函数g(x)的定义域为R，关于原点对称，g(－x)＝eq\f(e－x－1,e－x＋1)＝eq\f(1－ex,1＋ex)＝－g(x)，即函数g(x)为奇函数．所以命题q为假命题．所以(¬p)∧q是假命题．故选B．11．(2018年淄博模拟)已知命题p：∀a∈R，关于x的方程ax＋4＝0有解；命题q：∃m0>0，直线x＋m0y－1＝0与直线2x＋y＋3＝0平行．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(¬q)”是真命题；③命题“(¬p)∨q”为真命题；④命题“(¬p)∨(¬q)”是真命题．其中正确的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B【解析】因为当a＝0时，关于x的方程ax＋4＝0无解，所以命题p为假命题；当1－2m0＝0，即m0＝eq\f(1,2)时两条直线平行，所以命题q是真命题．所以¬p为真命题，¬q为假命题，所以①错误，②错误，③正确，④正确．故正确的有2个．12．(2018年淮安模拟)若“∃x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2x2－λx＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为________．【答案】(－∞，2eq\r(2)]【解析】若“∃x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2x2－λx＋1＜0成立”是假命题，即“∃x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得λ＞2x＋eq\f(1,x)成立”是假命题，由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2x·\f(1,x))＝2eq\r(2)，当且仅当x＝eq\f(\r(2),2)时取最小值2eq\r(2)，所以实数λ的取值范围为(－∞，2eq\r(2)]．13．已知c＞0，设p：函数y＝cx为减函数，q：当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，x＋eq\f(1,x)＞eq\f(1,c)恒成立．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)【解析】由p为真命题知，0＜c＜1；由q为真命题知，2≤x＋eq\f(1,x)≤eq\f(5,2)，要使x＋eq\f(1,x)＞eq\f(1,c)恒成立，需eq\f(1,c)＜2，即c＞eq\f(1,2).若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))；当p假q真时，c的取值范围是[1，＋∞)．综上可知，c的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．14．设p：实数x满足|x－2a|＜a，其中a＞0；q：实数x满足eq\f(1,x－2)≥1.(1)若a＝1，命题“p∧q”为真命题，求实数x的取值范围；(2)若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解析】由|x－2a|＜a，a＞0，得a＜x＜3a，即p为真命题时，a＜x＜3a.由eq\f(1,x－2)≥1，得2＜x≤3，即q为真命题时，2＜x≤3.(1)a＝1时，p：1<x<3.由p∧q为真命题知p，q均为真命题，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜3，,2＜x≤3，))得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为(2,3)．(2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，由题意知p是q的必要不充分条件，即BA，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a≤2，,3a＞3，))即1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1,2]．15．已知m∈R，p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；q：存在x∈[－1,1]，使得m≤x成立．(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求m的取值范围．【解析】(1)因为对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，所以(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．(2)因为存在x∈[－1,1]，使得m≤x成立，所以m≤1.因此，命题q为真时，m≤1.因为“p且q”为假，“p或q”为真，所以p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤m≤2，,m＞1，))得1＜m≤2；当p假q真时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜1或m＞2，,m≤1，))得m＜1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．

第二章第1讲[A级基础达标]1．(2018年汉中模拟)函数y＝f(x)(x∈R)的图象与直线x＝2018的交点个数是()A．0 B．0或1C．1 D．1或2018【答案】C【解析】x＝2018属于定义域R，故函数y＝f(x)的图象与直线x＝2018的交点个数为1.故选C．2．(2018年临沂三模)函数f(x)＝eq\f(1,\r(1－log3x))的定义域为()A．(0,3] B．(0,3)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)【答案】B【解析】要使函数有意义，则1－log3x＞0，即log3x＜1，得0＜x＜3，所以f(x)的定义域为(0,3)．3．(2018年杭州模拟)已知函数f(x)的定义域为(1,2)，则函数f(x2)的定义域是()A．(1,2) B．(1,4)C．R D．(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))【答案】D【解析】因为f(x)的定义域为(1,2)，所以由1＜x2＜2，得－eq\r(2)＜x＜－1或1＜x＜eq\r(2)，故函数f(x2)的定义域是(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))．故选D．4．(2018年深圳调研)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(31－x，x≤0，,fx－1，x>0，))则f[f(－1)]＝()A．3 B．－3C．9 D．－9【答案】A【解析】由题意可得f(－1)＝32＝9，所以f[f(－1)]＝f(9)＝f(8)＝…＝f(0)＝3.5．(2018年济南校级期中)若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x【答案】B【解析】因为二次函数经过原点，所以可设二次函数为g(x)＝ax2＋bx.由g(1)＝1，g(－1)＝5，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,a－b＝5，))解得a＝3，b＝－2，所以g(x)＝3x2－2x.6．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()A．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,10))) B．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,10)))C．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋4,10))) D．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋5,10)))【答案】B【解析】取特殊值法，若x＝56，则y＝5，排除C，D；若x＝57，则y＝6，排除A．故选B．7．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则y＝f(log2x)的定义域是________．【答案】[eq\r(2)，4]【解析】因为函数f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1，所以eq\f(1,2)≤2x≤2.所以在函数y＝f(log2x)中，eq\f(1,2)≤log2x≤2，可得eq\r(2)≤x≤4.8．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝0，所以c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.又因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.所以(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,2).))所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x.9．根据如图所示的函数y＝f(x)的图象，写出函数的解析式．【解析】当－3≤x<－1时，函数y＝f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将点(－3,1)，点(－1，－2)代入，可得f(x)＝－eq\f(3,2)x－eq\f(7,2)；当－1≤x<1时，同理可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，点(1,1)代入，可得f(x)＝eq\f(3,2)x－eq\f(1,2)；当1≤x<2时，f(x)＝1.所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)x－\f(7,2)，－3≤x<－1，,\f(3,2)x－\f(1,2)，－1≤x<1，,1，1≤x<2.))[B级能力提升]10．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0，))则不等式x＋(x＋2)f(x＋2)≤5的解集是()A．[－2,1] B．(－∞，－2]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))【答案】D【解析】当x＋2≥0，即x≥－2时，f(x＋2)＝1，由x＋(x＋2)·f(x＋2)≤5可得x＋(x＋2)≤5，所以x≤eq\f(3,2)，即－2≤x≤eq\f(3,2)；当x＋2＜0，即x＜－2时，f(x＋2)＝－1，由x＋(x＋2)·f(x＋2)≤5可得x－(x＋2)≤5，即－2≤5，所以x＜－2.综上，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(3,2))))).故选D．11．(2018年宜昌模拟)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于()A．－1 B．1C．6 D．12【答案】C【解析】由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.又因为f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域上都为增函数，所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.故选C．12．(2018年天津校级模拟)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)＝a，则实数a的值为()A．±1 B．－1C．－2或－1 D．±1或－2【答案】B【解析】由题意知，当a≥0时，有eq\f(1,2)a－1＝a，解得a＝－2(不满足条件，舍去)；当a＜0时，有eq\f(1,a)＝a，解得a＝1(不满足条件，舍去)或a＝－1.所以实数a的值是－1.故选B．13．(2018年晋城检测)设集合A＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)，x∈A，,21－x，x∈B.))若x0∈A，且f(f(x0))∈A，则x0的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,8)))【答案】B【解析】因为x0∈A，即0≤x0<eq\f(1,2)，所以f(x0)＝x0＋eq\f(1,2)，eq\f(1,2)≤x0＋eq\f(1,2)＜1，即eq\f(1,2)≤f(x0)＜1，即f(x0)∈B，所以f(f(x0))＝2[1－f(x0)]＝1－2x0.因为f(f(x0))∈A，所以0≤1－2x0＜eq\f(1,2)，解得eq\f(1,4)＜x0≤eq\f(1,2).又因为0≤x0＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,4)＜x0＜eq\f(1,2).故选B．14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x)211x123g(x)321则当f(g(x))＝2时，x＝________.【答案】3【解析】由表格可知f(1)＝2，因为f[g(x)]＝2，所以g(x)＝1.而g(3)＝1，所以x＝3.故答案为3.15．具有性质feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①f(x)＝x－eq\f(1,x)；②f(x)＝x＋eq\f(1,x)；③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0<x<1，,0，x＝1，,－\f(1,x)，x>1.))其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)【答案】①③【解析】对于①，f(x)＝x－eq\f(1,x)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)－x＝－f(x)，满足；对于②，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x)＋x＝f(x)，不满足；对于③，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0<\f(1,x)<1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x>1，,0，x＝1，,－x，0<x<1，))故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.16．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<0，,2x，x≥0，))且满足f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象．【解析】(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a＋b＝3，,－a＋b＝2，))解得a＝－1，b＝1，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x<0，,2x，x≥0.))(2)f(x)的图象如图所示：

第二章第2讲[A级基础达标]1．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为()A．－2 B．2C．－6 D．6【答案】C【解析】由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))，令－eq\f(a,2)＝3，所以a＝－6.2．(2018年天津模拟)函数f(x)＝log0.5(2－x)＋log0.5(2＋x)的单调递增区间是()A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(0,2) D．(－2,0)【答案】C【解析】要使函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x>0，,2＋x>0，))得－2＜x＜2.f(x)＝log0.5(2－x)＋log0.5(2＋x)＝log0.5(2－x)(2＋x)＝log0.5(4－x2)，设t＝4－x2，则y＝log0.5t是减函数，要求函数f(x)的单调递增区间，等价于求函数t＝4－x2的单调递减区间．因为t＝4－x2的单调递减区间为(0,2)，所以f(x)的单调递增区间为(0,2)．故选C．3．(2018年广东模拟)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()A．y＝eq\f(1,fx)在R上为减函数 B．y＝|f(x)|在R上为增函数C．y＝2－f(x)在R上为减函数 D．y＝－[f(x)]3在R上为增函数【答案】C【解析】对于A，取f(x)＝x，则y＝eq\f(1,fx)＝eq\f(1,x)，在R上不是减函数，A错误；对于B，取f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，B错误；对于C，令t＝f(x)，则y＝2－f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t，t＝f(x)在R上为增函数，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t在R上为减函数，则y＝2－f(x)在R上为减函数，C正确；对于D，取f(x)＝x，则y＝－[f(x)]3＝－x3，在R上是减函数，D错误．故选C．4．若函数f(x)＝eq\f(x－b,x＋2)在(a，b＋4)(b<－2)上的值域为(2，＋∞)，则ab＝()A．eq\f(1,16) B．eq\f(1,8)C．8 D．16【答案】A【解析】f(x)＝eq\f(x－b,x＋2)＝1＋eq\f(－b－2,x＋2)在区间(a，b＋4)(b<－2)上单调递减，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,\f(b＋4－b,b＋4＋2)＝2，))解得a＝－2，b＝－4，所以ab＝(－2)－4＝eq\f(1,16).5．(2018年北京模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为()A．a>c>b B．b>a>cC．c>a>b D．c>b>a【答案】B【解析】由f(x)的图象关于直线x＝1对称，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))).由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<eq\f(5,2)<e，所以f(2)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))>f(e)，所以b>a>c.故选B．6．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)内是减函数，则a的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))【答案】D【解析】当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)内是减函数；当a≠0时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,－\f(4a－3,4a)≥3，))得0<a≤eq\f(3,4).综上，a的取值范围是0≤a≤eq\f(3,4).7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)a－2，x≤1，,ax－a，x>1，))若f(x)在(0，＋∞)内单调递增，则实数a的取值范围为________．【答案】(1,2]【解析】由题意，得12＋eq\f(1,2)a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a是增函数，故a>1，所以a的取值范围为(1,2]．8．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．【答案】3【解析】由于y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R内递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.9．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．【解析】(1)证明：设x1>x2，x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．因为x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，所以f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上为减函数．(2)由(1)知f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－2.由f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，则f(－3)＝－f(3)＝2，所以f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.[B级能力提升]10．(2018年郑州质检)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)eq\r(x)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝()A．4 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)【答案】D【解析】当a>1时，y＝ax为增函数，有a2＝4，a－1＝m，解得a＝2，m＝eq\f(1,2)，此时g(x)＝－eq\r(x)在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．当0<a<1时，y＝ax为减函数，有a－1＝4，a2＝m，解得a＝eq\f(1,4)，m＝eq\f(1,16)，此时g(x)＝eq\f(3,4)eq\r(x)在[0，＋∞)上是增函数．故a＝eq\f(1,4).11．(2018年安阳一模)已知函数f(x)满足：①对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0；②对定义域内任意x，都有f(x)＝f(－x)，则符合上述条件的函数是()A．f(x)＝x2＋|x|＋1 B．f(x)＝x3－2xC．f(x)＝ln|x＋1| D．f(x)＝cosx【答案】A【解析】由题意得f(x)是偶函数，在(0，＋∞)递增．对于A，f(－x)＝f(x)，是偶函数，且x＞0时，f(x)＝x2＋x＋1，f′(x)＝2x＋1＞0，故f(x)在(0，＋∞)递增，符合题意；对于B，f(x)是奇函数，不合题意；对于C，由x＋1≠0，得x≠－1，定义域不关于原点对称，故f(x)不是偶函数，不合题意；对于D，f(x)在(0，＋∞)不是递增的，不合题意．故选A．12．(2018年银川模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－1－b，x≤1，,－log2x＋1，x>1))(a＞0，a≠1)在其定义域上单调，则ab的值不可能是()A．－1 B．1C．－2 D．2【答案】D【解析】由于f(x)在R上单调，当x＞1时，f(x)＝－log2(x＋1)单调递减，则当x≤1时，函数f(x)＝ax－1－b单调递减，所以0＜a＜1，且a1－1－b≥－log2(1＋1)，解得b≤2.当0＜b≤2时，0＜ab＜2；当b≤0时，则ab≤0.因此，ab≠2.故选D．13．(2018年南昌一模)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－a|，x≤1，,x＋1，x>1，))若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为()A．[－1,2) B．[－1,0]C．[1,2] D．[1，＋∞)【答案】C【解析】对f(x)＝2|x－a|，可得在x＞a时递增，在x＜a时递减．若a＜1，x≤1，则f(x)在x＝a处取得最小值，不符题意；若a≥1，x≤1，则f(x)在x＝1处取得最小值，且2a－1≤2，解得1≤a≤2，所以a的取值范围是[1,2]．故选C．14．已知定义域为(0，＋∞)的单调函数f(x)，若对任意的x∈(0，＋∞)，都有f[f(x)－ex]＝e2＋2，则f(1)＝________.【答案】e＋2【解析】令f(x)－ex＝t(t＞0)，则f(x)＝ex＋t，所以f(t)＝et＋t＝e2＋2，t＝2，即f(x)＝ex＋2(x＞0)，故f(1)＝e＋2.15．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b.))设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．【答案】1【解析】依题意，h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，0<x≤2，,－x＋3，x>2.))当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x>2时，h(x)＝3－x是减函数．所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.16．设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)内的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1.(1)求f(1)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))的值；(2)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围．【解析】(1)令x＝y＝1易得f(1)＝0.而f(9)＝f(3)＋f(3)＝－1－1＝－2，且f(9)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝f(1)＝0，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝2.(2)设0<x1<x2，则eq\f(x2,x1)>1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)))<0，由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得f(x2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1·\f(x2,x1)))＝f(x1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)))<f(x1)，所以f(x)是减函数．由条件①及(1)的结果得f[x(2－x)]<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))，其中0<x<2，由函数f(x)在(0，＋∞)内单调递减，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x>\f(1,9)，,0<x<2，))由此解得x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2\r(2),3)，1＋\f(2\r(2),3))).17．已知函数f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)－2))，其中a是大于0的常数．(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．【解析】(1)由x＋eq\f(a,x)－2＞0，得eq\f(x2－2x＋a,x)＞0，当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}；当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－eq\r(1－a)或x＞1＋eq\r(1－a)}．(2)设g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，所以g′(x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f(x2－a,x2)>0.所以g(x)在[2，＋∞)上是增函数．所以f(x)在[2，＋∞)上是增函数．所以f(x)min＝f(2)＝lgeq\f(a,2).(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0，即x＋eq\f(a,x)－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．所以a>3x－x2.令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．由于h(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(9,4)在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2.故a>2时，恒有f(x)>0.所以实数a的取值范围为(2，＋∞)．

第二章第3讲[A级基础达标]1．(2018年北京模拟)下列函数中，在R上为奇函数的是()A．f(x)＝cosx B．f(x)＝sinxC．f(x)＝ex D．f(x)＝lgx【答案】B【解析】A是偶函数，B是奇函数，C，D是非奇非偶函数．故选B．2．(2018年衡阳模拟)函数f(x)＝ax3＋2bx＋a－b是奇函数，且其定义域为[3a－4，a]，则f(a)＝()A．4 B．3C．2 D．1【答案】B【解析】因为奇函数的定义域为[3a－4，a]，所以3a－4＋a＝0，解得a＝1，则f(x)＝x3＋2bx＋1－b.由f(0)＝0，得b＝1，即f(x)＝x3＋2x，则f(a)＝f(1)＝1＋2＝3.故选B．3．(2018年北京模拟)已知函数g(x)＝f(x)－x，若f(x)是偶函数，且f(2)＝1，则g(－2)＝()A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】因为函数g(x)＝f(x)－x，f(x)是偶函数，若f(2)＝1，则f(－2)＝1，g(－2)＝f(－2)＋2＝3.故选C．4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)内单调递增，若不等式f(lgx)＜0，则x的取值范围是()A．(0,1) B．(1,10)C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)【答案】A【解析】依题意，函数f(x)在R内是增函数，且f(0)＝0，不等式f(lgx)＜0＝f(0)等价于lgx＜0，则0＜x＜1.故选A．5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合下面图象可知f(x)是R内的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2<a<1.6．(2018年三明二模)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，恒有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝ex－1，则f(－2017)＋f(2018)＝()A．0 B．eC．e－1 D．1－e【答案】D【解析】当x≥0时，恒有f(x＋2)＝f(x)，可知函数f(x)的周期为2.所以f(2017)＝f(1)，f(2018)＝f(0)．又f(x)为奇函数，所以f(－2017)＝－f(2017)．而当x∈[0,2)时f(x)＝ex－1，所以f(－2017)＋f(2018)＝－f(2017)＋f(2018)＝－f(1)＋f(0)＝－(e1－1)＋(e0－1)＝1－e.7．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________．【答案】{x|x≥3或x≤1}【解析】因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(1)＝0，所以不等式f(x－2)≥0等价为f(|x－2|)≥f(1)，即|x－2|≥1，x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}．8．(2018年哈尔滨模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数，当x∈[－2,0]时，f(x)＝－2x，则f(5)＝_________.【答案】－eq\f(1,2)【解析】因为f(x)是定义在R上的周期为4的偶函数，当x∈[－2,0]时，f(x)＝－2x，所以f(5)＝f(1)＝f(－1)＝－2－1＝－eq\f(1,2).9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．【解析】(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1<a≤3.故实数a的取值范围是(1,3]．10．(2018年齐齐哈尔期末)已知函数f(x)＝logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x))).(1)求f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性；(2)求证：f(x)在其定义域上是奇函数；(3)解关于a的不等式：f(a－1)＋f(2a－1)≤0.【解析】(1)对于函数f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))，有eq\f(1－x,1＋x)＞0，解得－1＜x＜1，即函数f(x)的定义域为(－1,1)．令t＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(2,x＋1)－1，在(－1,1)上为减函数，而y＝logeq\f(1,2)t为减函数，则函数f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))为增函数．(2)证明：f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，且f(－x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))，有f(x)＋f(－x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＋logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(3)函数f(x)在(－1,1)为奇函数且单调递增，f(a－1)＋f(2a－1)≤0⇒f(a－1)≤－f(2a－1)⇒f(a－1)≤f(1－2a)⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<a－1<1，,－1<1－2a<1，,a－1≤1－2a，))解得0<a≤eq\f(2,3)，则不等式f(a－1)＋f(2a－1)≤0的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))).[B级能力提升]11．(2018年广西二模)已知函数f(x)是定义在[2－m,2m－6](m∈R)上的偶函数，且f(x)在[2－m,0]上单调递减，则f(x)的解析式不可能为()A．f(x)＝x2＋m B．f(x)＝－m|x|C．f(x)＝xm D．f(x)＝logm(|x|＋1)【答案】B【解析】函数f(x)是[2－m,2m－6](m∈R)上的偶函数，可得2－m＋2m－6＝0，解得m＝4，即有f(x)是[－2,2]上的偶函数，且f(x)在[－2,0]上单调递减．对于A，f(x)＝x2＋4，为偶函数，且在[－2,0]上递减；对于B，f(x)＝－4|x|，为偶函数，且在[－2,0]上递增，不符题意；对于C，f(x)＝x4，为偶函数，且在[－2,0]上递减；对于D，f(x)＝log4(|x|＋1)为偶函数，且在[－2,0]上递减．故选B．12．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称且f(0)＝2，则f(2017)＋f(2018)＝()A．0 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，所以f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0.则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，则函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2017)＋f(2018)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.13．(2018年日照二模)已知函数f(x)＝x＋sinx，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log26)，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】D【解析】函数f(x)＝x＋sinx的导数f′(x)＝1＋cosx≥0，所以函数f(x)在R上递增．又3>log26＞2，所以f(2)<f(log26)<f(3)，所以b＜c＜a.故选D．14．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．【答案】7【解析】因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数．又f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．15．(2018年上海模拟)已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2,4]时，f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值为________．【答案】eq\f(1,2)【解析】因f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2))).又当x∈[2,4]时，f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－\f(3,2)))))＝|log42|＝eq\f(1,2).16．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．【解析】(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积S＝4S△OAB＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))＝4.

第二章第4讲[A级基础达标]1．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)【答案】A【解析】f(x)的图象的对称轴为x＝1－a且开口向上，所以1－a≥3，即a≤－2.故选A．2．(2018年南充模拟)若函数f(x)是幂函数，且满足eq\f(f4,f2)＝3，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值为()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．3 D．eq\f(1,3)【答案】D【解析】设f(x)＝xα(α为常数)，因为满足eq\f(f4,f2)＝3，所以eq\f(4α,2α)＝3，解得α＝log23.所以f(x)＝xlog23，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2－log23＝eq\f(1,3).故选D．3．(2018年洛阳二模)已知点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,2)))在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是()A．奇函数 B．偶函数C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数【答案】A【解析】点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,2)))在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，所以a－1＝1，解得a＝2.又2b＝eq\f(1,2)，解得b＝－1，所以f(x)＝x－1.所以函数f(x)是定义域上的奇函数，且在区间(－∞，0)和(0，＋∞)内单调递减．故选A．4．(2018年包头校级期末)若幂函数y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,5)))，则f(21－log23)的值为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,2) D．－1【答案】C【解析】因为幂函数y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,5)))，设f(x)＝xα，所以5α＝eq\f(1,5)，解得α＝－1.所以f(x)＝x－1.所以f(21－log23)＝f(2－log2eq\s\up5(\f(2,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－1＝eq\f(3,2).故选C．5．若函数f(x)＝2x2＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围是()A．(－∞，－4] B．(－∞，－3]C．[3，＋∞) D．[4，＋∞)【答案】B【解析】因为二次函数图象开口向上，对称轴为x＝－eq\f(m,4)，所以－eq\f(m,4)≤－1，解得m≥4.又f(－1)＝1－m≤－3，所以f(－1)∈(－∞，－3]．6．(2018年新疆模拟)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，则a，b，c的大小关系为()A．a＜c＜b B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．b＜a＜c【答案】A【解析】点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，可得m－1＝1，即m＝2,2n＝8，可得n＝3，则f(x)＝x3，且f(x)在R上递增，由a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，0＜eq\f(\r(3),3)＜eq\f(\r(2),2)＜1，lnπ＞1，可得a＜c＜b，故选A．7．设二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a的值为________．【答案】－3或eq\f(3,8)【解析】此函数图象的对称轴为直线x＝－1.当a>0时，图象开口向上，所以x＝2时取得最大值，f(2)＝4a＋4a＋1＝4，解得a＝eq\f(3,8)；当a<0时，图象开口向下，所以x＝－1时取得最大值，f(－1)＝a－2a＋1＝4，解得a＝－3.8．(2018年玉溪模拟)已知f(x)＝(m2－2m－2)xm是幂函数，且f(x)在其定义域上单调递增，则m＝________.【答案】3【解析】因为f(x)＝(m2－2m－2)xm是幂函数，所以m2－2m－2＝1，解得m＝－1或3.当m＝－1时，f(x)＝x－1在定义域上不是单调递增；当m＝3时，f(x)＝x3在定义域R上单调递增．故m＝3.9．(2018年九江模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4，m)和(2,8)．(1)求m的值；(2)求函数g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))f(x)在区间[－1,2]上的值域．【解析】(1)设幂函数y＝f(x)＝xα，由其图象过点(4，m)和(2,8)，得2α＝8，解得α＝3.所以f(x)＝x3，m＝f(4)＝43＝64，即m的值是64.(2)由题意知，x∈[－1,2]时，f(x)＝x3∈[－1,8]，所以g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f