人教版数学八年级下册 期末压轴专题05 一次函数的综合五类综合题型（压轴题专项训练） 同步练习 含答案

期末压轴专题05一次函数的综合五类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、一次函数的图象和性质类型二、一次函数的图象共存问题类型三、一次函数与方程（组）、不等式类型四、利用一次函数解决实际问题类型五、一次函数与几何综合问题压轴专练类型一、一次函数的图象和性质**方法总结**1.**图象特征**：一次函数y=kx+b图象为直线，k决定方向（k>0上升，k<0下降），b决定与y轴交点(0,b)。2.**性质应用**：|k|越大直线越陡；两直线平行则k相等；b相等则交于y轴同点。**解题技巧**1.**画草图**：根据k、b正负快速画出直线位置（过哪几个象限）。2.**待定系数法**：已知两点或一点加k可确定解析式。例1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（

）A．y的值随x值的增大而减小B．该函数的图象经过第一、二、三象限C．点一定在函数图象上D．和是图象上两点，则【变式1-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（

）A．函数图象经过点B．函数图象与y轴的交点坐标是C．函数的图象不经过第一象限D．函数图象向左平移4个单位得到函数的图象【变式1-2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（

）A．它的图象与轴的交点为B．函数值随自变量的增大而减小C．当时，D．它的图象经过第一、二、三象限【变式1-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象与坐标轴围成的面积为8，则下列关于一次函数的结论错误的是（

）A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象经过第二、三、四象限C．函数图象与x轴的交点坐标是 D．函数图象可由函数的图象平移得到类型二、一次函数的图象共存问题**方法总结**1.**符号一致**：多个一次函数图象（y=kx+b）在同一坐标系中，其k、b的符号应满足图象位置（如过象限）的一致性。2.**代入检验**：取满足其中一个图象的参数值，代入其他函数解析式，验证图象位置是否矛盾。**解题技巧**1.**先定范围**：根据一个图象的位置（如过一、二、四象限）确定参数的初步取值范围。2.**同步验证**：用该范围同时检验所有图象是否合理，排除矛盾情形。例2．（25-26七年级上·山东济南·期末）将一次函数与（、均不为0）的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【变式2-1】（25-26八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（

）A．B．C． D．【变式2-3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．B．C． D．类型三、一次函数与方程（组）、不等式**方法总结**1.**方程与函数**：一次函数y=kx+b的图象与x轴交点横坐标即方程kx+b=0的解。2.**不等式与函数**：函数图象在x轴上方部分对应kx+b>0的解集，下方部分对应kx+b<0的解集。**解题技巧**1.**数形结合**：画出函数图象，交点即方程解，上下位置即不等式解集。2.**联立方程组**：两图象交点坐标即对应二元一次方程组的解。例3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点．(1)求点P的坐标及的面积；(2)利用图象直接写出当时，x取值范围．【变式3-1】（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C．(1)求k，b的值；(2)关于x，y的方程组的解为；(3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长．【变式3-2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点．(1)求一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出不等式的解集，(3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式．【变式3-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与坐标轴交于，两点，与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点．(1)求，的值；(2)直接写出方程组的解为__________；(3)求的面积．类型四、利用一次函数解决实际问题**方法总结**1.**建模列式**：分析问题，确定自变量与函数，根据已知条件建立一次函数关系式。2.**解模作答**：利用一次函数性质（增减性）求最值，结合实际意义（整数、范围）确定答案。**解题技巧**1.**列表审题**：用表格整理变量对应关系，避免漏掉隐含条件。2.**草图辅助**：画出函数草图，直观判断增减趋势和临界点。例4．（25-26八年级上·安徽六安·期末）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍．(1)求、两种道具包的单价；(2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答）【变式4-1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离B地的距离与骑车时间的函数关系．(1)对应的函数表达式为_____，对应的函数表达式为_____；(2)求甲到达B地所用的时间；(3)求经过多少小时后两人相距．【变式4-2】（25-26八年级上·安徽池州·期末）综合与实践砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题，已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表：AB购进成本价（元/千克）106【问题解决】(1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润；(2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润．【变式4-3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）．已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍．(1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围；(2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元；(3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量．类型五、一次函数与几何综合问题**方法总结**1.**坐标转化**：设几何图形中关键点坐标为含参数的函数表达式，利用几何条件（如距离、垂直、平行）列方程。2.**数形结合**：画出函数图象与几何图形，分析交点、临界位置，将几何关系转化为代数运算。**解题技巧**1.**分类讨论**：根据动点位置或图形形状变化，分情况讨论，避免漏解。2.**设参列式**：设动点坐标为(x,kx+b)，代入距离公式或面积公式列方程求解。例5．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．(1)求直线对应的函数表达式；(2)求的长；(3)P为直线上一点，，求点P的坐标．【变式5-1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点．(1)分别求点的坐标；(2)连接求的面积；(3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-2】（25-26八年级上·四川达州·期末）如图1，已知直线：交x轴于，交y轴于．(1)求直线l的表达式；(2)如图2，直线的表达式为，点P为线段的中点，在直线上找一点Q，使得最小，并求出最小值；(3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求m的值．【变式5-3】（25-26九年级上·广东·期末）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点．(1)求点E的坐标；(2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S；(3)在（2）的条件下，点M是射线上的一点，点N为平面内一点，当四边形是正方形时，请求出此时的t值与点M的坐标．一、单选题1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）下列关于一次函数的叙述，结论正确的是（

）A．图象经过点 B．随的增大而减小C．图象经过第一、三、四象限 D．当时，2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知，则一次函数和在同一坐标系内的图象可能是（

）A． B．C． D．3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，将一个等腰直角三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（

）A．点A的坐标为B．的面积为16C．边所在直线的表达式为D．D点坐标为二、填空题4．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（填“”或“”）．5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________．6．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为(单位：)，如图2是与引流时间x(单位∶s)的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为_____．三、解答题7．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知和成正比，当时，．(1)求与的函数关系式；(2)当时，求的值．8．（25-26九年级上·河南周口·期末）洛阳牡丹甲天下，洛阳的牡丹饼也深受广大消费者的喜爱．已知某品牌牡丹饼销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元．(1)求每盒A种牡丹饼和每盒B种牡丹饼的销售利润各为多少元；(2)春节期间，某经销商打算一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，请你帮该经销商设计一种进货方案，使销售总利润最大，并求出最大利润．9．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为．(1)当为何值时，为直角三角形？(2)点为坐标平面内一点，当为何值时，以点、、、为顶点的四边形为菱形，并写出此时点的坐标．10．（25-26八年级上·河南郑州·期末）李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业忘在家里了，便骑车追赶李华，图中，分别表示了李华和爸爸离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系．(1)李华步行的速度为___________米/分，爸爸骑车的速度为___________米/分，点A表示的实际意义是___________．(2)分别求出的函数表达式(3)请通过计算说明爸爸能否在李华到达学校前追上李华？11．（25-26八年级上·四川成都·期末）直线：交轴于点，交轴于点．(1)求直线的解析式；(2)延长线段到点，使，轴上有一动点，当最小时，求点坐标；(3)定义：若四边形有两个内角是直角，则称该四边形是双直四边形．若轴上有一点，为平面内一点，当四边形是双直四边形时，求点的坐标．12．（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴交于点B．(1)求出点A和点B的坐标．(2)若点的坐标是，①是_______三角形（按角分类）．②点是轴上的点，若，请求出点的坐标．③在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

期末压轴专题05一次函数的综合五类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、一次函数的图象和性质类型二、一次函数的图象共存问题类型三、一次函数与方程（组）、不等式类型四、利用一次函数解决实际问题类型五、一次函数与几何综合问题压轴专练类型一、一次函数的图象和性质**方法总结**1.**图象特征**：一次函数y=kx+b图象为直线，k决定方向（k>0上升，k<0下降），b决定与y轴交点(0,b)。2.**性质应用**：|k|越大直线越陡；两直线平行则k相等；b相等则交于y轴同点。**解题技巧**1.**画草图**：根据k、b正负快速画出直线位置（过哪几个象限）。2.**待定系数法**：已知两点或一点加k可确定解析式。例1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（

）A．y的值随x值的增大而减小B．该函数的图象经过第一、二、三象限C．点一定在函数图象上D．和是图象上两点，则【答案】C【分析】本题考查一次函数的图像与性质，灵活运用一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性、图像经过的象限、点与函数图像的关系逐项判断即可．【详解】解：∵一次函数为，其中，，∴A．由，则的值随值的增大而增大，故A错误，不符合题意；B．由，，则该函数图像经过第一、三、四象限，故B错误，不符合题意；C．当时，，即点一定在函数图像上，故C正确，符合题意；D．由，随的增大而增大，且，即，故D错误，不符合题意．故选C．【变式1-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（

）A．函数图象经过点B．函数图象与y轴的交点坐标是C．函数的图象不经过第一象限D．函数图象向左平移4个单位得到函数的图象【答案】D【分析】本题考查一次函数的图象与性质，涉及函数上的点、与坐标轴交点、图象经过象限、函数平移等知识点，逐项分析判断即可得出答案．【详解】A、当时，，函数图象不经过点，此选项错误，不符合题意；B、当时，，函数图象与轴的交点坐标是，此选项错误，不符合题意；C、在中，，，函数图象经过第一、三、四象限，此选项错误，不符合题意；D、函数图象向左平移4个单位，根据“左加右减”的平移原则，平移后解析式为，此选项正确，符合题意；故选：D．【变式1-2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（

）A．它的图象与轴的交点为B．函数值随自变量的增大而减小C．当时，D．它的图象经过第一、二、三象限【答案】C【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的图象与性质对各选项逐一判断即可．【详解】解：对于一次函数，时，随的增大而增大，当时，，即图象与轴交点为，且时，图象经过第一、三、四象限，A选项：当时，，图象与轴交点为，故A错误，不符合题意；B选项：，随的增大而增大，故B错误，不符合题意；C选项：，，，即，故C正确，符合题意；D选项：，，图象经过第一、三、四象限，故D错误，不符合题意．故选：C．【变式1-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象与坐标轴围成的面积为8，则下列关于一次函数的结论错误的是（

）A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象经过第二、三、四象限C．函数图象与x轴的交点坐标是 D．函数图象可由函数的图象平移得到【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，一次函数的增减性和一次函数图象经过的象限，求出一次函数与坐标轴的交点坐标，结合围成的面积求出k的值，再根据一次函数的性质逐一判断选项正误．【详解】解：在中，当时，，当时，，∴一次函数（k为常数且）的图象与x轴、y轴分别交于点，∵一次函数（k为常数且）的图象与坐标轴围成的面积为8，∴，∴，∴一次函数的解析式为，∴函数值随自变量的增大而减小，函数图象经过第二、三、四象限，函数图象与x轴的交点坐标是，函数图象可由函数的图象平移得到，∴四个选项中只有C选项中的结论错误，符合题意，故选：C．类型二、一次函数的图象共存问题**方法总结**1.**符号一致**：多个一次函数图象（y=kx+b）在同一坐标系中，其k、b的符号应满足图象位置（如过象限）的一致性。2.**代入检验**：取满足其中一个图象的参数值，代入其他函数解析式，验证图象位置是否矛盾。**解题技巧**1.**先定范围**：根据一个图象的位置（如过一、二、四象限）确定参数的初步取值范围。2.**同步验证**：用该范围同时检验所有图象是否合理，排除矛盾情形。例2．（25-26七年级上·山东济南·期末）将一次函数与（、均不为0）的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数，当时，图象经过第一、二、三象限；当时，图象经过第一、三、四象限；当时，图象经过第一、二、四象限；当时，图象经过第二、三、四象限．分情况判断是否有图象符合要求即可．【详解】解：当时，，∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、三象限，A，B，C，D选项均不符合；当时，，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第二、四象限，A，B，C选项均不符合，D选项符合；当时，，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第二、四象限，A，B，C，D选项均不符合；当时，，∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，的图象经过第一、三象限，A，B，C，D选项均不符合；综上所述，它们的图象可能是D．故选：D．【变式2-1】（25-26八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键，先根据一次函数与坐标轴的交点排除A、B、C，进而可得出D正确．【详解】解：，一次函数过点．A、一次函数过点，由一次函数的图象可得，即，而正比例函数图象可得，不合题意；B、一次函数不过点，不合题意；C、一次函数不过点，不合题意；D、一次函数过点，由一次函数的图象可得，即，而正比例函数图象可得，符合题意．故选：D．【变式2-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号是关键．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案．【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意；B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意；C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意；D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意；故选：A【变式2-3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键．根据自变量的系数相同可排除C和D，再分析A和B即可得出答案．【详解】解：∵自变量的系数相同，∴两直线平行，故C和D不符合题意；A．由一次函数图象与y轴的正半轴相交得，由一次函数y随x的增大而减小得，矛盾，故A不符合题意；B．由正比例函数图象得，由一次函数图象得，故B符合题意．故选：B．类型三、一次函数与方程（组）、不等式**方法总结**1.**方程与函数**：一次函数y=kx+b的图象与x轴交点横坐标即方程kx+b=0的解。2.**不等式与函数**：函数图象在x轴上方部分对应kx+b>0的解集，下方部分对应kx+b<0的解集。**解题技巧**1.**数形结合**：画出函数图象，交点即方程解，上下位置即不等式解集。2.**联立方程组**：两图象交点坐标即对应二元一次方程组的解。例3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点．(1)求点P的坐标及的面积；(2)利用图象直接写出当时，x取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了一次函数图象与性质以及一次函数和一元一次不等式和二元一次方程组的关系，准确求出各点坐标是解题关键．（1）先分别求出点坐标，即可求解，然后联立两直线的表达式求出点，再由三角形面积公式求解的面积；（2）时，不等式的解集即为直线在直线下方时对应的取值范围．【详解】（1）解：把代入中得：，解得：，所以把代入中得：，解得：，所以，所以，联立与得，，解得，所以，所以；（2）解：因为，所以由图象可得当时，；【变式3-1】（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C．(1)求k，b的值；(2)关于x，y的方程组的解为；(3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长．【答案】(1)，(2)(3)3或9【分析】（1）依据题意，由直线与x轴交于点，则，可得k的值，又直线与y轴交于点，故，则，从而得解；（2）联立方程组，解方程组，进而可以得解；（3）根据直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，分两种情况求出结果即可．【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，∴，解得：，∵直线与y轴交于点，∴，解得：；（2）解：由题意，结合（1）联立方程组，解得：，∴方程组的解为．（3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，∴令，则；，则，故直线被，所截得的线段长为；令，则；，则，故直线被，所截得的线段长为；答：直线被，所截得的线段长为3或9．【变式3-2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点．(1)求一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出不等式的解集，(3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式．【答案】(1)．(2)．(3)．【分析】本题主要考查了一次函数的表达式求解、不等式的解集与函数图象的关系、点关于直线的对称以及直线表达式的求解，熟练掌握一次函数的性质、对称点的求法以及利用待定系数法求函数表达式是解题的关键．（1）先将点代入求出的值，再将点和点代入，解方程组求出、，从而得到一次函数表达式．（2）根据函数图象，不等式的解集是直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围．（3）先求出点的坐标，再利用几何性质求出点关于直线（即）的对称点，最后利用点和求出直线的表达式．【详解】（1）解：∵点在上，∴，∴．∵过和，∴，解得，∴一次函数表达式为．（2）解：函数的图象与一次函数的图象交于点，由图象可知，当时，直线在直线上方（含交点），∴不等式的解集为．（3）解：设点关于直线的对称点为点，直线交轴于点，∵与轴交于，∴．当时，，解得，∴，∴，∵，∴，∵点关于直线的对称点为点，∴，，∴，∵，，两点在轴上，且，∴点关于直线的对称点满足：，∴．∵直线过和，设直线的表达式为，∴，解得，∴直线的表达式为．【变式3-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与坐标轴交于，两点，与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点．(1)求，的值；(2)直接写出方程组的解为__________；(3)求的面积．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法的应用，直线交点与二元一次方程组的关系，坐标与图形性质等知识，熟知函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．（1）根据一次函数交点情况，将交点代入解析式，先求出，的值，进而求出的值，再将代入求解，即可求出的值；（2）直接根据（1）中求出的两直线交点坐标求解，即可解题；（3）根据一次函数与轴交点情况求出点，进而得到，再结合三角形面积公式求解，即可解题．【详解】（1）解：直线与坐标轴交于，，解得，与直线交于点，，即，，解得，直线，直线过点，，解得；（2）解：由（1）知两直线交点为，方程组的解为；故答案为：．（3）解：当时，有，解得，点坐标为，，，则的面积为．类型四、利用一次函数解决实际问题**方法总结**1.**建模列式**：分析问题，确定自变量与函数，根据已知条件建立一次函数关系式。2.**解模作答**：利用一次函数性质（增减性）求最值，结合实际意义（整数、范围）确定答案。**解题技巧**1.**列表审题**：用表格整理变量对应关系，避免漏掉隐含条件。2.**草图辅助**：画出函数草图，直观判断增减趋势和临界点。例4．（25-26八年级上·安徽六安·期末）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍．(1)求、两种道具包的单价；(2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答）【答案】(1)道具包的单价为元，道具包的单价为元；(2)购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元．【分析】（1）设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍为相等关系列出方程求解即可（2）设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，道具包的总采购价格道具包的总采购价格，进而根据学校预算不超过元，道具包数量不高于道具包数量的倍可得自变量的取值范围，那么根据函数的增减性和自变量的取值范围可得最低采购成本．【详解】（1）解：设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，，解得：，经检验：是原方程的解．∴．答：道具包的单价为元，道具包的单价为元；（2）解：设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，得：，∵，∴随的增大而减小，由题意得：，解得：，∴当时，最小，，∴．答：购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元．【变式4-1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离B地的距离与骑车时间的函数关系．(1)对应的函数表达式为_____，对应的函数表达式为_____；(2)求甲到达B地所用的时间；(3)求经过多少小时后两人相距．【答案】(1)，(2)甲到达B地用了小时(3)或小时【分析】本题考查了一次函数的表达式求解及一次函数的实际应用．（1）设的函数表达式为，的函数表达式为，结合图象利用待定系数法即可求得函数表达式；（2）甲到达B地时，离B地的距离，将代入的函数表达式即可求得x的值；（3）分两种情况讨论：两人相遇前相距，两人相遇后相距，根据不同的情况列方程求解x的值即可．【详解】（1）解：设的函数表达式为，由图可知，过点和，代入，得，解得，∴的函数表达式为，设的函数表达式为，由图可知，过点和，代入，得，解得，∴的函数表达式为，故答案为：，．（2）解：甲到达B地时，离B地的距离，对于的函数表达式，令，则：，解得，∴甲到达B地用了小时．（3）解：分两种情况讨论：情形一：两人相遇前相距10千米，则有，解得；情形二：两人相遇后相距10千米，则有，解得．【变式4-2】（25-26八年级上·安徽池州·期末）综合与实践砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题，已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表：AB购进成本价（元/千克）106【问题解决】(1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润；(2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润．【答案】(1)3600元(2)购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元【分析】本题考查的是一次函数的应用．（1）设甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的解析式为，再利用待定系数法求解即可．（2）先求解，设售完后可获得利润为元，得到，再利用函数性质求解即可．【详解】（1）解：由图象可知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系为一次函数，设其解析式为（），将点，代入，得，解得，卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系式为，当时，则，利润为，答：甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元；（2）解：设乙超市购进A种砀山梨m千克，则购进B种砀山梨千克，由题意得，解得，设售完后可获得利润为元，则，随m的增大而减少，当时，利润w取得最大值为（元），此时B种砀山梨数量为（千克），答：分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元．【变式4-3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）．已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍．(1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围；(2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元；(3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量．【答案】(1)(2)89.5元(3)【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程．（1）由题意列出不等式组即可求解；（2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可；（3）分和分别列出方程即可求解．【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为，由题意得，，解得，答：x的取值范围为．（2）解：∵，∴7月份的水费，∵，∴随增大而增大，∴当时，7月份的水费最多为（元）．答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元．（3）解：当时，该居民6月份用水量超过了，∴解得，不符合题意，舍去；当时，该居民6月份用水量未超过，∴，解得，答：该居民7月份的用水量为．类型五、一次函数与几何综合问题**方法总结**1.**坐标转化**：设几何图形中关键点坐标为含参数的函数表达式，利用几何条件（如距离、垂直、平行）列方程。2.**数形结合**：画出函数图象与几何图形，分析交点、临界位置，将几何关系转化为代数运算。**解题技巧**1.**分类讨论**：根据动点位置或图形形状变化，分情况讨论，避免漏解。2.**设参列式**：设动点坐标为(x,kx+b)，代入距离公式或面积公式列方程求解。例5．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．(1)求直线对应的函数表达式；(2)求的长；(3)P为直线上一点，，求点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，勾股定理的应用及三角形面积公式的运用．（1）利用待定系数法，将直线所过的两个点的坐标代入一次函数表达式，求解出函数表达式；（2）先根据勾股定理求出的长度，再利用折叠的性质得到相关线段的长度关系，通过设未知数，根据勾股定理列出方程求解的长；（3）设出点P的坐标，根据三角形面积公式列出方程，求解得到点P的坐标．【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：，∵直线交坐标轴于点，，∴，解得：，∴直线对应的函数表达式为：．（2）解：由题意可知：，，，∴，∵将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合，，，∴，设，则，在中，由勾股定理得，解得，即．（3）解：∵P在直线上，∴设，∵，∴，解得或，①当时，，②当时，，∴或．【变式5-1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点．(1)分别求点的坐标；(2)连接求的面积；(3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】本题考查了平面几何图形与一次函数的结合，图形面积的计算，等腰直角三角形的性质与存在性问题．熟悉求直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标的方法，利用坐标计算三角形的面积的方法，根据等腰直角三角形的性质，结合一次函数，全等三角形的知识，解决动点条件下的几何存在性问题的方法，是解题的关键．（1）根据长方形的性质和平行的性质，计算直线与坐标轴，直线与直线的交点坐标．（2）根据直线与坐标轴的交点坐标，利用割补法计算的面积．（3）设，过点作交所在直线于点，交所在直线于点，分①点在上方，②点在下方，两种情况讨论，通过证明，，得到对应线段相等，建立关于的一元一次方程，得到的值，继而得到点的坐标．【详解】（1）解：在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，，，轴，∵直线与交于点，与轴交于点，∴当时，，解得，当时，，，：（2）解：如图，令与轴的交点为，令，解得，，，，，；，，，，；（3）解：点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，∴设，如图，过点作交所在直线于点，交所在直线于点，①若点在上方，是等腰直角三角形，且，，，，，，在与中，，，，，，解得：，；②若点在下方，同理可证，，，，即，解得，，综上可知，点的坐标为或．【变式5-2】（25-26八年级上·四川达州·期末）如图1，已知直线：交x轴于，交y轴于．(1)求直线l的表达式；(2)如图2，直线的表达式为，点P为线段的中点，在直线上找一点Q，使得最小，并求出最小值；(3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求m的值．【答案】(1)(2)作点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小，最小值为(3)【分析】（1）把，代入，即可求解；（2）如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，设交于点，则点是的中点，先根据中点坐标公式求出点的坐标为，进而求出直线的表达式为，然后求出点的坐标为，设点的坐标为，根据两点之间的距离公式得出，，根据勾股定理，列出方程，求出的值，得出点的坐标为；先根据中点坐标公式求出点的坐标为，根据两点之间的距离公式求出的值，即可求解；（3）作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，根据等腰直角三角形的判定和性质推得，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得点的坐标为，待定系数法求出直线的表达式为．得出点的坐标，结合题意，列出方程，即可求出的值．【详解】（1）解：把，代入得：，解得：，故直线的表达式为．（2）解：如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，理由：，设交于点，则点是的中点，∵，，点为线段的中点，∴点的坐标为，把代入得：，解得：，∴直线的表达式为．令，则，解得：，即点的坐标为；则，设点的坐标为，则，，在中，，即，解得：或（不符合题意，舍去），故点的坐标为；又∵点是的中点，∴点的坐标为，∴；即最小值为．（3）解：作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，如图：则，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴在直线上，∵，，∴，，∴，∵，，，∴，∴，，∴点的坐标为，设直线的表达式为，将，代入，得，解得：，∴直线的表达式为．∵点在直线上，故当时，，即点的坐标为，∴，解得．【变式5-3】（25-26九年级上·广东·期末）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点．(1)求点E的坐标；(2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S；(3)在（2）的条件下，点M是射线上的一点，点N为平面内一点，当四边形是正方形时，请求出此时的t值与点M的坐标．【答案】(1)(2)(3)当时，；当时，【分析】（1）根据矩形性质得、，设表示出，在中利用勾股定理列方程求解x，进而求出的长度得到点E坐标。（2）分点P在E右侧（）和左侧（）两种情况，分别用t表示出和的长度，结合三角形面积公式列出S关于t的代数式。（3）根据正方形性质得出与全等，分Q点在上、Q点在延长线上两种情况，利用全等三角形对应边相等列方程求t值，再结合矩形边长计算出点M的坐标。【详解】（1）解：∵点，点，四边形为矩形，∴，，，设，则，在中，由勾股定理可得，即，解得，∴，∴点E的坐标为；（2）解：①如图，当点P在点E右侧时，根据题意知，，∴，∴；②如图，当点P在点E左侧时，根据题意知，，∴，∴，综上所述，；（3）解：若四边形PQMN是正方形时，则点P、M、Q三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论：①如图，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴；②如图，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，综上所述，若满足四边形是正方形，当时，；当时，．一、单选题1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）下列关于一次函数的叙述，结论正确的是（

）A．图象经过点 B．随的增大而减小C．图象经过第一、三、四象限 D．当时，【答案】C【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质逐一判断即可．【详解】解：∵一次函数中，，，∴图象经过第一、三、四象限，随的增大而增大，故选项B错误；C正确；∵当时，，∴图象不经过，选项A错误；∵当时，，随的增大而增大，∴当时，，选项D错误；故选：C．2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知，则一次函数和在同一坐标系内的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．先根据，排除A、D，再根据B、C，分“，”、“，”两种情况讨论，然后作出选择．【详解】解：∵，∴一次函数和的图象都不过原点，故A、D均错误；由B、C可知，两直线中一条交于y轴正半轴，另一条交于y轴负半轴，∴一次函数和中，m与n异号，情况1∶，，，，一次函数的图象经过第二、三、四象限，，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故C符合；情况2∶，，，，一次函数的图象经过第一、二、三象限，，，一次函数的图象经过第一、三、四象限，没有选项符合，故选：C．3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，将一个等腰直角三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（

）A．点A的坐标为B．的面积为16C．边所在直线的表达式为D．D点坐标为【答案】C【分析】由函数图象可知，当时，直线l经过点A，得，可得，可判断A；由函数图象可知：当时，直线l经过点C，，，得的面积：，可判断B；由，可得直线的解析式为，可判断C；由，得当l经过点C时，由，得，得，可判断D．【详解】解：A、令直线，解得：，∴点M的坐标为，∴，由函数图象可知：当时，直线l经过点A，∴，∴点A的坐标为，∴A错误；B、由函数图象可知：当时，直线l经过点C，∴，∴，∴点C的坐标为，∴，∴的面积：，∴B不正确；C、∵，∴，设直线的解析式为，则，解得，∴，∴C正确；D、∵，∴，直线l和x轴正方向的夹角为，∴，∵，∴当l经过点C时，，∴，∴D不正确；故选：C.【点睛】本题考查了一次函数与几何综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数的平移，等腰直角三角形性质，从函数图象获取信息的能力，勾股定理，坐标与图形性质是解题的关键．二、填空题4．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（填“”或“”）．【答案】【详解】解：∵在一次函数中，比例系数，∴随的增大而增大，又∵，∴．5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________．【答案】【分析】直接利用函数图象，结合，得出x的取值范围．【详解】解：∵交点坐标可知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方，∴不等式的解集为6．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为(单位：)，如图2是与引流时间x(单位∶s)的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为_____．【答案】3【分析】根据题意，得出当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等，都是，据此求出和的函数解析式，再进一步求出时两个函数值的差即可解决问题．【详解】解：由所给函数图象可知，当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等．∵初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水，∴时，两个杯子中的水面离杯底的高度都是．设，把代入得，解得，∴；同法可得：．∵当时，两个杯子中的水面离桌面高度相平，∴木垫的高度为∶．三、解答题7．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知和成正比，当时，．(1)求与的函数关系式；(2)当时，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，掌握知识点的应用是解题的关键．（）设，把当时，代入求出的值即可；（）将代入（）中函数解析式进而得出答案．【详解】（1）解：由题意设与的函数关系式为，把当时，代入得，解得：，∴与的函数关系式为；（2）解：当时，，∴的值为．8．（25-26九年级上·河南周口·期末）洛阳牡丹甲天下，洛阳的牡丹饼也深受广大消费者的喜爱．已知某品牌牡丹饼销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元．(1)求每盒A种牡丹饼和每盒B种牡丹饼的销售利润各为多少元；(2)春节期间，某经销商打算一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，请你帮该经销商设计一种进货方案，使销售总利润最大，并求出最大利润．【答案】(1)每盒A种牡丹饼的销售利润为15元，每盒B种牡丹饼的销售利润为30元；(2)当购进A种牡丹饼50盒，B种牡丹饼150盒时，销售总利润最大，最大利润为5250元【分析】（1）设每盒A种牡丹饼的销售利润为x元，每盒B种牡丹饼的销售利润为y元，根据销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元列二元一次方程组解答；（2）设总利润为w元，购进A种牡丹饼m盒，则购进B种牡丹饼盒．一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，列函数解析式解答．【详解】（1）解：（1）设每盒A种牡丹饼的销售利润为x元，每盒B种牡丹饼的销售利润为y元，根据题意，得，解得，答：每盒A种牡丹饼的销售利润为15元，每盒B种牡丹饼的销售利润为30元；（2）解：设总利润为w元，购进A种牡丹饼m盒，则购进B种牡丹饼盒．根据题意得，，∵B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，∴，，解得，，∴，m为整数，∵，∴w随m的增大而减小，∴当时，w最大，最大值为，则，答：当购进A种牡丹饼50盒，B种牡丹饼150盒时，销售总利润最大，最大利润为5250元．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，利润与售价和成本的关系，列二元一次方程组，列一次函数解析式，求一次函数最值，是解题的关键．9．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为．(1)当为何值时，为直角三角形？(2)点为坐标平面内一点，当为何值时，以点、、、为顶点的四边形为菱形，并写出此时点的坐标．【答案】(1)或(2)，时，，时，，时，以点、、、为顶点的四边形为菱形．【分析】本题考查了图形与坐标、一次函数的性质、勾股定理及菱形的性质，掌握菱形的性质及一次函数的性质是解题关键．（1）根据一次函数解析式得出，，分和两种情况，分别