2026年江苏省部编版高中数学必修第二册第5章同步练习题

2026年江苏省部编版高中数学必修第二册第5章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n-6B.2n-8C.3n-9D.3n-12解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4得2a_5=8，故a_3+a_7=8。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=8，解得a_1+4d=4。又a_5=a_1+4d=4，所以a_1=0，d=1。因此通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=n-1，化简得a_n=2n-2，选项A正确。2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的图像在x轴上相邻两个最高点的距离为π/2，且f(π/4)=1，则f(π/3)的值等于（）A.0B.1/2C.√2/2D.√3/2解析：相邻最高点距离为周期T/2=π/2，故T=π，ω=2。由f(π/4)=sin(2×π/4+φ)=1，得π/2+φ=2kπ+π/2，解得φ=2kπ。因|φ|<π/2，取k=0，φ=0。故f(x)=sin(2x)，f(π/3)=sin(2×π/3)=sin(2π/3)=√3/2，选项D正确。3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=√7，c=2，则cosB的值等于（）A.1/2B.1/3C.2/3D.3/4解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，代入a=3，b=√7，c=2得cosB=(3^2+2^2-7)/(2×3×2)=1/2，选项A正确。4.已知向量a=(1，2)，b=(3，-1)，则向量a+b的模长等于（）A.√10B.√13C.√15D.√17解析：a+b=(1+3，2-1)=(4，1)，模长|a+b|=√(4^2+1^2)=√17，选项D正确。5.在等比数列{b_n}中，已知b_1=2，b_4=16，则该数列的前4项和S_4等于（）A.30B.34C.38D.42解析：设公比为q，由b_4=b_1q^3得16=2q^3，解得q=2。故S_4=b_1(1-q^4)/(1-q)=2(1-2^4)/(1-2)=30，选项A正确。6.函数g(x)=log_2(x^2-2x+3)的定义域为（）A.(-∞，1)∪(1，+∞)B.[1，+∞)C.(-∞，-1)∪(1，+∞)D.R解析：由x^2-2x+3>0恒成立，判别式Δ=(-2)^2-4×1×3=-8<0，故定义域为R，选项D正确。7.已知直线l：x-y+1=0与圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.重合解析：圆心(1，-2)，半径r=√[(1)^2+(-2)^2+3]=√6。圆心到直线距离d=|1-(-2)+1|/√2=2√2。因d<r，故相交，选项A正确。8.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值等于（）A.1B.√2C.√3D.2解析：由正弦定理b=asinB/sinA=√3sin45°/sin60°=√3√2/(√3/2)=2，选项D正确。9.已知函数h(x)=tan(π/4-x)，则其最小正周期等于（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：tan(π/4-x)=-tan(x-π/4)，周期为π，选项A正确。10.在△ABC中，已知角A=30°，角B=60°，边a=2，则△ABC的面积S等于（）A.√3B.2√3C.4D.4√3解析：由正弦定理b=asinB/sinA=2sin60°/sin30°=2√3=2√3。面积S=1/2absinC=1/222√3sin30°=2√3，选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列的通项公式a_n等于________。解析：a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，故a_n=6n-5。2.函数f(x)=cos(2x-π/3)的图像关于y轴对称的函数解析式为________。解析：cos(2x-π/3)=sin(π/2-(2x-π/3))=sin(π/6-2x)，对称轴为x=π/4+kπ/2，故对称函数为cos(2x+π/3)。3.在△ABC中，已知角A=45°，角B=75°，边a=√2，则边c的值等于________。解析：角C=180°-45°-75°=60°。由正弦定理c=asinC/sinA=√2sin60°/sin45°=√2√3/(√2/2)=2√3。4.已知向量u=(2，k)，v=(1，-1)，若u⊥v，则实数k的值等于________。解析：u⊥v⟺u•v=0⟺2×1+k×(-1)=0⟺k=2。5.函数y=sin(x+π/6)cos(x-π/6)的最小正周期等于________。解析：y=sin(x+π/6)cos(x-π/6)=1/2[sin(2x)+sin(π/6-π/6)]=1/2sin(2x)，周期T=π/|ω|=π/2，故周期为π。6.已知圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为________。解析：圆心坐标为(-b/2a，-c/2a)，即(-(-4)/2，-6/2)=(2，-3)。7.在等比数列{b_n}中，已知b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q等于________。解析：b_4=b_2q^2⟺54=6q^2⟺q^2=9⟺q=3。8.函数g(x)=√(x^2+2x+3)的定义域为________。解析：x^2+2x+3≥0恒成立，判别式Δ=-8<0，故定义域为R。9.已知直线l：2x+y-1=0与圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0相切，则圆心到直线l的距离d等于________。解析：圆心(1，-2)，d=|2×1+1×(-2)-1|/√(2^2+1^2)=1/√5=√5/5。10.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=2，则△ABC的面积S等于________。解析：角C=180°-60°-45°=75°。由正弦定理b=asinB/sinA=2sin45°/sin60°=2√2/(√3/2)=4√6/3。面积S=1/2absinC=1/224√6/3sin75°=4√6/3√6/4=4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a_n是等差数列，b_n是等比数列，则{a_n+b_n}一定是等比数列。错误。反例：a_n=1，b_n=2^n，则a_n+b_n=1+2^n，既非等差也非等比。2.函数f(x)=sin(π/2-x)的图像与函数g(x)=cosx的图像完全重合。正确。sin(π/2-x)=cosx，图像相同。3.在△ABC中，若a^2+b^2=c^2，则△ABC一定是直角三角形。正确。满足勾股定理。4.若向量u=(1，k)与向量v=(k，1)共线，则实数k必须等于1。错误。共线需k^2=1，故k=±1。5.函数y=tan(2x+π/4)的图像关于原点对称。正确。tan(2x+π/4)=-tan(-2x-π/4)，原点对称。6.已知圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0的半径r等于√10。错误。半径r=√[(2)^2+(-3)^2+3]=√7。7.在等比数列{b_n}中，若b_3=8，b_5=32，则b_4=16。正确。b_5=b_3q^2⟺32=8q^2⟺q^2=4⟺q=2，故b_4=b_3q=8×2=16。8.函数y=cos^2(x)在[0，π]上是增函数。错误。cos^2(x)=1/2(1+cos(2x))，在[0，π/2]增，[π/2，π]减。9.已知直线l：x-y+1=0与圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0相交，则直线l必过圆心。错误。圆心(1，-2)不在直线上。10.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值等于√2。正确。由正弦定理b=asinB/sinA=√3sin45°/sin60°=√3√2/(√3/2)=√2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=4n^2-3n，求该数列的首项a_1和公差d。解：a_1=S_1=4×1^2-3×1=1。a_2=S_2-S_1=(4×2^2-3×2)-(4×1^2-3×1)=13-1=12。d=a_2-a_1=12-1=11。2.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像经过点(π/4，√3/2)，求实数k的值。解：f(π/4)=sin(2×π/4+π/3)=sin(π/2+π/3)=sin(5π/6)=√3/2。故2×π/4+π/3=2kπ+5π/6⟺k=1。3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=2√2，求边b和边c的长度。解：角C=180°-60°-45°=75°。b=asinB/sinA=2√2sin45°/sin60°=2√2√2/(√3/2)=8√3/3。c=asinC/sinA=2√2sin75°/sin60°=2√2(√6+√2)/(√3/2)=4(√6+√2)。4.已知向量u=(3，-1)，v=(1，2)，求向量u+v和u•v的值。解：u+v=(3+1，-1+2)=(4，1)。u•v=3×1+(-1)×2=3-2=1。5.函数g(x)=log_3(x^2-5x+6)的定义域为________。解：x^2-5x+6>0⟺(x-2)(x-3)>0⟺x∈(-∞，2)∪(3，+∞)。6.已知圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心到直线l：2x-y+1=0的距离等于________。解：圆心(2，-3)，d=|2×2-(-3)+1|/√(2^2+(-1)^2)=|7|/√5=7√5/5。7.在等比数列{b_n}中，已知b_1=1，b_3=8，求该数列的前5项和S_5。解：设公比为q，b_3=b_1q^2⟺8=1×q^2⟺q=2。S_5=b_1(1-q^5)/(1-q)=1×(1-2^5)/(1-2)=31。8.函数f(x)=tan(π/3-x)的图像关于________对称。解：tan(π/3-x)=-tan(x-π/3)，图像关于(π/9，0)对称。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=√3，求△ABC的面积S。解：角C=180°-60°-45°=75°。b=asinB/sinA=√3sin45°/sin60°=√3√2/(√3/2)=2√2。S=1/2absinC=1/2√32√2sin75°=√6(√6+√2)/4=3+√3。2.已知向量u=(1，k)，v=(2，-1)，若向量u+2v与向量u-3v垂直，求实数k的值。解：u+2v=(1+4，k-2)=(5，k-2)，u-3v=(1-6，k+3)=(-5，k+3)。垂直⟺(u+2v)•(u-3v)=0⟺5×(-5)+(k-2)×(k+3)=0⟺-25+k^2+k-6=0⟺k^2+k-31=0。解得k=√32-1/2或k=-√32-1/2。3.函数f(x)=sin(2x+π/4)在[0，π/4]上的最大值和最小值分别为________。解：x∈[0，π/4]⟺2x∈[0，π/2]⟺2x+π/4∈[π/4，3π/4]。sin(2x+π/4)在[π/4，π/2]增，在[π/2，3π/4]减。最大值sin(π/2)=1，最小值sin(π/4)=√2/2。4.已知圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心到直线l：3x+4y-5=0的距离等于________。解：圆心(2，-3)，d=|3×2+4×(-3)-5|/√(3^2+4^2)=|-7|/5=7/5。5.在等比数列{b_n}中，已知b_1=2，b_5=64，求该数列的公比q和通项公式b_n。解：b_5=b_1q^4⟺64=2q^4⟺q=2。b_n=2×2^(n-1)=2^n。6.函数g(x)=log_2(x^2-3x+2)在[1，+∞)上的单调性为________。解：x^2-3x+2=(x-1)(x-2)，在[1，2)减，在(2，+∞)增。log_2(x^2-3x+2)在[1，2)减，在(2，+∞)增。7.在△ABC中，已知角A=30°，角B=60°，边a=1，求边b和边c的长度。解：角C=180°-30°-60°=90°。b=asinB/sinA=1sin60°/sin30°=√3。c=asinC/sinA=1sin90°/sin30°=2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.A4.D5.A6.D7.A8.D9.A10.B解析：2.等差数列性质a_3+a_7=2a_5，a_5=4⟺a_1+4d=4。又a_1+2d+a_1+6d=8⟺2a_1+8d=8⟺a_1+4d=4。a_n=a_1+(n-1)d⟺a_n=4+(n-1)×2⟺a_n=2n-2，选项A正确。3.周期T/2=π/2⟺T=π⟺ω=2。f(π/4)=sin(2×π/4+φ)=1⟺sin(π/2+φ)=1⟺π/2+φ=2kπ+π/2⟺φ=2kπ。|φ|<π/2⟺k=0⟺φ=0。f(x)=sin(2x)，f(π/3)=sin(2×π/3)=sin(2π/3)=√3/2，选项D正确。4.余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=3^2+2^2-7)/(2×3×2)=1/2，选项A正确。5.|a+b|=√(4^2+1^2)=√17，选项D正确。6.b_4=b_1q^3⟺16=2q^3⟺q=2。S_4=b_1(1-q^4)/(1-q)=2(1-2^4)/(1-2)=30，选项A正确。7.x^