中考数学难题突破之代数式

2027年中考数学复习难题速递之代数式（2026年7月）一．选择题（共10小题）1．有一列数a1，a2，…，an，其中这列数中的每一个数，都只能从1，0，﹣1这三个数中任选一个，设F（n）＝a1+a2+…+an，则下列说法：①F（3）的值可能是0；②F（4）的不同的值共有9个；③若F（20）＝6，且(a1+1)2+(a2+1)2+⋯+(a20正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．02．在《设计自己的运算程序》课上，老师设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外）．重新排列各位数字，使其组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用最大的数减去最小的数，得到它们的差．重复这个过程．小星写了一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的两个数的差为（）A．6264 B．4174 C．1467 D．61743．杨辉三角是我国古代数学的重要成就，其结构如下：我们把杨辉三角的行从上到下依次记为第1行、第2行、第3行…，把每行的数从左到右依次记为第1个数、第2个数…．下列说法：①第7行中间的数是20；②第6行所有数的和比第5行多16；③第n行所有数的和为2n﹣1；④第n行第k个数与第n行第（n﹣k+1）个数相等．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第2026个图形中“H”的个数是（）个．A．4050 B．4054 C．4056 D．40605．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和．则这五张卡片中上面数字最大的一张卡片是（）卡片编号A，BB，CC，DD，EE，A两数的和7150576963A．卡片A B．卡片B C．卡片C D．卡片D6．按下面的程序计算：若输入m＝25，输出结果是115；若输入m＝30，输出结果是65．若开始输入m的值为正整数，最后输出的结果为75，则开始输入m的值可能有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种7．如图1，图2都是正方形，图中小正方形边长为x，小长方形的边长为a，b，根据图中数据求得x的值为（）A．72 B．74 C．75 D．768．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有3个圆点，第②个图中有5个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有9个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（）A．15 B．17 C．19 D．219．若关于x的多项式A=anxn+an-1xn-1+⋯+a2x2+a1①已知A＝（x﹣2）n，当n＝8时，则a8②当an＞an﹣1＞…＞a2＞a1＞a0≥0时，若an＝4，则符合条件的所有整式共有15个；③当an＞an﹣1＞…＞a2＞a1＞a0≥0时，若an+an﹣1+…+a1+a0＝8，则符合条件的所有整式共有11个．其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．010．任取一个三位数作为起始数，把百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字；将这个三位数的十位数字和个位数字均进行相同的操作，即完成第一次操作，得到下一个三位数．然后重复这个过程．以“641”作为起始数，百位：6×2＝12＞9，1+2＝3；十位：4×2＝8；个位：1×2＝2，第一次操作后得到的数是382，…，第2026次操作后得到的数是（）A．674 B．641 C．617 D．358二．填空题（共5小题）11．在学习综合与实践《设计自己的运算程序》时，某同学设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，重复这个过程…现小黎写下一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的差为．12．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为2，则第2026次输出的结果是．13．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作a1，a2，a3，…，an，由图可知a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，则1a1+1a14．在正m边形里面画一个小的正n边形，用一些不相交的线段联结它们的顶点，得到的三角形总数记为f（m，n）．例如，根据图，有f（5，4）＝11，则f（2026，4）＝．15．如图1，△AB1C1是边长为2的等边三角形；如图2，取AB1的中点C2，画等边△AB2C2，连接B1B2；如图3，取AB2的中点C3，画等边△AB3C3，连接B2B3；如图4，取AB3的中点C4，画等边△AB4C4，连接B3B4，…按照此规律一直画下去，则BnBn+1的长为（用含n的式子表示）．三．解答题（共5小题）16．解答以下问题（1）填在下列各图形中的3个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是．（2）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：①第5个图形中有颗黑色棋子；②若m表示黑色棋子的个数，n表示第n个图形，请写出m关于n的关系式；③第几个图形中有6081颗黑色棋子？请说明理由．17．综合与实践：探究图式之间的内在联系观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数．任务一：下列是两位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程．（1）明明将这些点分为两类，一类是实心点构造的正方形点阵，一类是空心点构造的正方形点阵，这样图1点的总数可表示为22+12，图2点的总数可表示为32+22，图3点的总数可表示为42+32，图4点的总数可表示为52+42，…，图n点的总数可表示为；（2）欣欣用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为1+3+1，图2的点可以表示为1+3+5+3+1，图3的点可以表示为1+3+5+7+5+3+1，图4的点可以表示为1+3+5+7+9+7+5+3+1，欣欣思考这种连接方式下，图5中最长虚线上共有个点，她结合明明的探究，猜想两种方法利用图n建立的等式：；任务二：（3）由两位同学的探究结果，我们可以获得从1开始，连续n个奇数的和，即1+3+5+…+（2n﹣1）＝；任务三：（4）应用任务二探究得到的结论，计算：47+49+51+…+153．18．背景某公司准备组织员工到“滇超联赛”的比赛现场为支持的球队加油助威，需购买一些球衣和球帽．信息1购买1件球衣和1顶球帽共需80元；购买2件球衣和3顶球帽共需190元．信息2该公司需购买球衣和球帽共50件（顶），用于购买球衣和球帽的总金额不超过1950元，且购买球衣的数量不少于20件．问题解决任务1求购买一件球衣和一顶球帽各需多少元？任务2设该公司购买球衣a件，则购买球帽顶（用含a的式子表示）；请你算一算，该公司有哪几种购买方案？19．将一些正整数填写在如表所示的一个表格，从上往下分别记为第1行、第2行、…，从左往右分别记为第1列、第2列、…．用如图所示的4×2方框同时框住表格中的8个数，其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D．若数A在第x行，第y列．12345…n246810…2n3691215…3n48121620…4n…m2m3m4m5m…mn（1）设M＝A+C，请用含x，y的代数式表示M．（2）若A﹣B+3D＝147，求出C表示的数．20．【资料阅读】史料：如图①，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”．据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”．欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一．规定：若a≠0，则a0＝1．【问题探究】（1）将“杨辉三角”简化为图②，按照规律：①第8行添加的数分别为；（相邻两数之间要用“，”分隔开）②第100行的数之和用幂可以表示为．（2）如图③，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为．【拓展延伸】（3）结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）：利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形（1），长方形（2），长方形（3），长方形（4）．按照这样的规律继续建构长方形，则长方形（11）的周长为．

2027年中考数学复习难题速递之代数式（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ADDBDCBBAC一．选择题（共10小题）1．有一列数a1，a2，…，an，其中这列数中的每一个数，都只能从1，0，﹣1这三个数中任选一个，设F（n）＝a1+a2+…+an，则下列说法：①F（3）的值可能是0；②F（4）的不同的值共有9个；③若F（20）＝6，且(a1+1)2+(a2+1)2+⋯+(a20正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】规律型：数字的变化类．【答案】A【分析】根据题意，对所给说法依次进行判断即可．【解答】解：由题知，当a1＝a2＝a3＝0时，F（3）＝a1+a2+a3＝0，故①正确；由题知，F（4）的最大值为1+1+1+1＝4，最小值为﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4，当a1，a2，a3，a4中有3个1，1个0时，F（4）＝3，有2个1，2个0时，F（4）＝2，…，依次类推，F（4）所有不同的取值为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，共9个，故②正确；设a1，a2，…，a20中1的个数为x，0的个数为y，﹣1的个数为z，则x+y+z=20x-z=6解得x=10y=6所以a1，a2，…，a20中0的个数为6，故③正确．故选：A．【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意对所给说法依次进行判断是解题的关键．2．在《设计自己的运算程序》课上，老师设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外）．重新排列各位数字，使其组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用最大的数减去最小的数，得到它们的差．重复这个过程．小星写了一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的两个数的差为（）A．6264 B．4174 C．1467 D．6174【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；代数式求值．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】D【分析】根据题意，依次求出每次运算得到的两个数的差，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，因为7521﹣1257＝6264，所以第1次得到的两个数的差为6264，依此类推，第2次得到的两个数的差为4176，第3次得到的两个数的差为6174，第4次得到的两个数的差为6174，…，由此可见，从第3次得到的两个数的差开始，后面所得两数之差都是6174，所以第100次得到的两个数的差为6174．故选：D．【点评】本题主要考查了数字变化的规律、有理数的混合运算及代数式求值，能根据题意得出从第3次得到的两个数的差开始，后面所得两数之差都是6174是解题的关键．3．杨辉三角是我国古代数学的重要成就，其结构如下：我们把杨辉三角的行从上到下依次记为第1行、第2行、第3行…，把每行的数从左到右依次记为第1个数、第2个数…．下列说法：①第7行中间的数是20；②第6行所有数的和比第5行多16；③第n行所有数的和为2n﹣1；④第n行第k个数与第n行第（n﹣k+1）个数相等．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】规律型：图形的变化类；数学常识．【专题】规律型；运算能力．【答案】D【分析】观察图中数字的变化规律，得出第n行的数和每行所有数的和，分析其变化规律，从而得出答案．【解答】解：观察杨辉三角的图形，逐行构建至第8行如下：第6行：1，5，10，10，5，1，第7行：1，6，15，20，15，6，1，第8行：1，7，21，35，35，21，7，1，∴第7行中间的数是20，故①正确，符合题意；∴第6行所有数的和为：1+5+10+10+5+1＝32，第5行所有数的和为：1+4+6+4+1＝16，32﹣16＝16，故②正确，符合题意；∵第1行所有数的和为：1＝20，第2行所有数的和为：1+1＝2＝21，第3行所有数的和为：1+2+1＝4＝22，第4行所有数的和为：1+3+3+1＝8＝23，第5行所有数的和为：16＝24，第6行所有数的和为：32＝25，∴由此可归纳为：第n行所有数的和为2n﹣1，故③正确，符合题意；观察杨辉三角的形状，是一个等腰三角形，每一行的数字排列具有对称性，以第5行为例：1，4，6，4，1，共5个数字，第1个数与第5个数相等，第2个数与第4个数相等，∴第n行的数字关于中间对称，即第k个数与第n+12即第n行第k个数与第n行第（n﹣k+1）个数相等，故④正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了数字类规律探索问题，发现规律是关键．4．将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第2026个图形中“H”的个数是（）个．A．4050 B．4054 C．4056 D．4060【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】B【分析】通过观察前几个图形，总结出“H”的个数与图形序号的关系式．【解答】解：第1个图形中“H”的个数为4；第2个图形中“H”的个数为6；第3个图形中“H”的个数为8；……，由此可推出，第n个图形中“H”的个数为2n+2；当n＝2026时，“H”的个数为2×2026+2＝4054．故选：B．【点评】本题考查了图形的变化规律，发现规律是关键．5．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和．则这五张卡片中上面数字最大的一张卡片是（）卡片编号A，BB，CC，DD，EE，A两数的和7150576963A．卡片A B．卡片B C．卡片C D．卡片D【考点】规律型：数字的变化类；有理数大小比较．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】D【分析】根据所给表格进行计算即可．【解答】解：由题知，令卡片A，B，C，D，E上的数字分别为a，b，c，d，e，由所给表格可知，a＞c，d＞b，e＞c，d＞a，b＞e，所以d＞b＞e，d＞a＞c，所以五张卡片中上面数字最大的一张卡片是卡片D．故选：D．【点评】本题主要考查了数字变化的规律及有理数大小比较，准确的计算是解题的关键．6．按下面的程序计算：若输入m＝25，输出结果是115；若输入m＝30，输出结果是65．若开始输入m的值为正整数，最后输出的结果为75，则开始输入m的值可能有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【考点】代数式求值；有理数的混合运算．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】根据所给程序框图进行计算即可．【解答】解：由题知，由2m+5＝75得，m＝35，所以开始输入m的值可能是35；由2m+5＝35得，m＝15，所以开始输入m的值可能是15；由2m+5＝15得，m＝5，所以开始输入m的值可能是5；由2m+5＝5得，m＝0，因为m为正整数，所以m＝0舍去，所以开始输入m的值可能有3种．故选：C．【点评】本题主要考查了代数式求值及有理数的混合运算，准确的计算是解题的关键．7．如图1，图2都是正方形，图中小正方形边长为x，小长方形的边长为a，b，根据图中数据求得x的值为（）A．72 B．74 C．75 D．76【考点】列代数式．【专题】整式；应用意识．【答案】B【分析】先由图1、图2正方形的边长得到x、a、b间关系，再变形代入得关于x的方程，求解即可．【解答】解：由（1）知：90+b＝x+a，∴90﹣x＝a﹣b①．由（2）知：58+a＝x+b，∴a﹣b＝x﹣58②．把②代入①，得90﹣x＝x﹣58，∴x＝74．故选：B．【点评】本题考查了列代数式，掌握正方形的性质及一元一次方程的解法是解决本题的关键．8．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有3个圆点，第②个图中有5个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有9个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（）A．15 B．17 C．19 D．21【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】B【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解集问题．【解答】解：由所给图形可知，第①个图形中圆点的个数为：3＝1×2+1，第②个图形中圆点的个数为：5＝2×2+1，第③个图形中圆点的个数为：7＝3×2+1，…，所以第n个图形中圆点的个数为2n+1．当n＝8时，第⑧个图形中圆点的个数为2×8+1＝17．故选：B．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形得出圆点的个数依次增加2是解题的关键．9．若关于x的多项式A=anxn+an-1xn-1+⋯+a2x2+a1①已知A＝（x﹣2）n，当n＝8时，则a8②当an＞an﹣1＞…＞a2＞a1＞a0≥0时，若an＝4，则符合条件的所有整式共有15个；③当an＞an﹣1＞…＞a2＞a1＞a0≥0时，若an+an﹣1+…+a1+a0＝8，则符合条件的所有整式共有11个．其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】规律型：数字的变化类．【专题】实数；运算能力．【答案】A【分析】分别对三个说法用赋值法求系数和，分类计数计算符合条件的整式个数，逐一判断即可．【解答】解：若关于x的多项式A=anxn+an-1xn-1+⋯+a2x2+a1①令P（x）＝（x﹣2）8，∵P（1）＝（1﹣2）8＝1，P（﹣1）＝（﹣1﹣2）8＝38，∴偶次项系数和a8+a②当n＝1时，A＝4x+3或A＝4x+2或A＝4x+1或A＝4x，共有4个，当n＝2时，A＝4x2+3x+2或A＝4x2+3x+1或A＝4x2+3x或A＝4x2+2x+1或A＝4x2+2x或A＝4x2+x，共6个，当n＝3时，A＝4x3+3x2+2x+1或A＝4x3+2x2+x或A＝4x3+3x2+x或A＝4x3+3x2+2x，共4个，当n＝4时，A＝4x4+3x3+2x2+x，共1个，一共有4+6+4+1＝15个，故②正确；③分类计数得：当n＝1时，A＝8x或A＝7x+1或A＝6x+2或A＝5x+3，共4个符合条件的整式；当n＝2时，A＝7x2+x或A＝6x2+2x或A＝5x2+3x或A＝5x2+2x+1或A＝4x2+3x+1，共5个符合条件的整式；当n＝3时，A＝5x3+2x2+x或A＝4x3+3x2+x，共2个符合条件的整式；当n≥4时，最小系数和为4+3+2+1+0＝10＞8，无符合条件的整式；∴总个数为4+5+2＝11，故③正确；故选：A．【点评】本题考查数字的变化类，正确进行计算是解题关键．10．任取一个三位数作为起始数，把百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字；将这个三位数的十位数字和个位数字均进行相同的操作，即完成第一次操作，得到下一个三位数．然后重复这个过程．以“641”作为起始数，百位：6×2＝12＞9，1+2＝3；十位：4×2＝8；个位：1×2＝2，第一次操作后得到的数是382，…，第2026次操作后得到的数是（）A．674 B．641 C．617 D．358【考点】规律型：数字的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】C【分析】根据题意，一次求出每次操作得到的数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，第一次操作后得到的数是382，则3×2＝6，8×2＝16＞9，1+6＝7，2×2＝4，所以第二次操作后得到的数是674，依此类推，第三次操作后得到的数是358，第四次操作后得到的数是617，第五次操作后得到的数是325，第六次操作后得到的数是641，第七次操作后得到的数是382，…，由此可见，从第一次操作后所得数开始，这列数按382，674，358，617，325，641循环出现．因为2026÷6＝337余4，所以第2026次操作后得到的数是617．故选：C．【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算得出从第一次操作后所得数开始，这列数按382，674，358，617，325，641循环出现是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．在学习综合与实践《设计自己的运算程序》时，某同学设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，重复这个过程…现小黎写下一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的差为6174．【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；代数式求值．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】6174．【分析】根据题意，依次求出每次得到的差，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，因为四位数为1752，则7521﹣1257＝6264，所以第1次得到的差为6264，依次类推，第2次得到的差为4176，第3次得到的差为6174，第4次得到的差为6174，…，所以从第3次得到的差开始都为6174，所以第100次得到的差为6174．故答案为：6174．【点评】本题主要考查了数字变化的规律、有理数的混合运算及代数式求值，能通过计算得出从第3次得到的差开始都为6174是解题的关键．12．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为2，则第2026次输出的结果是﹣1．【考点】代数式求值；有理数的混合运算．【专题】整式；运算能力．【答案】﹣1．【分析】根据运算程序依次计算前几次的输出结果，观察数据特征，找出循环规律，利用周期性求解即可．【解答】解：当输入的值x＝2时，∵2是偶数，∴代入运算程序第1次输出值为：12当输入的值x＝1时，∵1是奇数，∴代入运算程第2次输出为：1﹣5＝﹣4．当输入的值x＝﹣4时，∵﹣4是偶数，∴代入运算程第3次输出值为：12当输入的值x＝﹣2时，∵﹣2是偶数，∴代入运算程第4次输出值为：12当输入的值x＝﹣1时，∵﹣1是奇数，∴代入运算程第5次输出值为：﹣1﹣5＝﹣6．输入x＝﹣6，∵﹣6是偶数，∴代入运算程第6次输出值为：12当输入的值x＝﹣3时，∵﹣3是奇数，∴代入运算程第7次输出值为：﹣3﹣5＝﹣8．当输入的值x＝﹣8时，∵﹣8是偶数，∴代入运算程第8次输出值为：12依次类推，从第2次输出开始，结果分别以﹣4、﹣2、﹣1、﹣6、﹣3、﹣8循环．∵（2026﹣1）÷6＝337……3，∴第2026次输出的结果是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，掌握相应的运算法则是关键．13．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作a1，a2，a3，…，an，由图可知a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，则1a1+1a【考点】规律型：图形的变化类；数学常识．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】2nn+1【分析】根据题意，依次求出a1，a2，a3，a4，…，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，因为a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，a4＝10＝1+2+3+4，…，所以an所以1=1=2=2[1＝2（1-1＝2（1-1=2n故答案为：2nn+1【点评】本题主要考查了图形变化的规律及数学常识，能根据题意得出an14．在正m边形里面画一个小的正n边形，用一些不相交的线段联结它们的顶点，得到的三角形总数记为f（m，n）．例如，根据图，有f（5，4）＝11，则f（2026，4）＝2032．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；推理能力．【答案】2032．【分析】结合图形分析每个三角形的特征，共可分为三类，与正m边形有关，与正n边形相关且在外部和在正n边形内部，求和即可．【解答】解：结合图可知，以正二千零二十六边形的边为边的三角形共有2026个，以正方形的边为边且向外的三角形一共有4个，正方形内部的三角形共有2个，∴f（2026，4）＝2026+4+2＝2032，故答案为：2032．【点评】本题考查了图形的变化规律，掌握规律是解题的关键．15．如图1，△AB1C1是边长为2的等边三角形；如图2，取AB1的中点C2，画等边△AB2C2，连接B1B2；如图3，取AB2的中点C3，画等边△AB3C3，连接B2B3；如图4，取AB3的中点C4，画等边△AB4C4，连接B3B4，…按照此规律一直画下去，则BnBn+1的长为32n-1（用含【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．【专题】规律型；推理能力．【答案】32【分析】过点C2作C2D⊥B1B2于点D，根据含30度角的直角三角形得出B1D的长，进而得出B1B2的长，同理可得出B2B3和B3B4的长，进而找到规律．【解答】解：如图（2），过点C2作C2D⊥B1B2于点D，∵△AB1C1是边长为2的等边三角形，C2是AB1的中点，∴B1C2＝B2C2＝1，∵△AB2C2是等边三角形，∴∠B1C2B2＝120°，B1C2＝B2C2，∴∠DB1C1＝∠DB2C2＝30°，∴C2∴B1∴B1同理可得，B2B3=3故答案为：32【点评】本题考查的是等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，求出B1B2的长，找出规律是解答此题的关键．三．解答题（共5小题）16．解答以下问题（1）填在下列各图形中的3个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是900．（2）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：①第5个图形中有18颗黑色棋子；②若m表示黑色棋子的个数，n表示第n个图形，请写出m关于n的关系式；③第几个图形中有6081颗黑色棋子？请说明理由．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】（1）900；（2）①18；②m＝3n+3；③第2026个图形中有6081颗黑色棋子，理由如下：由3n+3＝6081得，n＝2026，所以第2026个图形中有6081颗黑色棋子．【分析】（1）观察所给各图中每个位置数的变化，发现规律即可解决问题；（2）根据所给图形，得出黑色棋子个数变化的规律即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，因为0＝（1﹣1）2，4＝（4﹣2）2，36＝（9﹣3）2，144＝（16﹣4）2，400＝（25﹣5）2，…，所以a＝（36﹣6）2＝302＝900．故答案为：900；（2）由题知，第1个图形中黑色棋子的颗数为：6＝1×3+3，第2个图形中黑色棋子的颗数为：9＝2×3+3，第3个图形中黑色棋子的颗数为：12＝3×3+3，…，所以第n个图形中黑色棋子的颗数为3n+3．①当n＝5时，第5个图形中黑色棋子的颗数为3×5+3＝18．故答案为：18；②由①知，m＝3n+3；③第2026个图形中有6081颗黑色棋子，理由如下：由3n+3＝6081得，n＝2026，所以第2026个图形中有6081颗黑色棋子．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形得出圆圈中数的变化规律及棋子颗数变化的规律是解题的关键．17．综合与实践：探究图式之间的内在联系观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数．任务一：下列是两位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程．（1）明明将这些点分为两类，一类是实心点构造的正方形点阵，一类是空心点构造的正方形点阵，这样图1点的总数可表示为22+12，图2点的总数可表示为32+22，图3点的总数可表示为42+32，图4点的总数可表示为52+42，…，图n点的总数可表示为（n+1）2+n2；（2）欣欣用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为1+3+1，图2的点可以表示为1+3+5+3+1，图3的点可以表示为1+3+5+7+5+3+1，图4的点可以表示为1+3+5+7+9+7+5+3+1，欣欣思考这种连接方式下，图5中最长虚线上共有11个点，她结合明明的探究，猜想两种方法利用图n建立的等式：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+3+1＝（n+1）2+n2；任务二：（3）由两位同学的探究结果，我们可以获得从1开始，连续n个奇数的和，即1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2；任务三：（4）应用任务二探究得到的结论，计算：47+49+51+…+153．【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．【专题】规律型；整式；运算能力；推理能力．【答案】（1）（n+1）2+n2；（2）11；1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+3+1＝（n+1）2+n2；（3）n2；（4）5400．【分析】（1）根据图形得出规律即可；（2）根据图形得出规律即可；（3）由（2）可得1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+3+1＝（n+1）2+n2，再由1+3+5+⋯+(2n-1)=(n+1)（4）47+49+51+…+153＝1+3+5+…+153﹣（1+3+5+…+45），再结合（3）中的规律计算即可得出结果．【解答】解：（1）∵图1点的总数可表示为22+12，图2点的总数可表示为32+22，图3点的总数可表示为42+32，图4点的总数可表示为52+42，…，∴图n点的总数可表示为（n+1）2+n2；故答案为：（n+1）2+n2；（2）∵图1中最长虚线上共有2×1+1＝3个点，图2中最长虚线上共有2×2+1＝5个点，图3中最长虚线上共有2×3+1＝7个点，图4中最长虚线上共有2×4+1＝9个点，…，∴图5中最长虚线上共有2×5+1＝11个点，∵图1的点可以表示为1+3+1，图2的点可以表示为1+3+5+3+1，图3的点可以表示为1+3+5+7+5+3+1，图4的点可以表示为1+3+5+7+9+7+5+3+1，…，∴利用图n建立的等式为1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+3+1＝（n+1）2+n2，故答案为：11；1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+3+1＝（n+1）2+n2；（3）由（2）可得1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+3+1＝（n+1）2+n2，∴1+3+5+…+（2n﹣1）=(n+1)=n＝n2；故答案为：n2；（4）47+49+51+…+153＝1+3+5+…+153﹣（1+3+5+…+45），∵153＝2×77﹣1，45＝2×23﹣1，∴原式＝772﹣232＝（77+23）（77﹣23）＝5400．【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．18．背景某公司准备组织员工到“滇超联赛”的比赛现场为支持的球队加油助威，需购买一些球衣和球帽．信息1购买1件球衣和1顶球帽共需80元；购买2件球衣和3顶球帽共需190元．信息2该公司需购买球衣和球帽共50件（顶），用于购买球衣和球帽的总金额不超过1950元，且购买球衣的数量不少于20件．问题解决任务1求购买一件球衣和一顶球帽各需多少元？任务2设该公司购买球衣a件，则购买球帽50﹣a顶（用含a的式子表示）；请你算一算，该公司有哪几种购买方案？【考点】列代数式．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）购买一件球衣需50元，购买一顶球帽需30元；（2）50﹣a；共有3种购买方案：方案一：购买球衣20件，球帽30顶；方案二：购买球衣21件，球帽29顶；方案三：购买球衣22件，球帽28顶．【分析】（1）设球衣和球帽的单价为未知数，根据两组购买费用的等量关系列出二元一次方程组，求解方程组即可得到两者的单价；（2）用总数量减去球衣数量即可表示出球帽数量，根据总金额限制和球衣数量要求列一元一次不等式组，求出a的取值范围，结合a为正整数确定具体取值，即可得出所有购买方案．【解答】解：（1）设购买一件球衣需x元，购买一顶球帽需y元，根据题意可得：2x+3y=190x+y=80解得x=50y=30答：购买一件球衣需50元，购买一顶球帽需30元；（2）总数量为50件，球衣为a件，因此球帽数量为（50﹣a）顶，根据题意可得：50a+30(50-a)≤1950a≥20解得20≤a≤45∴a＝20，21，22，当a＝20时，50﹣a＝30；当a＝21时，50﹣a＝29；当a＝22时，50﹣a＝28；答：共有3种购买方案：方案一：购买球衣20件，球帽30顶；方案二：购买球衣21件，球帽29顶；方案三：购买球衣22件，球帽28顶．故答案为：50﹣a．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握该知识点是关键．19．将一些正整数填写在如表所示的一个表格，从上往下分别记为第1行、第2行、…，从左往右分别记为第1列、第2列、…．用如图所示的4×2方框同时框住表格中的8个数，其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D．若数A在第x行，第y列．12345…n246810…2n3691215…3n48121620…4n…m2m3m4m5m…mn（1）设M＝A+C，请用含x，y的代数式表示M．（2）若A﹣B+3D＝147，求出C表示的数．【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．【专题】整式；推理能力．【答案】（1）2xy+x+y+1；（2）48．【分析】（1）根据题意易得A＝xy，C＝（x+1）（y+1）＝xy+x+y+1，即可得解；（2）分别求出A、B、C、D的表达式，进而代入求解即可．【解答】解：（1）根据题意，得：A＝xy，C＝（x+1）（y+1）＝xy+x+y+1，∴M＝A+C＝xy+xy+x+y+1＝2xy+x+y+1；（2）A＝xy，B＝x（y+3）＝xy+3x，C＝（x+1）（y+1）＝xy+x+y+1，D＝（