中考数学难题突破之图形的旋转

2027年中考数学复习难题速递之图形的旋转（2026年7月）一．选择题（共11小题）1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形（四个内角都是直角，四条边都相等），将正方形AEFG绕点A旋转，使点E恰好落在DG上，连接BE．以下结论正确的有（）①BE＝DG；②BE⊥DG；③△ADE的面积为△ABE面积的一半；④点B在DG的垂直平分线上．A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④2．已知△ABC中，AB＝3，∠A＝75°，AC=32，点O是△ABC内一点，则点O到点A，B，C的距离之和的最小值是（A．3 B．32 C．33 D3．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝14，∠C＝30°，P是BC上的任意一点，连接AP，将AP绕点A按顺时针方向旋转至AQ，使∠PAQ＝∠BAC，连接BQ．则线段BQ长度的最小值为（）A．2 B．3 C．433 D4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＞AB，点D为BC上一点，且BD＝AB，连接AD，BE⊥AC于点E，将BE绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，连接EF交AD于点G，若AB＝6，则DG的长为（）A．4 B．32 C．62 D5．在三角尺ABC和DEF中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，∠E＝90°，∠EDF＝45°，且BC＝DF．如图，固定三角尺ABC不动，将DF与BC重合，再将三角尺DEF绕BC的中点O按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），则在旋转的过程中，下列说法错误的是（）A．当DF∥AC时，α＝30° B．当DF∥AB时，α＝90° C．当DE∥AC时，α＝75° D．当DE∥AB时，α＝150°6．在数学活动课上，老师用一张三角形纸片△ABC进行旋转实验，如图所示，他将△ABC绕顶点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜180°）得到△AB'C'，连接BB'，CC'，下列结论错误的是（）A．AB＝AB' B．BB'＝CC' C．∠ABC＝∠AB'C' D．∠BAB'＝∠CAC'7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，AB＝CB＝2，OA＝OC，∠AOC＝60°，AB⊥x轴，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，第2026次旋转后点C的坐标为（）A．(-3，3) B．(3，-3) 8．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E在AC上且AE=13AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF．当点D运动时，则线段AFA．1+23 B．2+3 C．33 9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C＝90°，BC＝3AD，AB＝8，CD＝6，将AB绕A顺时针旋转90°得到AF，将DC绕D逆时针旋转90°得到DE，连EF，则EF的长为（）A．102 B．211 C．221 D．1510．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A与原点O重合，AB位于x轴正半轴上，∠C＝90°，点B的坐标为（4，0），点D为AB的中点，进行以下操作：①将△ABC沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到△DPQ，点B，C的对应点分别为P，Q；②将△DPQ绕点D在平面内旋转．当点Q落在射线AC上时，点Q的坐标为（）A．(3+1，3+1)C．(6-2，11．已知正方形ABCD边长为8，P在边AD上运动，连接BP，将线段BP绕着点B逆时针旋转45°，到线段BE，连接AE，线段AE的最小值为（）A．4 B．8﹣42 C．4+42 D．4二．填空题（共4小题）12．如图，在△ABC中，AB＝3，∠B＝60°，30°＜∠BAC＜60°，点D在边BC上，BD＝1，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，交AC于点F，FM⊥AD，垂足为M，FN⊥AE，垂足为N，则FM+FN＝．13．如图，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为（﹣1，2），将长方形ABCD沿x轴向右翻滚，经过1次翻滚，点A对应点记为A1，经过2次翻滚，点A对应点记为A2，…依次类推，经过2026次翻滚后点A对应点A2026的坐标为．14．如图，△ABC为边长为4的等边三角形，BD⊥AC，E为BD上一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到线段CF，当△ADF是直角三角形时，DF的长为．15．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，其中点B与点D对应，点C与点E对应，若点C恰好落在△ADE的边上，则α的度数是．三．解答题（共5小题）16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为射线AB上一点．（1）如图1，点B关于直线CD的对称点B'恰好落在AC边上，连接DB'．①若∠A＝α，求∠ADB′的度数（用含α的代数式表示）；②若AD＝2BD，求AC与BC的数量关系；（2）如图2，E为线段AC上一点，若BD=13AB，S△ADE：S△ACB＝m，AC＝n，求AE的长（用含m17．已知A（3，5），B（5，1），将线段AB向左平移m（m＞0）个单位长度至对应线段DC，其中点A的对应点是点D．（1）如图（1），当m＝4时，线段CD与y轴交于点P，连接PA，PB．①直接写出点C，D的坐标；②求三角形PAB的面积．（2）如图（2），当直线CD经过点O时，求m的值．（3）如图（3），当m＝6时，连接AD，BC，动点M（a，ka+3）在四边形ABCD内，连接AM，BM，CM，DM，记三角形MAB的面积为S1，三角形MCD的面积为S2，是否存在k的值，使S1＝nS2，且常数n的值与a无关，若存在，求k，n的值；若不存在，请说明理由．18．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式x2分析：x2+32和(12-x)2+22是勾股定理的形式，x2+32是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，(12-x)2+22是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，【模型应用】（1）代数式x2+32+(12-x（2）变式训练：利用图3，求代数式x2【模型拓展】（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足52-x19．四边形ABCD和CEFG都是正方形，其中正方形CEFG可以绕顶点C旋转（CE＜CB）．（1）如图1，点E在BC上，点G在CD上，连接BG和DE，取BG的中点P，连接CP，求证：DE＝2CP；（2）如图2，正方形CEFG绕点C旋转到图2位置，连接DE和BG，取线段BG的中点P，连接CP．①依题意补全图2；②判断线段CP与DE的关系，并证明你的结论．20．问题解决【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？【分析问题】（1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是．【解决问题】（2）如图2，在△ABC中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若AB＝6，AC＝7，BC＝8，则△ABP周长的最小值为．【类比探究】（3）如图3，点P是∠AOB内一定点，将军牵马从军营点P出发，先到河流OA边上一点C饮马，再到草地OB边上一点D吃草，最后回到军营P．①在图3中作图：使将军走过的路程PC+CD+DP最短．（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）②当将军走过的路程PC+CD+DP最短，且∠AOB＝65°时，求∠CPD的度数．

2027年中考数学复习难题速递之图形的旋转（2026年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）题号1234567891011答案ADBBDBDACAB一．选择题（共11小题）1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形（四个内角都是直角，四条边都相等），将正方形AEFG绕点A旋转，使点E恰好落在DG上，连接BE．以下结论正确的有（）①BE＝DG；②BE⊥DG；③△ADE的面积为△ABE面积的一半；④点B在DG的垂直平分线上．A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．【答案】A【分析】根据正方形的性质以及全等三角形的判定可证明△BAE≌△DAG（SAS），得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，S△BAE＝S△DAG，根据三角形外角的性质可得出∠DEO＝∠BAO＝90°，则BE⊥DG，即可判断①、②；根据已知条件无法证明E是DG中点，即可判断③、④．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形（四个内角都是直角，四条边都相等），∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，∴∠BAE＝∠DAG，在△BAE和△DAG中，AB=AD∠BAE=∠DAG∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，S△BAE＝S△DAG，设AD、BE相交于O，∵∠BOD＝∠ABO+∠BAO，∠BOD＝∠EDO+∠DEO，∴∠ABO+∠BAO＝∠EDO+∠DEO，又∵∠ABO＝∠EDO，∠BAO＝90°，∴∠DEO＝90°，∴BE⊥DG，根据已知条件无法证明E是DG中点，∴△ADE的面积不一定是△ADG面积的一半，则△ADG的面积不一定是△ABE面积的一半；点B不一定在DG的垂直平分线上．故①②正确，③④不正确，故选：A．【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．2．已知△ABC中，AB＝3，∠A＝75°，AC=32，点O是△ABC内一点，则点O到点A，B，C的距离之和的最小值是（A．3 B．32 C．33 D【考点】旋转的性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】利用旋转的性质将三条线段转化为共线线段，再用勾股定理计算即可得到结果．【解答】解：如图，△ABC中，AB＝3，∠A＝75°，AC=32，将△AOC绕点A逆时针旋转60°，得到△AO′C′，连接OO′，BC则AC'=AC=32，AO＝AO′，OC＝O′C′，∠OAO′＝∠CAC′＝60∴△AOO′为等边三角形，∠BAC′＝∠BAC+∠CAC′＝135°，∴OO′＝OA，∴点O到点A，B，C的距离之和＝OA+OB+OC＝BO+OO′+O′C′≥BC′，当B，O，O′，C′四点共线时，点O到点A，B，C的距离之和最小，为BC′的长，作C′D⊥BA，交BA的延长线于点D，则∠C′AD＝180°﹣∠BAC′＝45°，∴△ADC′为等腰直角三角形，∴AD＝C′D＝AC′•sin45°＝3，∴BD＝AB+AD＝6，在Rt△BDC′中，由勾股定理，得：BC'=B故点O到点A，B，C的距离之和的最小值是35故选：D．【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．3．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝14，∠C＝30°，P是BC上的任意一点，连接AP，将AP绕点A按顺时针方向旋转至AQ，使∠PAQ＝∠BAC，连接BQ．则线段BQ长度的最小值为（）A．2 B．3 C．433 D【考点】旋转的性质；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】B【分析】在AC上截取AD＝AB＝8，连接PD，如图，先根据旋转的性质得到AQ＝AP，再证明△AQB≌△APD得到BQ＝DP，根据垂线段最短，当DP⊥BC时，DP的值最小，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求出此时DP的长即可．【解答】解：在AC上截取AD＝AB＝8，连接PD，如图，∵AP绕点A按顺时针方向旋转至AQ，∴AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠ABP＝∠BAC﹣∠BAP，即∠QAB＝∠PAC，在△AQB和△APD中，AQ=AP∠QAB=∠PAD∴△AQB≌△APD（SAS），∴BQ＝DP，∵P是BC上的任意一点，D点为定点，∴当DP⊥BC时，DP的值最小，∵∠C＝30°，∴DP的最小值为12CD=12（AC﹣AD）=12（14∴线段BQ长度的最小值为3．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＞AB，点D为BC上一点，且BD＝AB，连接AD，BE⊥AC于点E，将BE绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，连接EF交AD于点G，若AB＝6，则DG的长为（）A．4 B．32 C．62 D【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】B【分析】连接DF，过点D作DH∥AC，交EF于点H，通过证明△ABE≌△DBF，得到对应边，对应角相等，通过证明DH∥BF，得到DH＝DF＝AE，继而证明△DHG≌△AEG，得到DG＝AG，从而在等腰直角三角形ABD中求得DG=32【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＞AB，点D为BC上一点，如图，连接DF，过点D作DH∥AC，交EF于点H，∵∠ABE+∠EBD＝∠DBF+∠EBD＝90°，∴∠ABE＝∠DBF，∵AB＝DB，BE＝BF，∴△ABE≌△DBF（SAS），∴AE＝DF，∵BE⊥AC，∴∠BFD＝∠BEA＝90°，∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BFE＝45°，∵∠EBF＝∠AEB＝90°，∴BF∥AC，∵DH∥AC，∴DH∥BF，∴∠HDF＝∠BFD＝90°，∠DHF＝∠BFE＝45°，∴DH＝DF＝AE，∵DH∥AC，∴∠HDG＝∠EAG，∵∠DGH＝∠AGE，∴△DHG≌△AEG（AAS），∴DG＝AG，∵AB＝BD，∠ABC＝90°，∴DG=1故选：B．【点评】本题考查旋转的性质，正确进行计算是解题关键．5．在三角尺ABC和DEF中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，∠E＝90°，∠EDF＝45°，且BC＝DF．如图，固定三角尺ABC不动，将DF与BC重合，再将三角尺DEF绕BC的中点O按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），则在旋转的过程中，下列说法错误的是（）A．当DF∥AC时，α＝30° B．当DF∥AB时，α＝90° C．当DE∥AC时，α＝75° D．当DE∥AB时，α＝150°【考点】旋转的性质；平行线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】D【分析】根据题意画出图形，利用平行线的性质即可求解．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠A＝60°，∠E＝90°，∠EDF＝45°，∴∠ACB＝30°，当DF∥AC时，∠COF＝∠ACB＝90°﹣∠A＝30°，即α＝30°，故A正确；当DF∥AB时，∠BOD＝180°﹣∠ABC＝90°，∴α＝∠BOD＝90°，故B正确；当DE∥AC时，∠CMO＝∠D＝45°，∴∠COM＝180°﹣∠C﹣∠CMO＝105°，∴α＝∠COF＝180°﹣∠COM＝75°，故C正确；当DE∥AB时，∠DHO＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠DOH＝180°﹣∠D﹣∠DHO＝45°，∴α＝∠COF＝180°﹣∠DOH＝135°，故D错误；故选：D．【点评】本题考查旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．6．在数学活动课上，老师用一张三角形纸片△ABC进行旋转实验，如图所示，他将△ABC绕顶点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜180°）得到△AB'C'，连接BB'，CC'，下列结论错误的是（）A．AB＝AB' B．BB'＝CC' C．∠ABC＝∠AB'C' D．∠BAB'＝∠CAC'【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】B【分析】先根据旋转的性质得到AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，则可对A选项、D选项进行判断；再证明△ABC≌△AB′C′得到∠ABC＝∠AB′C′，则可对C选项进行判断；然后证明△ABB′∽△ACC′得到BB'CC'=ABAC，由于只有当AB＝AC时，BB′＝【解答】解：∵△ABC绕顶点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜180°）得到△AB'C'，∴AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，所以A选项、D选项不符合题意；∴∠BAB′﹣∠CAB′＝∠CAC′﹣∠CAB′，即∠BAC＝∠B′AC′，在△ABC和△AB′C′中，AB=AB'∠BAC=∠B'AC'∴△ABC≌△AB′C′（SAS），∴∠ABC＝∠AB′C′，所以C选项不符合题意；∵ABAC=AB'AC'，∠BAB∴△ABB′∽△ACC′，∴BB'CC'只有当AB＝AC时，BB′＝CC′，所以B选项符合题意．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，AB＝CB＝2，OA＝OC，∠AOC＝60°，AB⊥x轴，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，第2026次旋转后点C的坐标为（）A．(-3，3) B．(3，-3) 【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标；勾股定理．【专题】猜想归纳；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】根据题意，求出点C的坐标，再结合所给旋转方式，得出每旋转四次，点C对应点的坐标重复出现，据此即可解决问题．【解答】解：连接OB，延长CB交x轴于点N，过点C作x轴的垂线，垂足为M，∵AB＝CB，OA＝OC，OB＝OB，∴△OCB≌△OAB（SSS），∴∠OCB＝∠OAB．∵AB⊥x轴，∴∠OCB＝∠OAB＝90°．∵∠AOC＝60°，∴∠CBA＝120°，∴∠ABN＝180°﹣120°＝60°，∴∠BNA＝30°．在Rt△ABN中，BN＝2AB＝4，∴CN＝CB+BN＝2+4＝6．在Rt△CMN中，CM=1∵∠OCM＝90°﹣60°＝30°，∴OM=3∴点C坐标为（3，由所给旋转方式可知，每旋转四次，点C对应点的坐标重复出现，∵2026÷4＝506余2，∴旋转2026次和旋转2次后点C对应点的坐标相同．∵旋转180°后所得点C对应点与点C关于原点对称，∴旋转2次后点C对应点的坐标为（-3∴第2026次旋转后点C的坐标为（-3故选：D．【点评】本题主要考查了坐标与图象变化﹣旋转、勾股定理及点的坐标变化规律，能根据题意求出点C坐标及得出每旋转四次，点C对应点的坐标重复出现是解题的关键．8．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E在AC上且AE=13AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF．当点D运动时，则线段AFA．1+23 B．2+3 C．33 【考点】旋转的性质；解直角三角形；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．【答案】A【分析】过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EG于点H，证明△DGE≌△EHF（AAS），则HF＝EG，求出HF=23，即点F到直线EG的距离为23，证明AM∥EG，得到MC＝3，则MG＝MC﹣CG＝3﹣2＝1，即点A到直线EG的距离为1，当A，H，F三点共线时，AF【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EG于点H，过点A作AM⊥BC于点M，由旋转可得，∠DEF＝90°，DE＝EF，则∠DEG+∠HEF＝90°，∵EG⊥BC，∴∠DGE＝90°，∴∠EDG+∠DEG＝90°，∴∠EDG＝∠FEH，在△DGE和△EHF中，∠DGE=∠EHF=90°∠EDG=∠FEH∴△DGE≌△EHF（AAS），∴HF＝EG，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，AE=1∴AC＝6，CE＝4，∠C＝60°，在Rt△EGC中，EG=CEsin60°=4×32=2∴HF=23即点F到直线EG的距离为23∵AM⊥BC，EG⊥BC，∴AM∥EG，∵M是BC的中点，∴MC＝3，∴MG＝MC﹣CG＝3﹣2＝1，即点A到直线EG的距离为1，∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF．∴点F在直线EG的右侧，∴当A，H，F三点共线时，AF取得最小值，最小值为1+23故选：A．【点评】本题主要考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C＝90°，BC＝3AD，AB＝8，CD＝6，将AB绕A顺时针旋转90°得到AF，将DC绕D逆时针旋转90°得到DE，连EF，则EF的长为（）A．102 B．211 C．221 D．15【考点】旋转的性质；梯形．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】先构造平行四边形将梯形转化为直角三角形，求出AD的长度；再建立平面直角坐标系，利用旋转的坐标变化规律求出F、E的坐标；最后用两点间距离公式计算EF的长度．【解答】解：过点A作AM∥CD，交BC于点M，∵AD∥BC，∴四边形AMCD是平行四边形，∴AD＝MC，AM＝CD＝6，∠AMB＝∠C．∵∠B+∠C＝90°，∴∠B+∠AMB＝90°，∴△ABM是直角三角形．在Rt△ABM中，AB＝8，AM＝6，∴BM=A∵BC＝3AD，BC＝BM+MC，∴3AD＝10+AD，∴AD＝5．以A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），D（5，0）．设B（x1，y1），由AB＝8，cosB=45，sinB∴x1=-325，∵AB绕A顺时针旋转90°得到AF，∴F(-24设C（x2，y2），由CD＝6，cosC=35，sinC∴x2=435，∵DC绕D逆时针旋转90°得到DE，∴E(49∴EF=(故选：C．【点评】本题考查旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．10．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A与原点O重合，AB位于x轴正半轴上，∠C＝90°，点B的坐标为（4，0），点D为AB的中点，进行以下操作：①将△ABC沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到△DPQ，点B，C的对应点分别为P，Q；②将△DPQ绕点D在平面内旋转．当点Q落在射线AC上时，点Q的坐标为（）A．(3+1，3+1)C．(6-2，【考点】坐标与图形变化﹣旋转；勾股定理；等腰直角三角形；坐标与图形变化﹣平移．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】过点Q作QH⊥AB于点H，QH交BC于点M．由题意可得AB＝4，由等腰直角三角形的性质可得AC=BC=22AB=22，∠CAB＝∠CBA＝45°，从而得出AH＝QH，BD=12AB=2．设BH＝x，则DH＝2﹣x，QH＝AH【解答】解：如图，过点Q作QH⊥AB于点H，QH交BC于点M．∵点B的坐标为（4，0），点A与原点O重合，∴AB＝4．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AC=BC=2∴∠QAH＝∠AQH＝45°，∴AH＝QH．∵D为AB的中点，∴BD=1设BH＝x，则QH＝AH＝4﹣x，DH＝2﹣x，由平移和旋转的性质，得DQ=AC=22在Rt△DQH中，有DH2+QH2＝DQ2，即(2-x)2解得x=3±3∵BH＜AB，∴x=3-3∴AH=QH=4-(3-3∴当点Q落在射线AC上时，点Q的坐标为(3故选：A．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，勾股定理，等腰直角三角形，坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．11．已知正方形ABCD边长为8，P在边AD上运动，连接BP，将线段BP绕着点B逆时针旋转45°，到线段BE，连接AE，线段AE的最小值为（）A．4 B．8﹣42 C．4+42 D．4【考点】旋转的性质；正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；几何直观．【答案】B【分析】在AB的左侧作BF，使BF＝AB，且∠ABF＝45°，可得△ABP≌△FBE，则AP＝EF，∠F＝∠BAP＝90°，可知点E在过定点F且垂直于BF的直线上运动．延长BA交FE的延长线于点G，过点A作AH⊥FG于点H，则点E与点H重合时，AE取得最小值．结合题意可得∠FGB＝45°，BG=2BF=82，则AG＝BG﹣AB=82-8，可得AH=【解答】解：在AB的左侧作BF，使BF＝AB，且∠ABF＝45°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAP＝90°，AB＝8．∵将线段BP绕着点B逆时针旋转45°得到线段BE，∴∠EBP＝45°，EB＝PB，∴∠ABF＝∠EBP，∴∠EBF＝∠PBA，∴△ABP≌△FBE（SAS），∴AP＝EF，∠F＝∠BAP＝90°，∴点E在过定点F且垂直于BF的直线上运动．延长BA交FE的延长线于点G，过点A作AH⊥FG于点H，则点E与点H重合时，AE取得最小值．∵∠F＝90°，∠ABF＝45°，∴∠FGB＝45°，BG=2∴AG＝BG﹣AB=82∴AH=AG即线段AE的最小值为8-42故选：B．【点评】本题考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二．填空题（共4小题）12．如图，在△ABC中，AB＝3，∠B＝60°，30°＜∠BAC＜60°，点D在边BC上，BD＝1，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，交AC于点F，FM⊥AD，垂足为M，FN⊥AE，垂足为N，则FM+FN＝212【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．【专题】三角形；平移、旋转与对称．【答案】212【分析】过点A作BC边的垂线，利用30°的直角三角形和勾股定理求出AD的长，根据旋转性质判定△ADE为等边三角形，利用面积法将FM+FN转化为△ADE的高即可求．【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，∠B＝60°，AB＝3，∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°，∴BH=12AB=3∵BD＝1，∴DH＝BH﹣BD=3在Rt△ADH中，由勾股定理得AD=A由旋转的性质可知AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，连接AF，作AG⊥DE，∵S△ADE＝S△ADF+S△AEF，∴12∵AD＝AE＝DE，∴FM+FN＝AG，在等边△ADE中，DG=1由勾股定理得AG=21∴FM+FN=21故答案为：212【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键．13．如图，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为（﹣1，2），将长方形ABCD沿x轴向右翻滚，经过1次翻滚，点A对应点记为A1，经过2次翻滚，点A对应点记为A2，…依次类推，经过2026次翻滚后点A对应点A2026的坐标为（3039，0）．【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．【专题】规律型；平面直角坐标系；运算能力．【答案】（3039，0）．【分析】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为6，依据2026＝4×506+2即可得到答案．【解答】解：如图所示：观察图形可知，经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置，A4（5，2），∵长方形的周长为：2×（1+2）＝6，∴每一次完整循环，相当于A对应点的横坐标+6，纵坐标保持不变，∵2026＝4×506+2，即经过了506次完整的循环后再向前翻滚2次，是A2（A3）的对应点，∴经过2026次翻滚后点A对应点A2026的坐标为（﹣1+6×506+4，0），即（3039，0）．故答案为：（3039，0）．【点评】本题考查了坐标与图形性质、点的坐标规律，熟练掌握以上知识点是关键．14．如图，△ABC为边长为4的等边三角形，BD⊥AC，E为BD上一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到线段CF，当△ADF是直角三角形时，DF的长为1或233【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】1或23【分析】先根据等边三角形的性质得到CA＝CB＝4，∠ACB＝∠ABC＝60°，∴AD＝CD＝2，∠CBD=12∠ABC＝30°，再根据旋转的性质得到CF＝CE，∠FCE＝60°，接着证明△ACF≌△BCE得到∠CAF＝∠CBE＝30°，由于∠DAF不可能等于90°，所以∠AFD＝90°或∠ADF＝90°，然后在Rt△ADF利用含30度角的直角三角形三边的关系求出对应的【解答】解：∵△ABC为边长为4的等边三角形，∴CA＝CB＝4，∠ACB＝∠ABC＝60°，∵BD⊥AC，∴AD＝CD＝2，∠CBD=12∠ABC＝∵线段CE绕点C逆时针旋转60°得到线段CF，∴CF＝CE，∠FCE＝60°，∵∠ACF+∠ACE＝60°，∠BCE+∠ACE＝60°，∴∠ACF＝∠BCE，在△ACF和△BCE中，CA=CB∠ACF=∠BCE∴△ACF≌△BCE（SAS），∴∠CAF＝∠CBE＝30°，当∠AFD＝90°时，在Rt△ADF中，∵∠DAF＝30°，∴DF=12AD＝当∠ADF＝90°时，在Rt△ADF中，∵∠DAF＝30°，∴DF=33AD综上所述，DF的长为1或23故答案为：1或23【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和勾股定理．15．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，其中点B与点D对应，点C与点E对应，若点C恰好落在△ADE的边上，则α的度数是20°或40°．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】20°或40°．【分析】当点C落在边AD上，先利用三角形内角和定理计算出∠BAC＝40°，再根据旋转的性质得到∠BAD等于旋转角，即α＝40°；当点C落在边DE上，先利用旋转的性质得到∠E＝∠ACB＝80°，AE＝AC，∠EAC＝α，再根据等腰三角形的性质得到∠ACE＝∠E＝80°，然后利用三角形内角和定理计算出∠EAC＝20°，即α的度数是20°．【解答】解：当点C落在边AD上，∵∠B＝60°，∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，∴∠BAD等于旋转角，即α＝40°；当点C落在边DE上，∵△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，∴∠E＝∠ACB＝80°，AE＝AC，∠EAC＝α，∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠E＝80°，∴∠EAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°，即α的度数是20°；综上所述，α的度数是20°或40°；故答案为：20°或40°；【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．三．解答题（共5小题）16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为射线AB上一点．（1）如图1，点B关于直线CD的对称点B'恰好落在AC边上，连接DB'．①若∠A＝α，求∠ADB′的度数（用含α的代数式表示）；②若AD＝2BD，求AC与BC的数量关系；（2）如图2，E为线段AC上一点，若BD=13AB，S△ADE：S△ACB＝m，AC＝n，求AE的长（用含m【考点】几何变换综合题．【专题】代数几何综合题；核心素养；几何直观；推理能力．【答案】（1）①90°﹣2α；②AC＝2BC；（2）AE=32mn【分析】（1）①由三角形内角和定理可得∠ABC＝90°﹣α，结合轴对称的性质可得∠CB′D＝∠ABC＝90°﹣α，进而可得∠ADB′＝90°﹣2α；②由同高的三角形面积与边成比例可得S△ACDS△BCD=ADBD=2，结合轴对称的性质可得S△ACD＝2S△B′CD，从而得到AC＝2（2）分两类讨论，当点D在线段AB上时，连接CD、DE，则S△ACBS△ACD=ABAD=32，结合S△ADE：S△ACB＝m【解答】解：（1）①∵∠A＝α，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝90°﹣α，∵点B关于直线CD的对称点B'恰好落在AC边上，∴∠CB′D＝∠ABC＝90°﹣α，∴∠AB′D＝180°﹣∠CB′D＝90°+α，∴∠ADB′＝180°﹣∠AB′D﹣∠A＝90°﹣2α；②∵点B关于直线CD的对称点B'恰好落在AC边上，∴S△BCD＝S△B′CD，BC＝B'C，∵S△ACD∴S△ACD＝2S△BCD＝2S△B′CD，∴AC＝2B′C，又∵BC＝B'C，∴AC＝2BC；（2）①当点D在线段AB上时，如图，连接CD、DE，∵BD=1∴ABAD∴S△ACB∵S△ADE：S△ACB＝m，∴S△ADE=mS又∵S△ADE∴AE=3②当点D在线段AB的延长线上时，如图3，连接CD、DE，∵BD=1∴AD=4∴S△ACB∵S△ADE：S△ACB＝m，∴S△ADE又∵S△ADE∴AE=3综上所述，AE=32mn【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形内角和定理，轴对称的性质，三角形的面积，分类讨论是解答本题的关键．17．已知A（3，5），B（5，1），将线段AB向左平移m（m＞0）个单位长度至对应线段DC，其中点A的对应点是点D．（1）如图（1），当m＝4时，线段CD与y轴交于点P，连接PA，PB．①直接写出点C，D的坐标；②求三角形PAB的面积．（2）如图（2），当直线CD经过点O时，求m的值．（3）如图（3），当m＝6时，连接AD，BC，动点M（a，ka+3）在四边形ABCD内，连接AM，BM，CM，DM，记三角形MAB的面积为S1，三角形MCD的面积为S2，是否存在k的值，使S1＝nS2，且常数n的值与a无关，若存在，求k，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题；平面直角坐标系；三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）①C（1，1），D（﹣1，5）；②8；（2）112（3）k＝﹣2，n＝2．【分析】（1）①根据平移写出点C、D的坐标即可；②连接AC，BC，过A作AE⊥BC于点E，求出S△ABC=12BC⋅AE=8，根据AB∥CD，得出S△PAB＝S（2）连接AD交y轴于点G，连接BC交y轴于点H，作CT⊥AD于点T，根据题意得：DG＝m﹣3，CH＝m﹣5，CT＝5﹣1＝4，OG＝5，根据S△DOG＝S△DCG+S△OCG列出关于m的方程12（3）过点D作DE⊥CB，交BC的延长线于E点，连接ME，过点B作BF⊥DA，交DA的延长线于F点，连接MF．求出S△MAB＝S△AMF+S△BMF﹣S△ABF＝8﹣ka﹣2a，S△MCD＝S△CEM+S△DEM﹣S△CDE＝ka+2a+4，根据S1＝nS2，得出a[（k+2）n+（k+2）]＝8﹣4n，根据n的值与a无关，求出k＝﹣2，n＝2即可．【解答】解：（1）①∵A（3，5），B（5，1），将线段AB向左平移m（m＞0）个单位长度至对应线段DC，且m＝4，点A的对应点是点D，∴点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（﹣1，5）；②如图，连接AC，BC，过A作AE⊥BC于点E，依题意得：BC＝AE＝4，AE＝5﹣1＝4，∴S△ABC∵线段AB平移得线段DC，∴AB∥CD，∴S△PAB＝S△CAB＝8．（2）如图，连接AD交y轴于点G，连接BC交y轴于点H，作CT⊥AD于点T，∵线段AB沿x轴负半轴方向平移m个单位长度至线段CD，A（3，5），B（5，1），∴C（5﹣m，1），D（3﹣m，5），依题意得：DG＝m﹣3，CH＝m﹣5，CT＝4，OG＝5，∵S△DOG＝S△DCG+S△OCG，∴12×5（m﹣3）=12×4（m﹣3）+1解得：m=11（3）如图，过点D作DE⊥CB，交BC的延长线于E点，连接ME，过点B作BF⊥DA，交DA的延长线于F点，连接MF，∵线段AB沿x轴负半轴方向平移m个单位长度至线段CD，A（3，5），B（5，1），∴此时C（﹣1，1），D（﹣3，5），∵M（a，ka+3），S△MAB即S1＝8﹣ka﹣2a，S△MCD即S2＝ka+2a+4，∵S1＝nS2，∴8﹣ka﹣2a＝n（ka+2a+4），整理得：a[（k+2）n+（k+2）]＝8﹣4n，∵n的值与a无关，∴k+2＝0，解得k＝﹣2，∴当k＝﹣2时，8﹣4n＝0，解得n＝2，综上，k＝﹣2，n＝2．【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查平移的性质，坐标与图形的变换﹣平移，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键．18．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式x2分析：x2+32和(12-x)2+22是勾股定理的形式，x2+32是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，(12-x)2+22是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，【模型应用】（1）代数式x2+32+(12-x（2）变式训练：利用图3，求代数式x2【模型拓展】（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足52-x【考点】几何变换综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）13；（2）10；（3）x=60【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；（2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；（3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可．【解答】解：（1）如图2，CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．当A、B、D三点共线时，作DG⊥AC于点G，则有GD＝CF＝12，AG＝AC+CG＝AC+DF＝5，在直角三角形ADG中，由勾股定理得：AD=52∴x2+3故答案为：13；（2）如图3，由x2+16+AC＝4，DF＝2，CF＝x+8﹣x＝8，∴AH＝4+2＝6，HD＝CF＝8，在直角三角形ADH中，由勾股定理得：AD=62∴x2+16+(8-x)2+4（0（3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝5，BC＝12，如图4，设CD＝x，在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AD=5在直角三角形ABD中，由勾股定理得：BD=1∴AB=52∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴12×5×12=1解得：x=60∴方程的解是x=60【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了勾股定理的应用，勾股定理逆定理，解答本的关键是熟练运用数形结合思想进行求解．19．四边形ABCD和CEFG都是正方形，其中正方形CEFG可以绕顶点C旋转（CE＜CB）．（1）如图1，点E在BC上，点G在CD上，连接BG和DE，取BG的中点P，连接CP，求证：DE＝2CP；（2）如图2，正方形CEFG绕点C旋转到图2位置，连接DE和BG，取线段BG的中点P，连接CP．①依题意补全图2；②判断线段CP与DE的关系，并证明你的结论．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题；几何直观．【答案】（1）∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCG＝90°，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE，在Rt△BCG中，点P是斜边BG的中点，∴BG＝2CP，∴DE＝2CP；（2）解：①补全图形如图2所示，②线段CP与DE的关系为DE＝2CP，证明：如图3，延长CP至M使PM＝PC，连接BM，则CM＝2CP，∵点P是BG的中点，∴BP＝CP，∵∠BPM＝∠GPC，∴△BPM≌△GPC（SAS），∴BM＝CG，∠BMP＝∠GCP，∴∠CBM＝180°﹣∠BCM﹣∠BMP＝180°﹣∠BCM﹣∠GCP＝180°﹣∠BCG，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴BM＝CE，∠DCE＝360°﹣90°﹣90°﹣∠BCG＝180°﹣∠BCG，∴∠CBM＝∠BCD，∴△BCM≌△DCE（SAS），∴CM＝DE，∵DE＝2CP，【分析】（1）先判断出BC＝DC，CG＝CE，∠BCG＝90°，进而得出△BCG≌△DCE（SAS），得出BG＝DE，最后根据直角三角形的性质，即可得出结论；（2）由题意补全图形补全图形如图2所示，②线段CP与DE的关系为DE＝2CP，延长CP至M使PM＝PC，连接BM，则CM＝2CP，判断出△BPM≌△GPC（SAS），得出BM＝CG，∠BMP＝∠GCP，再判断出∠CBM＝∠BCD，得出△BCM≌△DCE（SAS），即可得出结论．【解答】（1）∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCG＝90°，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE，在Rt△BCG中，点P是斜边BG的中点，∴BG＝2CP，∴DE＝2CP；（2）解：①补全图形如图2所示，②线段CP与DE的关系为DE＝2CP，证明：如图3，延长CP至M使PM＝PC，连接BM，则CM＝2CP，∵点P是BG的中点，∴BP＝CP，∵∠BPM＝∠GPC，∴△BPM≌△GPC（SAS），∴BM＝CG，∠BMP＝∠GCP，∴∠CBM＝180°﹣∠BCM﹣∠BMP＝180°﹣∠BCM﹣∠GCP＝180°﹣∠BCG，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴BM＝CE，∠DCE＝360°﹣9