人教版数学 八年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷（举一反三测试范围：八下全册） 试卷 含答案

八年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷【新教材人教版】时间：120分钟满分：120分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．在同一直角坐标系中，一次函数y=kx+b与y=bx+kb≠k的图象可能是（

A． B．C． D．2．（25-26八年级上·山西运城·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（

）A．三个班级中，甲班分数的方差最大B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，AB∥CD，∠ABC是直角且AB=BC，其中AB=3，CD=4，则A．27 B．30 C．58 D．64．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入−2，则输出的值（）A．10+46 B．10−46 C．2 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）若a=n2−mn，b=k2−2n，c=km，其中m，n，k为连续整数，且0<m<n<kA．b<a<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH,∠1=∠2=25°，A．30° B．45° C．50° D．60°7．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，在方格纸中，AB为∠PAC的平分线，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在四边形CDMN外点A′的位置，点B落在四边形CDMN内点B′的位置，若∠D=90°，∠2−∠1=36°，则A．36° B．54° C．60° D．72°9．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h①乙比甲提前出发1h②甲行驶的速度为40km/h③当t=3时，甲、乙两人相距50km④在0≤t≤3内，当甲、乙两人相距10km时，乙行驶了98h其中正确的个数为（

）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（）A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知x=12+3，y=12−3，记a为x的整数部分，b12．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC，过点A作AE∥BC，且AE=12BC，连接CE13．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知一次函数y=x+m和y=−3x+n的图象都经过点A−2,0，且与y轴分别交于B，C两点，那么△ABC的面积是_____________14．如图，在▱ABCD中，对角线BD=8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE=3cm，BC=4cm，则AD与BC15．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，已知BC=5，AD=52，AB=4，将△ABD沿着AD翻折得到△ADE，连接CE，BE，则△ACE的面积为16．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F．若AB=3，CF=4，则BE的长为______．三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）（25-26九年级上·吉林·期末）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，再将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，连接CD．(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(2)若点P在线段CD上，AB=1，则AP+BP的最小值为________．18．（6分）（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点E是菱形ABCD对角线BD上一动点，BD=12．在线段BD的同侧作线段DF=EC，使得∠CED=∠FDE，连接CF．(1)补全图形，并回答问题：当BE=时，DF⊥CF；(2)连接AF，交BD于点G，若EC⊥CD，探索AG与BE的数量关系，并证明；(3)直接写出当BE=时，CE将平行AF．19．（8分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足ac+a(1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题．(2)如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，请求∠A的度数．(3)如图2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．请证明△ABC为“类勾股三角形”．20．（8分）（2026九年级下·重庆·专题练习）为加强国家安全知识普及情况，某校八、九年级部分学生参加了安全教育知识竞赛活动．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用x表示，单位：分）分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．90≤x≤100；B．80≤x＜90；C．70≤x＜下面给出了部分信息：九年级20名学生的竞赛成绩为：100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57．八年级B等级的学生竞赛成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82．八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差九年级87.590a100.05八年级87.5b8863.25根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中，a=___________，b=___________，m=___________；(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）：(3)该校八年级有1200名学生、九年级有900名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是多少？21．（10分）（25-26八年级上·河南平顶山·月考）（1）如图1，长方体的长AB为4cm，宽BC为3cm，高AE为（2）如图1，现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为241 cm（3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为12cm，底面周长为12cm，在容器内壁离底部5cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿1cm与饭粒相对的点22．（10分）（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料：1和4为两个相邻的整数，4−1=3=2×1+1；4和9为两个相邻的整数，9−4=5=2×2+1；9和16为两个相邻的整数，16−9=7=2×3+1；…小海发现结论：若a和b为相邻的两个整数，其中a<b，则有b−a=2a根据题意，得b−a=1根据二次根式的性质a2=a，可以在等式两边同时平方，得整理得b−a=2a请根据以上材料，解决以下问题：(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．(2)若m和m+11为两个相邻整数，则m的值是．(3)若n和n+216为相差4的两个整数，求n的值．23．（12分）（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=34x+6的图象分别与x轴和y轴交于点A，B，经过点B的直线与x轴正半轴交于点C，且OB=OC，点D(1)直接写出A，B，C三点的坐标及直线BC的表达式；(2)过点D作x轴的垂线，交直线AB于点E，交直线BC于点F，设点D的横坐标为m．①当EF=12AD②在点D的运动过程中，当△EBC的面积为14时，请直接写出点E的坐标．24．（12分）（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM=BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．【特例感知】(1)如图①，当点D在BC上，点E在AC上时，则△AEM的形状为；【类比迁移】

(2)当△CDE绕点C顺时针旋转至图②的位置时，此时点E在线段BC的延长线上，请判断△AEM的形状，并说明理由；【方法运用】(3)若CD=12BC，将△CDE由图①位置绕点C顺时针旋转α0<α<360°，当

八年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷【新教材人教版】参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．在同一直角坐标系中，一次函数y=kx+b与y=bx+kb≠k的图象可能是（

A． B．C． D．【答案】D【分析】分类讨论k,b的情况，根据一次函数性质判断两个函数图象位于哪些象限，再根据当x=1时，y=k+b，进行判断即可．【详解】解：当k>0,b>0，y=kx+b图象过第一、二、三象限，y=bx+kb≠k当k>0,b<0，y=kx+b图象过第一、三、四象限，y=bx+kb≠k当k<0,b>0，y=kx+b图象过第一、二、四象限，y=bx+kb≠k当k<0,b<0，y=kx+b图象过第二、三、四象限，y=bx+kb≠k当x=1时，y=k+b，综上，只有D符合题意．2．（25-26八年级上·山西运城·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（

）A．三个班级中，甲班分数的方差最大B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高【答案】C【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答．【详解】解：A、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意；B、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意；C、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项正确，符合题意；D、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项错误，不符合题意；3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，AB∥CD，∠ABC是直角且AB=BC，其中AB=3，CD=4，则A．27 B．30 C．58 D．6【答案】C【分析】本题考查了正方形的判定和性质，以及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点A作AE⊥DE，证得四边形ABCE是正方形，再利用正方形的性质求得AE=3，DE=EC+CD=7，最后利用勾股定理求得AD的长度即可．【详解】解：过点A作AE⊥DE，交CD的延长线于点E，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ABC=∠E=90°，∴四边形ABCE是矩形，∵AB=BC，∴四边形ABCE是正方形，如图可得，AE=EC=BC=AB=3，DE=EC+CD=3+4=7，在△ADE中，根据勾股定理可得，AD=A故选：C．4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入−2，则输出的值（）A．10+46 B．10−46 C．2 【答案】C【分析】先判断−2+6>0，然后利用平方差公式计算【详解】解：∵6>∴−2+6∴−2+6∴输出的值为2．5．（25-26八年级上·福建福州·期末）若a=n2−mn，b=k2−2n，c=km，其中m，n，k为连续整数，且0<m<n<kA．b<a<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b【答案】D【分析】本题考查比较二次根式的大小，由m，n，k为连续整数且0<m<n<k，设n=m+1，k=m+2（m≥1），代入表达式计算a，b，c，再比较大小．【详解】解：∵m，n，k为连续整数，且0<m<n<k，∴n=m+1，k=m+2（m≥1）．∴a=nb=kc=km∵m2∴m2∴c<a<b．故选：D．6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH,∠1=∠2=25°，A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】C【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键．由矩形的性质可得∠D=∠C=90°，进而可得∠HGC=∠IJD=65°；再根据三角形内角和定理可得∠GMJ=50°；然后再证四边形NUMV是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠VNU=∠GMJ=50°，最后由对顶角相等即可解答．【详解】解：如图：∵矩形ABCD中，∴∠D=∠C=90°，∵∠1=∠2=25°，∴∠HGC=∠IJD=65°，∴∠GMJ=50°，∵IJ∥∴四边形NUMV是平行四边形，∴∠VNU=∠GMJ=50°，∴∠3=∠VNU=50°．故选：C．7．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，在方格纸中，AB为∠PAC的平分线，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，网格与勾股定理，角平分线的判定，AP1，AP2，AP【详解】解：如图，连接AP1，设每个方格的长度为1，∴AC=12+32=10∴AC=AP又∵AB=AB，∴△ABC≌△ABP∴∠CAB=∠P1AB，即AB∴点P1符合题意，P2，P3故选：A．8．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在四边形CDMN外点A′的位置，点B落在四边形CDMN内点B′的位置，若∠D=90°，∠2−∠1=36°，则A．36° B．54° C．60° D．72°【答案】D【分析】本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质是解题的关键．延长NB′交AD于点E，利用四边形的内角和定理得到：∠C=270°−(∠A+∠B)，利用四边形的内角和定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得【详解】解：延长NB′交AD于点E，设A′B′∵四边形的内角和为360°，∴∠C+∠D+∠2+∠B′ED=360°，∠A+∠B+∠D+∠C=360°，∴∠2+∠B由折叠的性质可得：∠A+∠B=∠A∵∠D=90°，∴∠C=270°−(∠A+∠B)=270°−(∠2+∠B在△A′FM∵∠A∴∠1+∠A∵∠FEB′=180°−∠∴∠1+∠A∴∠A∴∠A+∠B=360°−∠B∵∠2−∠1=36°，∴∠A+∠B=360°−∠B∴∠A+∠B=360°−(∠B∴2(∠A+∠B)=396°，∴∠A+∠B=198°，∴∠C=270°−198°=72°．故选：D．9．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h①乙比甲提前出发1h②甲行驶的速度为40km/h③当t=3时，甲、乙两人相距50km④在0≤t≤3内，当甲、乙两人相距10km时，乙行驶了98h其中正确的个数为（

）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查一次函数的图象和性质．从一次函数的图象中获取信息，并解得一次函数的解析式，继而根据时间、距离的关系得到相应问题的答案，是解题的关键．根据图象获得信息后，利用待定系数法求解一次函数解析式，根据路程=速度×时间的等量关系来判断即可．【详解】解：根据甲行驶的函数图象可知，直线与x轴的交点为1，0，即时间过了1h甲的路程为0故①正确，符合题意；根据函数图象知甲2个小时行驶了80km则甲的速度为802故②正确，符合题意；设甲的解析式为s1=kt+b，代入1,0、得k+b=03k+b=80解得k=40b=−40则s1设乙的解析式为s2=pt，代入得20=3解得p=40则s2当t=3时，s1=80，∴s1∴3h时，甲、乙两人相距40故③错误，不符合题意；当甲运动前，乙比甲多行驶10km根据题意得10=40解得t=3当甲运动后，乙比甲多行驶10km根据题意得403解得t=9当甲运动后，甲比乙多行驶10km根据题意得403解得t=15综上，t=34h，t=98故④错误，不符合题意；∴正确的个数为2个，故选：B．10．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（）A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形【答案】A【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，整式的加减，勾股定理的逆定理及应用，理解三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形．由三角形的三边长是连续偶数，分三边为2，4，6；4，6，8；6，8，10；8，10，12；逐一判断，再当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为2n−2,2n,2n+2，再根据三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形进行判断即可．【详解】解：由三角形的三边长是连续偶数，当三边为2，4，6时，∵2+4=6，∴2，4，6不能组成三角形；当三边为4，6，8时，∵82∴最大角为钝角，则三边为4，6，8时三角形是钝角三角形；当三边为6，8，10，∵62∴三边为6，8，10时三角形是直角三角形；当三边为8，10，12，∵122∴三边为8，10，12时，三角形是锐角三角形（最大角为锐角）；当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为2n−2,2n,2n+2，有2n−2≥8，解得n≥5，∵(2n−2)2∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形；综上，只有1个钝角三角形．故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知x=12+3，y=12−3，记a为x的整数部分，b【答案】3−1/【分析】本题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，先有理化分母化简x和y，得到x=2−3，y=2+3；再确定x的整数部分a和y的小数部分b，最后计算【详解】解：∵x=1y=1又∵1<3∴−2<−3∴0<2−3<1，∴x的整数部分a=0，y的整数部分为3，∴y的小数部分b=2+3∴a+b=0+3故答案为：3−112．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC，过点A作AE∥BC，且AE=12BC，连接CE【答案】8【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质与判定，证出四边形ADCE是矩形是解题的关键．根据等腰三角形三线合一的性质得到CD=12BC=4，AD⊥BC，利用勾股定理求出AD=【详解】解：∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴CD=12BC=∴∠ADC=90°，∴AD=A∵AE=12BC=CD∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形，∴矩形ADCE的面积=AD×CD=221故答案为：82113．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知一次函数y=x+m和y=−3x+n的图象都经过点A−2,0，且与y轴分别交于B，C两点，那么△ABC的面积是_____________【答案】8【分析】首先分别把A−2,0代入两个函数解析式中，解得m=2，n=−6，即得B0,2，C0,−6【详解】解：把A−2,0代入y=x+m和y=−3x+n得：0=−2+m，−3×−2∴m=2，n=−6，∴B0,2，C∴S△ABC14．如图，在▱ABCD中，对角线BD=8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE=3cm，BC=4cm，则AD与BC【答案】6cm【分析】设AB与CD之间的距离为h，由条件可知▱ABCD的面积是△ABD的面积的2倍，可求得▱ABCD的面积，S四边形ABCD=BC⋅【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AD=BC=在△ABD和△BCD中，AB＝CDBD＝DB∴△ABD≌△CDB（SSS），∵AE⊥BD，AE=3cm，BD=8cm，∴S△ABD∴S四边形ABCD设AD与BC之间的距离为h，∵BC=4cm，∴S四边形ABCD∴4h=24，解得h=6cm，故答案为：6cm．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）．15．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，已知BC=5，AD=52，AB=4，将△ABD沿着AD翻折得到△ADE，连接CE，BE，则△ACE的面积为【答案】42【分析】延长AD交BE于点H，由折叠可知AH垂直平分线段BE，AB=AE=4，BD=DE=52，利用勾股定理解Rt△AHB和Rt△DHB可求出DH=75，进而求出【详解】解：如图，延长AD交BE于点H，∵AD为BC边上的中线，BC=5，∴BD=1∵△ABD沿着AD翻折得到△ADE，∴AB=AE=4，BD=DE=5∴AH垂直平分线段BE，∴∠AHB=90°，HE=BH=1在Rt△AHB中，B在Rt△DHB中，B∴42解得DH=7∴BH=B∴BE=2BH=2×12∵BD=DE=DC，∴∠DBE=∠DEB，∠DCE=∠DEC，又∵∠DBE+∠DEB+∠DCE+∠DEC=180°，∴∠BEC=∠DEB+∠DEC=1∴△BEC是直角三角形，∴CE=B∵AH⊥BE，CE⊥BE，∴AH∥∴点A到CE的距离等于HE的长，∴S△ACE故答案为：4225【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定与性质，平行线间的距离，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．16．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F．若AB=3，CF=4，则BE的长为______．【答案】2【分析】作EH∥AB，交BC于点H，连接AH交BE于点L，由平行四边形的性质得AD∥BC，∠BCD=∠BAD，根据角平分线的定义得出∠CBE=∠ABE，∠BCF=∠DCF，根据平行线的性质得出∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，即可推得∠AEB=∠CBE=∠ABE，∠DFC=∠BCF=∠DCF=12∠DCB=12∠BAD，根据等角对等边得出AE=AB，根据平行四边形的判定定理得出四边形ABHE是平行四边形，根据菱形的判定和性质得出AH⊥BE，BL=EL，AL=HL，∠EAH=∠BAH=12∠BAD【详解】解：解：作EH∥AB，交BC于点H，连接AH交BE于点L，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠BCD=∠BAD，∵∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，∴∠CBE=∠ABE，∠BCF=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，故∠AEB=∠CBE=∠ABE，∠DFC=∠BCF=∠DCF=1∴AE=AB，∵EH∥AB，AD∥BC，∴四边形ABHE是平行四边形，∵AE=AB=3，∴四边形ABHE是菱形，∴AH⊥BE，BL=EL，AL=HL，∠EAH=∠BAH=又∵∠DFC=1∴∠EAH=∠DFC，∴AH∥CF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AH=CF=4，∴AL=HL=1在Rt△AEL中，EL=∴BE=2EL=25故答案为：25【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，等角对等边，勾股定理等知识，正确添加辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）（25-26九年级上·吉林·期末）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，再将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，连接CD．(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(2)若点P在线段CD上，AB=1，则AP+BP的最小值为________．【答案】(1)正方形，见解析(2)5【分析】此题考查了正方形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识．（1）根据旋转的性质得到AB=AD=BC，∠A=∠B=90°．证明四边形ABCD是平行四边形．由∠A=90°即可证明四边形ABCD是正方形；（2）作点A关于CD对称的点A′，连接A′B交CD于点P，则AD=A′D=1，【详解】（1）解：四边形ABCD是正方形，理由：由旋转得AB=AD=BC，∠A=∠B=90°．∴∠A+∠B=180°．∴AD∥BC．∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∵AB=BC，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：如图，作点A关于CD对称的点A′，连接A′B交CD于点P，则AD=A′D=1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴A′故答案为：5.18．（6分）（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点E是菱形ABCD对角线BD上一动点，BD=12．在线段BD的同侧作线段DF=EC，使得∠CED=∠FDE，连接CF．(1)补全图形，并回答问题：当BE=时，DF⊥CF；(2)连接AF，交BD于点G，若EC⊥CD，探索AG与BE的数量关系，并证明；(3)直接写出当BE=时，CE将平行AF．【答案】(1)图见详解，6；(2)BE+2AG=12，证明见详解；(3)4．【分析】（1）根据题意补全图形即可；过点C作CG∥DF交BD于点G，连接AC，证明四边形CGDF为平行四边形，得出DG∥CF，即CF∥BD，得出当∠EDF=90°时，∠CFD=∠CED=90°，当CE⊥BD时，四边形ABCD为菱形，得出AC⊥BD，BO=DO=12BD=6（2）连接AE、EF，证明△ABE≌△CBE，得出AE=CE，证明△CDE≌△FED，得出∠DFE=∠ECD=90°，EF=CD，证明四边形AEFD为矩形，得出AF=DE，AF=2AG，根据BE+DE=BD=12，即可得出（3）连接AE，EF，证明△ABG≌△CDE，得出BG=DE，证明BE=GD，由（2）得四边形AEFD为平行四边形，得出EG=GD，从而得出BE=EG=GD=1【详解】（1）解：补全图形，如图所示：过点C作CG∥DF交BD于点G，连接AC，如图所示：∵CG∥DF，∴∠CGE=∠FDE，∵∠CED=∠FDE，∴∠CED=∠CGE，∴CE=CG，∵CE=DF，∴CG=DF，∴四边形CGDF为平行四边形，∵DG∥CF，即CF∥BD，∴当∠EDF=90°时，∴CE⊥BD，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，BO=DO=1∴当点E在对角线的交点O上时，符合题意，此时BE=BO=6，故答案为：6；（2）BE+2AG=12；证明：连接AE、EF，如图所示：∵EC⊥CD，∴∠ECD=90∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，∵BE=BE，∴△ABE≌△CBESAS∴AE=CE，∵CE=FD，∴AE=FD，∵CE=DF，∠CED=∠FDE，DE＝∴△CDE≌△FEDSAS∴∠DFE=∠ECD=90°，∵AD=CD，∴AD=EF，∴四边形AEFD为平行四边形，∵∠DFE=90∴四边形AEFD为矩形，∴AF=DE，AF=2AG，∴DE=2AG，∵BE+DE=BD=12，∴BE+2AG=12；（3）解：连接AE，EF，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABG=∠CDE，∵CE∥AF，∴∠AGB=∠CED，∴△ABG≌△CDEAAS∴BG=DE，∴BG−EG=DE−EG，∴BE=GD，根据解析（2）可知，四边形AEFD为平行四边形，∴EG=GD，∴BE=EG=GD=1即当BE=4时，CE将平行AF，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定．19．（8分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足ac+a(1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题．(2)如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，请求∠A的度数．(3)如图2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．请证明△ABC为“类勾股三角形”．【答案】(1)假(2)45°(3)见解析【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识．（1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可；（2）根据题意得到a=c，根据“类勾股三角形”的定义得到ac+a2=b2（3）在线段AB上取一点D，使AD=CD，连CD，过C作CE⊥AB交AB于E，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到∠CDB=∠B，根据等腰三角形的性质得到DE=BE=12(c−a)【详解】（1）解：在类勾股△ABC中，ab+a在Rt△ABC中，∠C=90°由勾股定理得：b2∴ab+a∴a=b，∴当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形，∴命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题，故答案为：假；（2）解：∵AB=BC，AC>AB，∴a=c，b>c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a∴c∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=45°；（3）证明：在线段AB上取一点D，使AD=CD，连CD，过C作CE⊥AB交AB于E，∵AD=CD，∴∠ACD=∠A，∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A，∵∠B=2∠A，∴∠CDB=∠B，∴CD=CB=a，∴AD=CD=a，∵BC=a，AB=c，∴DB=AB−AD=c−a，∵CE⊥AB，∴DE=BE=1∴AE=AD+DE=a+1在Rt△ACE中，C在Rt△BCE中，C∴b整理得b2∴△ABC是“类勾股三角形”．20．（8分）（2026九年级下·重庆·专题练习）为加强国家安全知识普及情况，某校八、九年级部分学生参加了安全教育知识竞赛活动．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用x表示，单位：分）分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．90≤x≤100；B．80≤x＜90；C．70≤x＜下面给出了部分信息：九年级20名学生的竞赛成绩为：100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57．八年级B等级的学生竞赛成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82．八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差九年级87.590a100.05八年级87.5b8863.25根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中，a=___________，b=___________，m=___________；(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）：(3)该校八年级有1200名学生、九年级有900名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是多少？【答案】(1)90，88.5，45(2)我认为九年级学生的竞赛成绩较好，理由见解析(3)估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共1035人【分析】（1）根据众数定义结合九年级20名学生的成绩得到a=90，对于八年级，先计算得到八年级C等级、D等级的人数，然后计算出A等级人数，最后根据中位数定义求出b=88.5，由此次一共抽取了八年级20名学生的竞赛成绩，A等级人数为9人，求出m=45；（2）在平均数相同的情况下，根据九年级学生竞赛成绩中位数90大于八年级学生竞赛成绩中位数88.5，得出九年级学生的竞赛成绩较好；（3）根据九年级20名学生中，A等级人数有11人，八年级20名学生中，A等级人数有9人，进行估计即可．【详解】（1）解：∵九年级20名学生的竞赛成绩为：100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57．∴九年级20名学生的竞赛成绩的众数为90，即a=90，∵此次一共抽取了八年级20名学生的竞赛成绩，又∵C等级、D等级分别占10%、5%，∴C等级人数：20×10%D等级人数：20×5%∵B等级人数为8人，∴A等级人数：20−1−2−8=9（人），将成绩从高至低排列，第10人的成绩为89，第11人的成绩为88，∴八年级20名学生的竞赛成绩的中位数为88+89÷2=88.5即b=88.5，∵此次一共抽取了八年级20名学生的竞赛成绩，A等级人数为9人，∴m%∴m=45，∴a=90，b=88.5，m=45；故答案为：90，88.5，45；（2）解：我认为九年级学生的竞赛成绩较好，理由如下：在八年级和九年级学生的竞赛成绩平均数均为87.5的情况下，九年级学生竞赛成绩中位数90大于八年级学生竞赛成绩中位数88.5，所以九年级学生的竞赛成绩较好；（3）解：∵九年级20名学生中，A等级人数有11人，又∵八年级20名学生中，A等级人数有9人，∴估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数：1200×9答：估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共1035人．【点睛】本题考查了调查数据的分析与整理，准确地理解相关概念是解题的关键．21．（10分）（25-26八年级上·河南平顶山·月考）（1）如图1，长方体的长AB为4cm，宽BC为3cm，高AE为（2）如图1，现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为241 cm（3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为12cm，底面周长为12cm，在容器内壁离底部5cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿1cm与饭粒相对的点【答案】（1）该长方体中能放入木棒的最大长度是13 cm【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．（1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可．（2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可；（3）将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是：32（2）不正确，理由如下：①如图，AG=4+12②如图，AG=3+12③如图，AG=3+4∵265∴最短路程为193cm（3）∵高为12cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部5cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿1将容器沿侧面展开，作点A关于EF的对称点A′∴A连接A′B，则∴A故答案为：10．22．（10分）（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料：1和4为两个相邻的整数，4−1=3=2×1+1；4和9为两个相邻的整数，9−4=5=2×2+1；9和16为两个相邻的整数，16−9=7=2×3+1；…小海发现结论：若a和b为相邻的两个整数，其中a<b，则有b−a=2a根据题意，得b−a=1根据二次根式的性质a2=a，可以在等式两边同时平方，得整理得b−a=2a请根据以上材料，解决以下问题：(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．(2)若m和m+11为两个相邻整数，则m的值是．(3)若n和n+216为相差4的两个整数，求n的值．【答案】(1)((2)25(3)n=625【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．(1)根据证明过程补全即可；(2)根据已知结论，得出m+11−m=2m+1，求出(3)根据题意，得n+4=【详解】（1）解：根据题意，得a+1=等式两边同时平方，得(a整理得b−a=2a故答案为：(a（2）解：由题意可知，m+11−m=2m∴m=5，即m=25故答案为：25.（3）解：根据题意，得n+4=等式两边同时平方，得(n整理得：(∴n+8n∴n=25∴n=625．23．（12分）（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=34x+6的图象分别与x轴和y轴交于点A，B，经过点B的直线与x轴正半轴交于点C，且OB=OC，点D(1)直接写出A，B，C三点的坐标及直线BC的表达式；(2)过点D作x轴的垂线，交直线AB于点E，交直线BC于点F，设点D的横坐标为m．①当EF=12AD②在点D的运动过程中，当△EBC的面积为14时，请直接写出点E的坐标．【答案】(1)A−8,0，B0,6，C(2)①m=165或−169；②点E【分析】（1）令x=0和y=0，计算即可求得各点坐标，利用待定系数法即可求得直线BC的表达式；（2）①由题意得Dm,0，Em,34m+6，Fm,−m+6，求得②分两种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可求解．【详解】（1）解：令x=0，则y=6，令y=0，则x=−8，∴A−8,0，B∵OB=OC