人教版数学八年级下册 期末考试必考题型（一）-运算化简与求值（5大考点8类题型） 同步练习 含答案

期末考试必考题型（一）——运算化简与求值（5大考点8类题型）目录TOC\o"1-2"\h\u一.必考点知识回顾 1【考点一】二次根式的运算解题步骤 1【考点二】勾股定理求边长 2【考点三】一次函数与坐标轴交点坐标 2【考点四】一次函数与二元一次方程（组） 2【考点五】一次函数与一元一次不等式（组） 2二.必考题型精析 3【题型1】二次根式的混合运算（8题） 3【题型2】二次根式的化简求值（8题） 4【题型3】勾股定理直接求边长（8题） 6【题型4】勾股定理与二次根式运算综合（8题） 7【题型5】一次函数与坐标轴交点坐标计算（8题） 9【题型6】一次函数与二元一次方程组的解（8题） 11【题型7】一次函数与一元一次不等式（组）的求解（8题） 13【题型8】含参数的一次函数综合计算（8题） 15一.必考点知识回顾【考点一】二次根式的运算解题步骤先化简：把所有二次根式全部化成最简二次根式；先乘除：按照运算顺序，先算二次根式的乘除，能约分、能用公式的直接用；后加减：找出同类二次根式，只合并同类二次根式，不同类保留原样；4、最后整理：结果必须化成最简二次根式，分母不含根号、能开尽方的全部开出来。【考点二】勾股定理求边长1、已知两条直角边→求斜边2、已知斜边和一条直角边→求另一条直角边3、直角三角形含未知数边长→列勾股方程解方程求边长【考点三】一次函数与坐标轴交点坐标1、求与轴交点：设，求出的值，写出坐标；2、求与轴交点：设，解一元一次方程求出，写出坐标3、规范写出两个交点坐标。【考点四】一次函数与二元一次方程（组）1、一次函数与二元一次方程的对应关系任意二元一次方程都可变形为的形式，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线；直线上的每一个点坐标，都是对应二元一次方程的解；反之，二元一次方程的每一组解为坐标的点，都在对应的直线上。2、一次函数与二元一次方程组的对应关系二元一次方程组对应两个一次函数和，也对应两条直线。从数的角度，解方程组，等价于当自变量为何值时，两个函数的函数值相等，以及这个相等的函数值是多少。从形的角度，解方程组，等价于确定两条直线交点的坐标（交点的横、纵坐标即为方程组的解）。【考点五】一次函数与一元一次不等式（组）从数的角度：解方程等价于一次函数的函数值大于0（或小于0）时，求自变量的取值范围。从形的角度：解不等式等价于一次函数的图象在轴上方（下方）时，对应点横坐标的取值范围。二.必考题型精析【题型1】二次根式的混合运算（8题）1．（24-25七年级下·重庆·期末）计算：（1）；（2）．2．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）计算：（1）；（2）．3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）计算：（1）；（2）．4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）计算：（1）；（2）．5．（25-26八年级上·四川达州·期末）计算：（1）；（2）．6．（25-26八年级上·河北保定·期末）计算：（1）；（2）．7．（25-26八年级上·福建三明·期末）计算．（1）；（2）．8．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）计算：（1）（2）【题型2】二次根式的化简求值（8题）1．（25-26八年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值：（1），其中．（2），其中．2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，分别求下列代数式的值：（1）；（2）．3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：已知，求的值．4．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）（1）计算；（2）已知，，求的值；（3）已知，求的值．5．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的：．请你参考小明的化简方法，解决如下问题：（1）化简：；（2）计算：；（3）若，求的值．6．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程：阅读材料，解答下列问题．材料：已知，求的值．小明同学是这样解答的：，这种方法称为“构造对偶式”．问题：已知．（1）求的值；（2）求x的值．7．（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：，．，即．．．请你根据小名的分析过程，解决如下问题：（1）计算：；（2）计算：；（3）若，求的值．8．（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知，求的值．小明是这样解答的：解：因为，所以，所以，即，所以所以请根据小明的解答过程，解决下列问题：（1）化简：________；（2）计算：；（3）若，求的值．【题型3】勾股定理直接求边长（8题）1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（

）A． B． C． D．2．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，作垂足为点．若，，则的长为（

）A． B． C． D．93．（24-25九年级·浙江温州·周测）如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为______．

4．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，点O为数轴的原点，数轴上点A表示的数为，作于点O，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点C，则数轴上点C表示的数为____．5．（2023·山东·中考真题）已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为________．6．（24-25八年级下·云南昆明·月考）在中，，所对的边分别为a、b、c．（1）已知，求a；（2）已知，求a、b．7．（25-26八年级上·山东·期末）计算（1）计算：．（2）如图，在中，，，是边上的中线，是边上的高，且．求的长．8．（24-25八年级上·江西吉安·期末）在一次课外实践活动中，同学们要知道校园内A，B两处的距离，但无法直接测得．已知校园内A、B、C三点形成的三角形如图所示，现测得，，，请计算A，B两处之间的距离．

【题型4】勾股定理与二次根式运算综合（8题）1．（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，计划在一块，的三角形空地上种植花卉，以美化环境．若米，则这个三角形的面积为（

）A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米2．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，现将三角形按如下三种方式折叠，分别记图①中的，图②中的，图③中的，则a，b，c之间的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）已知一个三角形工件尺寸（单位：）如图，高l的长为（

）A． B． C． D．4．（24-25八年级下·广西北海·期末）如图，过A作且，根据勾股定理，得；过作且，得；…以此类推，得__________．

5．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）已知：中，．点D在边上，过点D作垂直于于点E，．，点F在直线上，三角形中，，的面积等于______．6．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图1，在中，．某数学兴趣小组将三个与全等的三角形，类比“赵爽弦图”摆放得到图2所示，则________度．若，的面积为，则的面积是________．7．（24-25九年级上·重庆开州·期末）如图，菱形的边长为2，，是边上一点，将三角形沿翻折，点落在点处，交于点，则的长为________．8．（24-25七年级下·北京通州·期末）如果等腰直角三角形斜边上的高等于，那么连接这个三角形两条直角边中点的线段长等于_________．【题型5】一次函数与坐标轴交点坐标计算（8题）1．（25-26八年级下·河北沧州·期中）一次函数的图象与x轴的交点坐标为（）A． B． C． D．2．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，直线交坐标轴于点A，B，与坐标原点构成的向x轴正方向平移4个单位长度得，边与直线交于点E，则图中阴影部分面积为（

）A．8 B． C．9 D．3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则k的值为_______．4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________．5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且．（1）求直线的解析式；（2）求的面积．6．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点．（1）求点，的坐标．（2）求的面积．（3）点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标．7．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知一次函数，当时，；当时，．（1）求该一次函数解析式；（2）求函数图象与轴的交点坐标．8．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点．（1）求一次函数解析式；（2）点P是y轴上的点，若的面积为2，求此时P点的坐标．【题型6】一次函数与二元一次方程组的解（8题）1．（2026·安徽滁州·二模）已知直线（）与直线（）的交点在y轴上，则的值是（

）A．0 B． C． D．2．（2026·陕西安康·一模）已知直线与直线相交于点，则方程组，的解为（

）A． B． C． D．3．（2026八年级下·上海·专题练习）二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为______________．4．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）已知k为正数，直线与直线及x轴围成的三角形的面积为，则的值为______．5．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线：相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点．（1）求点、的坐标以及直线的解析式；（2）直接写出方程组的解．6．（25-26七年级下·山东淄博·期中）某一次函数图象表格如下：（1）试求出这个一次函数的解析式；（2）函数的图象与的图像交于点，且分别交轴，轴于、两点，，求方程组的解．7．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接．（1）求直线和的函数表达式；（2）当x取何值时，?（3）求的面积．8．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，直线：与直线：相交于点，直线，分别与轴交于，两点．（1）求，的值，并结合图象写出关于，的方程组的解；（2）为轴负半轴上的一点，且的面积为9，求点的坐标；（3）垂直于轴的直线与直线，分别交于点，．若线段的长为4，求出的值．【题型7】一次函数与一元一次不等式（组）的求解（8题）1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）一次函数与的图象如图所示，则的解集是______．4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图像交于点．（1）求m的值及一次函数的表达式；（2）结合图像直接写出：的解集．6．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接．（1）求出m、n的值；（2）直接根据图象写出关于x的不等式的解集；（3）将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式．7．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为．（1）则________，________；（2）关于x的不等式的解集是________；（3）将直线绕点D逆时针旋转后与x轴交于点P，求点P的坐标．8．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题：（1）关于的方程的解是；（2）关于的不等式的解集是；（3）当为何值时，？（4）直接写出关于的不等式组的解集．【题型8】含参数的一次函数综合计算（8题）1．（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（

）A． B．2 C．4 D．52．（2026·陕西渭南·一模）一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（

）A． B． C． D．3．（2026年宁夏回族自治区吴忠区初中学业水平调研九年级数学试卷）如图，在点，，，中，一次函数的图象不可能经过的点是________．4．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）直线不经过第二象限，则的取值范围是____________.5．（25-26八年级下·江苏南通·期中）已知：与成正比例，且当时，y的值为4．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点、点是该函数图象上的两点，其中，试比较、的大小，并说明理由；（3）将所得的函数图象平移，使它经过点，求平移后的函数解析式．6．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”．【初步探究】（1）如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式；【深入思考】（2）在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值．7．（2026·广东广州·一模）已知一次函数的图像经过点与．（1）求这个一次函数的解析式；（2）请从以下取值范围中选择一个：①；②；③，根据（1）中的函数解析式写出对应函数值的取值范围．8．（25-26八年级下·四川内江·期中）已知一次函数的图象经过，两点．（1）求，的值；（2）若一次函数的图象与轴的交点为，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积；（3）当时，求的取值范围．

期末考试必考题型（一）——运算化简与求值（5大考点8类题型）目录TOC\o"1-2"\h\u一.必考点知识回顾 1【考点一】二次根式的运算解题步骤 1【考点二】勾股定理求边长 1【考点三】一次函数与坐标轴交点坐标 2【考点四】一次函数与二元一次方程（组） 2【考点五】一次函数与一元一次不等式（组） 2二.必考题型精析 2【题型1】二次根式的混合运算（8题） 3【题型2】二次根式的化简求值（8题） 7【题型3】勾股定理直接求边长（8题） 15【题型4】勾股定理与二次根式运算综合（8题） 20【题型5】一次函数与坐标轴交点坐标计算（8题） 28【题型6】一次函数与二元一次方程组的解（8题） 33【题型7】一次函数与一元一次不等式（组）的求解（8题） 41【题型8】含参数的一次函数综合计算（8题） 49一.必考点知识回顾【考点一】二次根式的运算解题步骤先化简：把所有二次根式全部化成最简二次根式；先乘除：按照运算顺序，先算二次根式的乘除，能约分、能用公式的直接用；后加减：找出同类二次根式，只合并同类二次根式，不同类保留原样；4、最后整理：结果必须化成最简二次根式，分母不含根号、能开尽方的全部开出来。【考点二】勾股定理求边长1、已知两条直角边→求斜边2、已知斜边和一条直角边→求另一条直角边3、直角三角形含未知数边长→列勾股方程解方程求边长【考点三】一次函数与坐标轴交点坐标1、求与轴交点：设，求出的值，写出坐标；2、求与轴交点：设，解一元一次方程求出，写出坐标3、规范写出两个交点坐标。【考点四】一次函数与二元一次方程（组）1、一次函数与二元一次方程的对应关系任意二元一次方程都可变形为的形式，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线；直线上的每一个点坐标，都是对应二元一次方程的解；反之，二元一次方程的每一组解为坐标的点，都在对应的直线上。2、一次函数与二元一次方程组的对应关系二元一次方程组对应两个一次函数和，也对应两条直线。从数的角度，解方程组，等价于当自变量为何值时，两个函数的函数值相等，以及这个相等的函数值是多少。从形的角度，解方程组，等价于确定两条直线交点的坐标（交点的横、纵坐标即为方程组的解）。【考点五】一次函数与一元一次不等式（组）从数的角度：解方程等价于一次函数的函数值大于0（或小于0）时，求自变量的取值范围。从形的角度：解不等式等价于一次函数的图象在轴上方（下方）时，对应点横坐标的取值范围。二.必考题型精析【题型1】二次根式的混合运算（8题）1．（24-25七年级下·重庆·期末）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）解：（1）解：；（2）解：．2．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）计算：（1）；（2）．【答案】（1）2；（2）【分析】（1）先分母有理化，再根据二次根式的性质、立方根的定义化简，再合并即可；（2）先根据负整数指数幂、完全平方公式、绝对值的意义计算，再合并即可．解：（1）解：；（2）解：．3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）10【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后按照二次根式加减运算法则进行计算即可；（2）根据平方差公式和二次根式除法运算法则进行计算即可．解：（1）解：；（2）解：．4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）计算：（1）；（2）．【答案】（1）7；（2）【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值和乘方的意义计算，然后把化简后进行有理数的加减运算；（2）先去括号（进行二次根式的乘法和除法运算），再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．解：（1）解：（2）解：．5．（25-26八年级上·四川达州·期末）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的相关运算法则是解题的关键．（1）根据二次根式混合运算的运算顺序，先算乘除，再将二次根式化成最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得出结果；（2）直接运用平方差公式和完全平方公式计算即可．解：（1）解：原式；（2）解：原式．6．（25-26八年级上·河北保定·期末）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查二次根式的化简与加减乘除运算．（）先将每个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并计算；（）先分别完成二次根式的乘法、除法运算并化简，再合并被开方数相同的二次根式得出结果．解：（1）解：；（2）解：．7．（25-26八年级上·福建三明·期末）计算．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是关键．（1）先算二次根式的乘法，再算二次根式的加减即可；（2）先计算完全平方公式及二次根式的乘法，再算二次根式的加减即可．解：（1）解：原式；（2）解：原式．8．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）计算：（1）（2）【答案】（1）5；（2）【分析】本题考查实数的混合运算及二次根式混合运算，熟练掌握二次根式化简，绝对值，零次幂，平方差公式的计算是解题的关键，（1）化简二次根式，进行绝对值，零次幂运算即可得到答案；（2）进行二次根式除法及平方差公式计算即可得到答案．解：（1）解：．（2）解：．【题型2】二次根式的化简求值（8题）1．（25-26八年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值：（1），其中．（2），其中．【答案】（1），；（2），【分析】本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）先对分式进行化简，然后代数求值即可；（2）先对分式进行化简，然后代数求值即可．解：（1）解：将代入上式得，原式；（2）解：将代入上式得，原式．2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，分别求下列代数式的值：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可；（）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解；本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键．解：（1）解：∵，，∴，，∴；（2）解：∵，，∴，，∴．3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：已知，求的值．【答案】；【分析】本题主要考查的是分母有理化，能够利用完全平方公式对所求代数式进行变形是解题的关键．先对原式进行化简，再代入求值即可．解：；当时，原式．4．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）（1）计算；（2）已知，，求的值；（3）已知，求的值．【答案】（1）；（2）6；（3）54【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的混合运算，熟知平方差公式是解题的关键．（1）根据平方差公式求解即可；（2）根据已知条件和平方差公式可得，据此可得答案；（3）设，则可推出，根据题意可得，则，据此可得答案．解：（1）；（2）∵，，∴，∵，∴；（3）设，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．5．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的：．请你参考小明的化简方法，解决如下问题：（1）化简：；（2）计算：；（3）若，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；（1）根据题意可直接进行分母有理化；（2）根据分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减运算可进行求解即可；（3）先分母有理化，可得，可得，然后再进行代值求解．解：（1）解：；（2）解：；（3）解：∵，∴，∴，∴，∴．6．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程：阅读材料，解答下列问题．材料：已知，求的值．小明同学是这样解答的：，这种方法称为“构造对偶式”．问题：已知．（1）求的值；（2）求x的值．【答案】（1）2；（2）【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键：（1）根据题干给定的方法，进行求解即可；（2）将两式相加后，利用平方法解方程即可．解：（1）解：，，，的值为2；（2）由（1）得：，，，，，，经检验，是原方程的解．7．（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：，．，即．．．请你根据小名的分析过程，解决如下问题：（1）计算：；（2）计算：；（3）若，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可；（2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可；（3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可．解：（1）解：；（2）解：，，，，；（3）解：，，，即，．8．（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知，求的值．小明是这样解答的：解：因为，所以，所以，即，所以所以请根据小明的解答过程，解决下列问题：（1）化简：________；（2）计算：；（3）若，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键．（1）直接利用分母有理化即可解答；（2）先利用分母有理化得到规律，再根据规律化简，然后再计算即可；（3）先分母有理化可得，即，进而得到，再对变形，然后将整体代入计算即可．解：（1）解：．故答案为：．（2）解：，∴．（3）解：，∴，∴，即，∴，∴．【题型3】勾股定理直接求边长（8题）1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据中垂线的性质可得，利用勾股定理求出，结合即可求解．解：设边的中垂线为，，，，，，．2．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，作垂足为点．若，，则的长为（

）A． B． C． D．9【答案】C【分析】过点E作于点，由题意易得平分，根据角平分线性质得，根据勾股定理得，再由等腰三角形三线合一得．解：过点E作于点，由题意得平分，，，，，，，，故选：C．3．（24-25九年级·浙江温州·周测）如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为______．

【答案】【分析】先利用勾股定理求出，根据，点M表示的数为，由此即可解决问题．解：由已知可得，在中，，，点M表示的数为．4．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，点O为数轴的原点，数轴上点A表示的数为，作于点O，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点C，则数轴上点C表示的数为____．【答案】【分析】根据题意可以得到，然后根据勾股定理即可求得的长，然后根据、，即可表示出点C表示的数．解：点A表示的数为，，于点O，是等腰直角三角形，，由题意得，，数轴上点C表示的数为，故答案为：．5．（2023·山东·中考真题）已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为________．【答案】10或【分析】题中未明确已知两边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长．解：分两种情况计算：当和都为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理得：第三边长；当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理得：第三边长．综上，第三边长为10或．6．（24-25八年级下·云南昆明·月考）在中，，所对的边分别为a、b、c．（1）已知，求a；（2）已知，求a、b．【答案】（1）；（2），【分析】（1）由勾股定理计算即可得出答案；（2）由含角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理计算即可．解：（1）解：由勾股定理得：；（2）解：∵在中，，，∴，∴．7．（25-26八年级上·山东·期末）计算（1）计算：．（2）如图，在中，，，是边上的中线，是边上的高，且．求的长．【答案】（1）；（2）1.4【分析】本题考查了实数的混合运算，勾股定理，掌握相关运算方法是关键．（1）先算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再计算各项即可；（2）先证明是直角三角形，再根据等面积法即可求出的长，根据勾股定理求出的长即可求解．解：（1）解：原式．（2）是边上的中线，．．又，，．是直角三角形．又是的高，∴，．在中，由勾股定理得，，．8．（24-25八年级上·江西吉安·期末）在一次课外实践活动中，同学们要知道校园内A，B两处的距离，但无法直接测得．已知校园内A、B、C三点形成的三角形如图所示，现测得，，，请计算A，B两处之间的距离．

【答案】A，B两处之间的距离为10米【分析】过作于构造直角三角形，在两个直角三角形中分别求得、，相减即可求得的长．解：过作于，，，，，，在中，，，即，两处之间的距离为10米．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是作出钝角三角形的高，从而构造两个直角三角形，利用勾股定理解之．【题型4】勾股定理与二次根式运算综合（8题）1．（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，计划在一块，的三角形空地上种植花卉，以美化环境．若米，则这个三角形的面积为（

）A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米【答案】A【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，化为最简二次根式，过点A作交与点D．利用等腰三角形的性质以及勾股定理可求出，最后根据三角形的面积求解即可．解：过点A作交与点D．∵，，∴，，∴，，∴（平方米），故选：A．2．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，现将三角形按如下三种方式折叠，分别记图①中的，图②中的，图③中的，则a，b，c之间的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查折叠的性质，勾股定理，先由②得，求出，得，勾股定理求出，根据折叠的性质求出a，b，c的值即可比较．解：由②得，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由折叠得，，图3中，∴，，∴，∵，，∴，故选：D．3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）已知一个三角形工件尺寸（单位：）如图，高l的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理，过点A作于D，设，则，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案．解：如图所示，过点A作于D，设，则，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴高l的长为，故选：B．4．（24-25八年级下·广西北海·期末）如图，过A作且，根据勾股定理，得；过作且，得；…以此类推，得__________．

【答案】【分析】利用勾股定理求出，观察可知、、，找出规律：，进而求出．解：由勾股定理得∵，，……，以此类推可知，∴故答案为：．【点拨】本题为考查勾股定理和图形类的规律探索，难度不大，熟练掌握勾股定理以及找到图形之间的规律是解题关键．5．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）已知：中，．点D在边上，过点D作垂直于于点E，．，点F在直线上，三角形中，，的面积等于______．【答案】5或15/15或5【分析】过点A作于点G，过点B作于H，先根据三角形外角的性质证明，得出，再利用证明，推导出，设，利用勾股定理可得x的长，最后由三角形的面积公式即可解答．解：如图，过点A作于点G，过点B作于H，则，，，，，，，，，，又，，，，∴，，，，，是等腰直角三角形，，设，则，在中，，，，，由勾股定理得：，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，综上，的面积等于5或15．故答案为：5或15．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，二次根式等知识，解题的关键是添加辅助线构造．6．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图1，在中，．某数学兴趣小组将三个与全等的三角形，类比“赵爽弦图”摆放得到图2所示，则________度．若，的面积为，则的面积是________．【答案】【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；过点，作，垂足为点，根据，进而求解的度数，从而证明为等边三角形，根据勾股定理，求解的长度，进而求解；解：过点作，垂足为点，，且，，且为等边三角形，在图（1）作，垂足为，，设，，，，，，，，即，解得，（负值舍去），，，，，，在中；为等边三角形，，∴在中，，∴，∴；故答案为：；．7．（24-25九年级上·重庆开州·期末）如图，菱形的边长为2，，是边上一点，将三角形沿翻折，点落在点处，交于点，则的长为________．【答案】/【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，图形的折叠问题．设，根据菱形的性质可得，再根据折叠的性质可得，是等腰直角三角形，从而得到，再由，求出x的值，即可求解．解：设，∵菱形的边长为2，，∴，由折叠的性质得：，∵，∴，是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，解得：（负值舍去），∴，∴．故答案为：8．（24-25七年级下·北京通州·期末）如果等腰直角三角形斜边上的高等于，那么连接这个三角形两条直角边中点的线段长等于_________．【答案】5【分析】作出图形，根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后利用勾股定理求解即可．解：如图所示，由题意得，，，∴，∴，∵点E，F分别是，的中点，∴，∴．故答案为：5．【点拨】此题考查了等腰三角形的性质：三线合一，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【题型5】一次函数与坐标轴交点坐标计算（8题）1．（25-26八年级下·河北沧州·期中）一次函数的图象与x轴的交点坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数图象与x轴交点坐标的求解，x轴上所有点的纵坐标都为0，只需令代入解析式求出x，即可得到交点坐标．解：∵x轴上点的纵坐标为0，∴令，代入得，解得，∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为．2．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，直线交坐标轴于点A，B，与坐标原点构成的向x轴正方向平移4个单位长度得，边与直线交于点E，则图中阴影部分面积为（

）A．8 B． C．9 D．【答案】D【分析】根据一次函数解析式求出一次函数与坐标轴交点坐标，从而求得，再根据平移性质，得出，把代入，从而得出点E的坐标，即可得出，根据平移得出，由，即可求解．解：令，则，∴，∴，由平移知，把代入得：，∴点E的坐标为，∴，由平移得，∴，∴．3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则k的值为_______．【答案】【分析】先根据一次函数解析式求出图象与x轴、y轴的交点坐标，再根据三角形面积为3列出含绝对值的方程，求解即可得到k的值．解：在中，当时，；当时，，的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，由题意可得：，整理得，解得，经检验，均是原分式方程的解，∴k的值为．4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________．【答案】【分析】分别令和，求出直线与轴、轴的交点坐标，进而得到两条直角边、的长度，根据勾股定理计算斜边的长度，将、、的长度相加，得到的周长．解：令，代入直线方程，得，∴点的坐标为，；令，代入直线方程，得，解得，∴点的坐标为，则；∵是直角三角形，∴；∴的周长为．5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且．（1）求直线的解析式；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）3【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先根据直线的解析式求出点A的坐标，再根据三角形面积公式求解．解：（1）解：将，代入，得：，解得，直线的解析式为；（2）解：令，解得，，，，．6．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点．（1）求点，的坐标．（2）求的面积．（3）点为轴上一动点，当时，直接写出点的坐标．【答案】（1），；（2）6；（3）点C的坐标为或．【分析】（1）分别令x、y为0，代入解析式求出对应的y、x值即可得到点A、B坐标；（2）根据三角形面积公式代入数据计算即可；（3）设点C的坐标为，先求出长，再解得m值即可．解：（1）解：在中，当时，；当时，，∴，；（2）解：；（3）解：设点C的坐标为，由勾股定理得，∵，∴或．∴点C的坐标为或．7．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知一次函数，当时，；当时，．（1）求该一次函数解析式；（2）求函数图象与轴的交点坐标．【答案】（1）；（2）【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式；（2）因为轴上的点的纵坐标为，所以当时，可得：，解方程求出，即可得到函数图象与轴的交点坐标．解：（1）解：当时，；当时，，可得：，解得：，一次函数的解析式为：；（2）解：当时，可得：，解得：，函数图象与轴的交点坐标为：.8．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于、两点．（1）求一次函数解析式；（2）点P是y轴上的点，若的面积为2，求此时P点的坐标．【答案】（1）；（2）P点的坐标为或【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）设，根据三角形的面积为2建立方程，解方程即可求解．解：（1）解：将、代入，得，解得，，故一次函数的解析式为．（2）设，、，解得，或，故点的坐标为或．【题型6】一次函数与二元一次方程组的解（8题）1．（2026·安徽滁州·二模）已知直线（）与直线（）的交点在y轴上，则的值是（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】交点在y轴上，可知交点横坐标为0，将分别代入两条直线方程，利用交点纵坐标相等得到m与n的关系，再代入所求代数式计算即可．解：∵两直线的交点在y轴上，∴交点的横坐标，将代入，得，将代入，得，∵交点是同一个点，纵坐标相等，∴，又，，将代入得：．2．（2026·陕西安康·一模）已知直线与直线相交于点，则方程组，的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解．先将点代入直线的解析式求出的值，再根据一次函数与二元一次方程组的关系，直接得到方程组的解．解：点在直线上，把，代入，得解得直线与的交点为直线可化为，直线可化为，方程组的解就是两直线交点的坐标，即3．（2026八年级下·上海·专题练习）二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为______________．【答案】解：由题意，∵二元一次方程组的解为对应一次函数的图象的交点的横坐标与纵坐标，∴二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为．4．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）已知k为正数，直线与直线及x轴围成的三角形的面积为，则的值为______．【答案】【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出两直线与x轴的交点坐标，进而可得出两点间的距离，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点坐标，然后根据三角形的面积公式计算即可．解：对直线，当时，有，解得：，∴直线与x轴的交点坐标为，同理可得出：直线与x轴的交点坐标为，∴两直线与x轴交点间的距离，联立：，解得：，∴两直线的交点坐标为，∴．5．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线：相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点．（1）求点、的坐标以及直线的解析式；（2）直接写出方程组的解．【答案】（1）；；；（2）【分析】（1）令可得坐标，把点代入直线可得点，然后利用待定系数法得出函数解析式即可；（2）根据题意及图象可直接进行求解．解：（1）解：由直线得，当时，解得，，将点代入直线中得，即，，把代入直线得，解得，直线的解析式为；（2）解：由已知可知方程组的解为直线与直线：交点M的横纵坐标、纵坐标，故方程组的解为．6．（25-26七年级下·山东淄博·期中）某一次函数图象表格如下：（1）试求出这个一次函数的解析式；（2）函数的图象与的图像交于点，且分别交轴，轴于、两点，，求方程组的解．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）依据题意，结合表格数据可得，求出，后即可得解；（2）先求得，分两种情况讨论，①点在上，②点在的延长线上，分别根据三角形的面积公式求得点的纵坐标，再代入一次函数解析式，求得点的横坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．解：（1）解：由题意，根据表格数据可得，解得：∴（2）当时，，∴，则当时，，解得：∴，则∴当在线段上时，作轴于，如图，，∴即∴当时，解得：∴方程组的解为．当点在的延长线上时，如图，∴即∴当时，解得：∴方程组的解为．综上所述，方程组的解为或7．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接．（1）求直线和的函数表达式；（2）当x取何值时，?（3）求的面积．【答案】（1）：；：；（2）；（3）15【分析】（1）利用待定系数法解题即可；（2）先求出点坐标，然后结合图形，可知时，；（3）先求出点，利用即可求出答案．解：（1）解：∵直线：与y轴交于点，∴，∴直线的表达式为：；∵直线：经过点和点，∴，∴，∴直线的表达式为：；（2）解：联立，解得，∵直线与相交于点D，∴点，结合图像可知时，；（3）解：将代入直线：，得到，解得，∵直线与轴交于点；∴点，∵，∴，∴的面积．8．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，直线：与直线：相交于点，直线，分别与轴交于，两点．（1）求，的值，并结合图象写出关于，的方程组的解；（2）为轴负半轴上的一点，且的面积为9，求点的坐标；（3）垂直于轴的直线与直线，分别交于点，．若线段的长为4，求出的值．【答案】（1），，；（2）点的坐标为；（3）或【分析】（1）把代入，可求出a的值，把代入，可求出b的值，再利用图象法可求出方程组的解；（2）求出点．设点，则的长为，利用三角形的面积公式解答即可；（3）根据题意可得点M，N的坐标，即可求解．解：（1）解：点在直线：上，把，代入，得，解得．点在直线：上，把，代入，得，解得．两直线的交点坐标即为对应方程组的解，方程组的解为；（2）解：对于直线：，令，则，解得，点．设点，则的长为，，解得，点的坐标为．（3）解：直线与交于点，与交于点，线段的长为，即，解得或．【题型7】一次函数与一元一次不等式（组）的求解（8题）1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解．解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，，故正确．2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】找到直线在直线上方且在轴下方，所对应的的范围即可．解：由图象可知，关于x的不等式的解集为．3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）一次函数与的图象如图所示，则的解集是______．【答案】解：由图象可知，的解集，即的解集为.4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．【答案】【分析】根据函数图象，可以得到当时，函数图象在的图象下方，从而得出的解集．解：根据函数图象可知，当时，函数图象在的图象下方，∴关于的不等式的解集为．5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图像交于点．（1）求m的值及一次函数的表达式；（2）结合图像直接写出：的解集．【答案】（1），；（2）【分析】（1）把代入，求出的值，待定系数法求出函数解析式即可；（2）直接利用图像法进行求解即可.解：（1）解：把代入，得，解得，∴，把，代入，得：，解得，∴；（2）解：由图像可知：的解集为.6．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接．（1）求出m、n的值；（2）直接根据图象写出关于x的不等式的解集；（3）将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值，于是可得点，将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值；（2）根据函数图象即可直接得出答案；（3）设点E坐标为，先求出直线与轴的交点，再求出直线与轴的交点、与轴的交点，进而可求出、的长，然后求出，判断出点在第二象限，根据列出方程求解即可得到点的坐标，即可解答．解：（1）解：∵直线：经过，∴，解得，，将代入直线，得：，解得，，；（2）解：根据图象可以看出，关于x的不等式的解集为；（3）解：由（1）得直线的解析式为，设点E坐标为，令，解得，∴，令，解得，∴，∴，将代入，则，∴，∴，∴，∵的面积为6，且，∴点E在第二象限，∴∴．∴，则，∴点E坐标为，设直线平移后的解析式为，则，解得，∴平移后的直线表达式为．7．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为．（1）则________，________；（2）关于x的不等式的解集是________；（3）将直线绕点D逆时针旋转后与x轴交于点P，求点P的坐标．【答案】（1）3，；（2）；（3）【分析】（1）先把代入直线，求出n的值，确定点D坐标；再把B、D两点坐标代入一次函数，利用待定系数法直接求出k、b．（2）把连不等式拆成两部分，先由两直线交点判断的范围，再解求出取值范围；最后取两个范围的公共部分，就是不等式解集．（3）先求出直线与x轴交点C；过点作垂线构造等腰直角三角形，用一线三直角证三角形全等，求出辅助点坐标；再用待定系数法求旋转后直线解析式，令，求出与x轴交点P坐标．解：（1）∵点在直线上，∴，即．∵一次函数经过点和，∴将代入，得；将代入，得，解得．∴，．（2）解：∵，∴函数图像上的点在函数图像上的点的上方，∵两函数的交点为，∴结合图像可得：．∵，∴函数图像上的点在轴及下方，∵直线与轴的交点为，∴结合函数图像可得：．∴关于的不等式的解集为．（3）解：∵直线的解析式为，令，得，解得，即点的坐标为．将直线绕点D逆时针旋转后与x轴交于点P，得直线，过点作轴于点，．过点作，交直线于点，，，是等腰直角三角形，．过点作轴于点，，，又，．在和中：．，．，．点的横坐标：，纵坐标：，即．设直线的解析式为，把，代入得：解得．直线解析式为．令，则，解得．点的坐标为．8．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题：（1）关于的方程的解是；（2）关于的不等式的解集是；（3）当为何值时，？（4）直接写出关于的不等式组的解集．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）直线与x轴的交点的横坐标即为关于的方程的解，据此可得答案；（2）根据函数图象找到一次函数的函数值小于1时自变量的取值范围即可得到答案；（3）找到一次函数的函数图象在一次函数的图象下方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案；（4）根据函数图象分别求出不等式和的解集即可得到答案．解：（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点，∴关于的方程的解是；（2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是；（3）解：由函数图象可知，当，；（4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为，∴关于的不等式组的解集为．【题型8】含参数的一次函数综合计算（8题）1．（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（

）A． B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】先解分式方程，根据解为非负数且不是增根得到a的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、三象限的性质得到a的另一个范围，找出范围内所有符合条件的整数a，求和得到结果．解：