第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元质量测评（含解析）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

第二章单元质量测评eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是()A．若ab>0，a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若a>b，则a|c|>b|c|C．若a>b，c>d，则a－c>b－dD．若a>b，c<d，则eq\f(a,c)>eq\f(b,d)2．不等式－x2＋3x－2>0的解集是()A．{x|x<1} B．{x|x>2}C．{x|1<x<2} D．{x|x<1，或x>2}3．已知a>0，b>0，且满足ab＝a＋b，则a＋b的最小值是()A．2 B．4C．3 D．64．若关于x的不等式x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤－3，或x≥1}，则ab＝()A．12 B．－12C．6 D．－65．若正数m，n满足2m＋n＝1，则eq\f(1,2m)＋eq\f(1,2n)的最小值为()A．1＋eq\r(2) B.eq\f(3,2)＋eq\r(2)C．2＋eq\r(2) D.eq\f(3,2)6．将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为4m2、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合适(够用且浪费最少)的是(注：eq\r(2)≈1.414)()A．9m B．9.5mC．10m D．10.5m7．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．{a|－1<a<1}B．{a|0<a<2}C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<a<\f(3,2)))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<a<\f(1,2)))))8．若两个正实数x，y满足eq\f(2,x＋1)＋eq\f(1,y)＝2，且存在这样的x，y使不等式x＋2y<m2－3m＋5有解，则实数m的取值范围是()A．{m|1<m<2} B.{m|－2<m<－1}C．{m|m<1，或m>2} D.{m|m<－2，或m>－1}二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式正确的是()A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab) B．|a|＋b>0C．a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) D．a2>b210．已知正实数x，y满足x＋eq\f(2,y)＝4，下列说法正确的是()A.eq\f(x,y)的最大值是2 B．x－y的最大值是1C．xy的最小值是2 D.eq\f(2,x)＋y的最小值是211．以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.5]＝－2，则()A．∀x∈R，[x＋1]＝[x]＋1B．当|x|≥1时，[|x|]＋eq\f(3,[|x|])的最小值为2eq\r(3)C．不等式[x]2－[x]<6的解集为{x|－1≤x<3}D．方程x2＝4[x]＋3的解集为{eq\r(15)，eq\r(19)}三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．不等式eq\f(2x－7,x－1)≤1的解集是________．13．若不等式eq\f(5－4x＋x2,2－x)≥a对x<2恒成立，则a的最大值是________．14．已知正实数x，y满足4x2＋y2＝1＋2xy，则当x＝________时，eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＋eq\f(1,xy)取得最小值________．四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，求证：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)<eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).16．(本小题满分15分)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1，或x>b}．(1)求a，b的值；(2)当x>0，y>0，且满足eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1时，有2x＋y≥k2－1恒成立，求k的取值范围．17．(本小题满分15分)据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本(单位：万元)由两部分构成：①固定成本(与生产产品的数量无关)：20万元；②生产所需材料成本：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10x＋\f(x2,20)))万元，x(单位：万套)为每月生产产品的套数．(1)该企业每月产量x为何值时，平均每万套的成本最低？一万套的最低成本为多少？(2)若每月生产x万套产品，每万套售价为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30＋\f(x,10)))万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元？18．(本小题满分17分)已知y＝eq\f(x2＋3,x－a)(x≠a，a为非零常数)．(1)解不等式eq\f(x2＋3,x－a)<x；(2)若x>a时，y＝eq\f(x2＋3,x－a)有最小值6，求a的值．19．(本小题满分17分)已知y＝x2－2ax＋a.(1)设a>0，若关于x的不等式y<3a2＋a的解集为A，B＝{x|－1≤x≤2}，且x∈A的充分不必要条件是x∈B，求实数a的取值范围；(2)方程y＝0有两个实数根x1，x2，①若x1，x2均大于0，求实数a的取值范围；②若xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝6x1x2－3，求实数a的值．第二章单元质量测评eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是()A．若ab>0，a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若a>b，则a|c|>b|c|C．若a>b，c>d，则a－c>b－dD．若a>b，c<d，则eq\f(a,c)>eq\f(b,d)答案：A解析：∵ab>0，a>b，∴a·eq\f(1,ab)>b·eq\f(1,ab)，∴eq\f(1,b)>eq\f(1,a)，故A正确；取c＝0，可排除B，D；取a＝2，b＝1，c＝0，d＝－2，满足a>b，c>d，但a－c<b－d，故排除C.故选A.2．不等式－x2＋3x－2>0的解集是()A．{x|x<1} B．{x|x>2}C．{x|1<x<2} D．{x|x<1，或x>2}答案：C解析：不等式－x2＋3x－2>0，即x2－3x＋2<0，即(x－1)(x－2)<0，解得1<x<2.故选C.3．已知a>0，b>0，且满足ab＝a＋b，则a＋b的最小值是()A．2 B．4C．3 D．6答案：B解析：a>0，b>0，故ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，即a＋b≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，可得a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，则a＋b的最小值为4.故选B.4．若关于x的不等式x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤－3，或x≥1}，则ab＝()A．12 B．－12C．6 D．－6答案：D解析：∵不等式x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤－3，或x≥1}，∴方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为x1＝－3，x2＝1.由根与系数的关系可得a＝－(x1＋x2)＝2，b＝x1x2＝－3，∴ab＝－6.故选D.5．若正数m，n满足2m＋n＝1，则eq\f(1,2m)＋eq\f(1,2n)的最小值为()A．1＋eq\r(2) B.eq\f(3,2)＋eq\r(2)C．2＋eq\r(2) D.eq\f(3,2)答案：B解析：∵正数m，n满足2m＋n＝1，∴eq\f(1,2m)＋eq\f(1,2n)＝(2m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2m)＋\f(1,2n)))＝eq\f(3,2)＋eq\f(n,2m)＋eq\f(m,n)≥eq\f(3,2)＋2eq\r(\f(n,2m)·\f(m,n))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)，当且仅当n＝eq\r(2)m＝eq\r(2)－1时，等号成立，∴eq\f(1,2m)＋eq\f(1,2n)的最小值为eq\f(3,2)＋eq\r(2).6．将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为4m2、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合适(够用且浪费最少)的是(注：eq\r(2)≈1.414)()A．9m B．9.5mC．10m D．10.5m答案：C解析：由题意，设直角三角形的两条直角边长分别为x，y(x>0，y>0)，则S＝eq\f(1,2)xy＝4，则xy＝8，此时三角形框架的周长L＝x＋y＋eq\r(x2＋y2)≥2eq\r(xy)＋eq\r(2xy)＝4eq\r(2)＋4，当且仅当x＝y＝2eq\r(2)时，等号成立，由于eq\r(2)≈1.414，所以4eq\r(2)＋4≈4×1.414＋4＝9.656.故选C.7．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．{a|－1<a<1}B．{a|0<a<2}C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<a<\f(3,2)))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<a<\f(1,2)))))答案：C解析：因为(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，则(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，解得－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).故选C.8．若两个正实数x，y满足eq\f(2,x＋1)＋eq\f(1,y)＝2，且存在这样的x，y使不等式x＋2y<m2－3m＋5有解，则实数m的取值范围是()A．{m|1<m<2} B.{m|－2<m<－1}C．{m|m<1，或m>2} D.{m|m<－2，或m>－1}答案：C解析：由eq\f(2,x＋1)＋eq\f(1,y)＝2，得2y＋x＋1＝2(x＋1)y，所以x＋1＝2xy，所以2y＝1＋eq\f(1,x)，又x，y均为正实数，所以x＋2y＝x＋eq\f(1,x)＋1≥2eq\r(x·\f(1,x))＋1＝3，当且仅当x＝1，y＝1时，等号成立，所以(x＋2y)min＝3，因为存在x，y使不等式x＋2y<m2－3m＋5有解，所以m2－3m＋5>3，即m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2，所以实数m的取值范围是{m|m<1，或m>2}．故选C.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式正确的是()A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab) B．|a|＋b>0C．a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) D．a2>b2答案：AC解析：由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，得b<a<0.对于A，因为a＋b<0，ab>0，所以eq\f(1,a＋b)<0，eq\f(1,ab)>0，所以eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)成立，所以A正确；对于B，因为b<a<0，所以－b>－a>0，则－b>|a|，即|a|＋b<0，所以B错误；对于C，因为b<a<0，且eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则－eq\f(1,a)>－eq\f(1,b)>0，所以a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)，所以C正确；对于D，因为b<a<0，所以b2>a2，所以D错误．故选AC.10．已知正实数x，y满足x＋eq\f(2,y)＝4，下列说法正确的是()A.eq\f(x,y)的最大值是2 B．x－y的最大值是1C．xy的最小值是2 D.eq\f(2,x)＋y的最小值是2答案：AD解析：∵x>0，y>0，x＋eq\f(2,y)＝4，∴4－eq\f(2,y)>0，解得y>eq\f(1,2)，∴0<x<4.对于A，x＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(2x,y))，即4≥2eq\r(\f(2x,y))，解得eq\f(x,y)≤2(当且仅当x＝2，y＝1时取得最大值2)，A正确；对于B，x－y＝4－eq\f(2,y)－y＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,y)＋y))≤4－2eq\r(2)(当且仅当y＝eq\r(2)，x＝4－eq\r(2)时取得最大值4－2eq\r(2))，B错误；对于C，xy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(2,y)))y＝4y－2>4×eq\f(1,2)－2＝0，C错误；对于D，eq\f(2,x)＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋y))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,y)))×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2＋xy＋\f(4,xy)))≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取得最小值2)，D正确．故选AD.11．以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.5]＝－2，则()A．∀x∈R，[x＋1]＝[x]＋1B．当|x|≥1时，[|x|]＋eq\f(3,[|x|])的最小值为2eq\r(3)C．不等式[x]2－[x]<6的解集为{x|－1≤x<3}D．方程x2＝4[x]＋3的解集为{eq\r(15)，eq\r(19)}答案：ACD解析：对于A，设x的整数部分为a，小数部分为b，则[x]＝a，[x＋1]＝a＋1，得[x＋1]＝[x]＋1，故A正确．对于B，当|x|≥1时，[|x|]≥1，[|x|]＋eq\f(3,[|x|])≥2eq\r([|x|]·\f(3,[|x|]))＝2eq\r(3)，当且仅当[|x|]＝eq\f(3,[|x|])，即[|x|]＝eq\r(3)时，等号成立，这与[|x|]∈N＋矛盾，故B错误．对于C，由[x]2－[x]<6，解得－2<[x]<3，则－1≤x<3，故C正确．对于D，由x2＝4[x]＋3知，x2为整数且4[x]＋3≥0，解得[x]≥－eq\f(3,4)，可知[x]≥0，可得x≥0，因为[x]2≤x2<([x]＋1)2，即[x]2≤4[x]＋3<([x]＋1)2，由[x]2≤4[x]＋3，解得2－eq\r(7)≤[x]≤2＋eq\r(7)≈4.6，可得0≤[x]≤4；由4[x]＋3<([x]＋1)2，解得[x]>1＋eq\r(3)或[x]<1－eq\r(3)(舍去)，可知3≤[x]≤4，即[x]＝3或[x]＝4.综上所述，[x]＝3或[x]＝4.当[x]＝3时，x2＝4×3＋3＝15，可得x＝eq\r(15)；当[x]＝4时，x2＝4×4＋3＝19，可得x＝eq\r(19).所以方程x2＝4[x]＋3的解集为{eq\r(15)，eq\r(19)}，故D正确．故选ACD.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12．不等式eq\f(2x－7,x－1)≤1的解集是________．答案：{x|1<x≤6}解析：由eq\f(2x－7,x－1)≤1，得eq\f(x－6,x－1)≤0，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）（x－6）≤0，,x－1≠0，))解得1<x≤6.13．若不等式eq\f(5－4x＋x2,2－x)≥a对x<2恒成立，则a的最大值是________．答案：2解析：∵x<2，∴eq\f(5－4x＋x2,2－x)＝eq\f(（2－x）2＋1,2－x)＝(2－x)＋eq\f(1,2－x)≥2(当且仅当x＝1时，等号成立)，∵eq\f(5－4x＋x2,2－x)≥a对x<2恒成立，∴a≤2，即a的最大值为2.14．已知正实数x，y满足4x2＋y2＝1＋2xy，则当x＝________时，eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＋eq\f(1,xy)取得最小值________．答案：eq\f(1,2)6解析：依题意，1＋2xy＝4x2＋y2≥4xy，即xy≤eq\f(1,2)，当且仅当x＝eq\f(y,2)＝eq\f(1,2)时，等号成立，所以eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＋eq\f(1,xy)≥2eq\r(\f(1,x)·\f(2,y))＋eq\f(1,xy)＝eq\f(1,xy)＋2eq\r(\f(2,xy))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,xy))＋\r(2)))eq\s\up12(2)－2≥(eq\r(2)＋eq\r(2))2－2＝6，当且仅当x＝eq\f(y,2)＝eq\f(1,2)时，等号成立．四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，求证：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)<eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).证明：证法一：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，∴eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＝eq\r(\f(1,bc))＋eq\r(\f(1,ca))＋eq\r(\f(1,ab))<eq\f(\f(1,b)＋\f(1,c),2)＋eq\f(\f(1,c)＋\f(1,a),2)＋eq\f(\f(1,a)＋\f(1,b),2)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).故原不等式成立．证法二：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝bc＋ca＋ab＝eq\f(bc＋ca,2)＋eq\f(ca＋ab,2)＋eq\f(ab＋bc,2)>eq\r(abc2)＋eq\r(a2bc)＋eq\r(ab2c)＝eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).故原不等式成立．16．(本小题满分15分)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1，或x>b}．(1)求a，b的值；(2)当x>0，y>0，且满足eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1时，有2x＋y≥k2－1恒成立，求k的取值范围．解：(1)解法一：因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1，或x>b}，所以1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且a>0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＝\f(3,a)，,1×b＝\f(2,a)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))解法二：因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1，或x>b}，所以1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且a>0，由1是ax2－3x＋2＝0的根，有a－3＋2＝0⇒a＝1，将a＝1代入ax2－3x＋2>0，得x2－3x＋2>0⇒x<1或x>2，所以b＝2.(2)由(1)知a＝1，b＝2，于是有eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝1，又x>0，y>0，故2x＋y＝(2x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝4＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥8，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))时，等号成立，依题意得(2x＋y)min≥k2－1，即8≥k2－1，得k2≤9⇒－3≤k≤3，所以k的取值范围为{k|－3≤k≤3}．17．(本小题满分15分)据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本(单位：万元)由两部分构成：①固定成本(与生产产品的数量无关)：20万元；②生产所需材料成本：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10x＋\f(x2,20)))万元，x(单位：万套)为每月生产产品的套数．(1)该企业每月产量x为何值时，平均每万套的成本最低？一万套的最低成本为多少？(2)若每月生产x万套产品，每万套售价为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30＋\f(x,10)))万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元？解：(1)设平均每万套的成本为y万元，由题意，得y＝eq\f(20＋10x＋\f(x2,20),x)＝eq\f(20,x)＋eq\f(x,20)＋10≥2eq\r(\f(20,x)·\f(x,20))＋10＝12，当且仅当eq\f(20,x)＝eq\f(x,20)，即x＝20时，等号成立，所以该企业每月的产量为20万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元．(2)设月利润为P万元，则P＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30＋\f(x,10)))－10x－eq\f(x2,20)－20＝eq\f(x2,20)＋20x－20，由题知eq\f(x2,20)＋20x－20≥625，整理，得x2＋400x－430×30≥0，解得x≥30，所以该企业每月生产不少于30万套产品，才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元．18．(本小题满分17分)已知y＝eq\f(x2＋3,x－a)(x≠a，a为非零常数)．(1)解不等式eq\f(x2＋3,x－a)<x；(2)若x>a时，y＝eq\f(x2＋3,x－a)有最小值6，求a的值．解：(1)由eq\f(x2＋3,x－a)<x，整理，得(ax＋3)(x－a)<0.当a>0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,a)))(x－a)<0，所求不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,a)<x<a))))；当a<0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,a)))(x－a)>0，所求不等式的解