山东省济宁市2025-2026学年高一下学期7月期末考试 数学 含解析

山东济宁市2025-2026学年第二学期质量检测高一数学试题一、单选题1．样本数据3，3，4，5，6，7，7，8的第60百分位数为（

）A．4 B．5 C．6 D．72．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则4．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知六边形为正六边形，且，，则（

）A． B．C． D．6．已知10个样本数据，，…，均为正数，其方差为11，且，则这10个样本数据的平均数为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，且．，，若球O的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．在边长为2的正方形中，点M为正方形内切圆上任意一点，若将，，，四个向量任意分成两组和，则（

）A．1 B．4 C．0或1 D．0或4二、多选题9．设复数，则（

）A．B．C．D．若复数z是关于x的方程的根，则10．在中，内角所对的边分别为，若，，则（

）A． B．C． D．若为的重心，则11．已知正方体的棱长为1，以为球心，为半径的球面与平面的交线为L，点P为L上的动点，则（

）A．点到平面的距离为B．交线L的长度为C．的最大值为D．直线与平面所成角的正切值为三、填空题12．已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________.13．如图所示，某船在海面上航行至A处，测得山顶P的仰角为，由A前行500米至B处，测得山顶P的仰角为，沿着的方向继续前行500米至C处，测得山顶P的仰角为，则山顶P高于海面________米．14．已知是边长为2的等边三角形，点P是平面外的一点，，直线与平面所成的角为，则三棱锥体积的最大值是____．四、解答题15．已知复数．(1)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围；(2)若为纯虚数，复数满足，求的最小值．16．为提升旅游服务品质，某国家5A级人文景区开展游客满意度调查，现随机抽取100名游客开展满意度百分制打分，并依据评分结果绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求图中的值；(2)估计游客满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)若采用按比例分配的分层随机抽样方法，从满意度评分在和的游客中共抽取10人参加座谈，求满意度评分在和的游客应分别抽取多少人？17．在平面直角坐标系中，已知，，．(1)求；(2)若四边形是等腰梯形，且，求点D的坐标．18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．(1)求A；(2)若点D满足，，求的面积．(3)若P为内一点，且，，求的周长．19．如图所示，在四棱锥中，和都垂直于平面，，平面分别交侧棱，于点E，F，且平面．(1)证明：E为的中点；(2)已知点M为内（含边界）不与A，D重合的一点，且．（ⅰ）证明：平面平面；（ⅱ）若，求二面角的取值范围．参考答案1．C解析：首先将样本数据按从小到大排序：，可知样本容量，，则第60百分位数为排序后第5个数据，所以该组数据的第60百分位数为.2．B解析：已知，，且，因此，整理得，解得.3．D解析：对选项A，若，，则与的位置关系可能为平行、相交或异面，故A错误；对选项B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误；对选项C，若，，则可能平行于，也可能，故C错误；对选项D，由面面平行的推论可知，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，因此若，，则，故D正确.4．A解析：设，由，可得，．根据斜二测画法的规则，原图形中，，，，且．在中，，在中，．由正弦定理得．5．D解析：设正六边形的中心为，结合正六边形性质可得，，，，，所以，整理得，即，所以.6．C解析：设这10个样本数据的平均数为，样本容量.因为，所以，即.由于所有样本数据均为正数，因此平均数，故.7．A解析：

因为，，，所以，解得，所以，因此，外接圆圆心位于中点.同理，外接圆圆心位于中点.由此可知，外接球球心位于中点.因为球表面积为，设外接球半径为，所以，解得，所以，.以作为基底，分别记作，得，.所以.8．D解析：边长为的正方形，设内切圆圆心为原点，过点水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，如下图所示则点，，，，，正方形内切圆半径，则设点，，，，，两两分组，分类讨论，和，，则；和，，则；和，，则，综上所述四个向量任意分成两组，等于0或4，故选项D正确.9．BD解析：，则，A错误；，B正确；，C错误；，也是方程的根，根据韦达定理：两根之和：，两根之积：，，D正确.10．ACD解析：∵，，∴.由射影定理可知，∴，又，解得，故选项A正确.将，代入等式的右侧：右侧.∴，整理得，∵，∴，故选项B错误.，故选项C正确.∵为的重心，由重心的向量性质可得，∴.其中，，故，且已求得，代入得，∴，故选项D正确.11．ABD解析：对于A，因为正方体的棱长为1，所以，所以，设点到平面的距离为，则，因为，所以，得，所以A正确；对于B：球面以为球心，半径，球面与平面的交线为截面圆，设截面圆半径为，由勾股定理，代入计算：r2=交线就是整个截面圆，周长为：，所以B正确；对于C：因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，因为，平面，所以平面，设平面，由正方体的对称性可知点为正三角形的中心，设的中点为，则，所以，所以由选项B可知，以为半径的球面与平面的交线L恰好正三角形的内切圆，如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则,正三角形的内切圆方程为，设点，则，，所以，因为，所以的最大值为，所以C错误；对于D：直线与平面所成角为，由选项A知点到平面的距离为，由选项BC知点的轨迹为的内切圆，且，因为平面，平面，所以，所以，所以D正确.12．解析：圆锥侧面展开图是半圆，底面半径为1，圆锥底面周长是，则母线长为.则圆锥侧面积为.故答案为：.13．解析：由题意得，，，，，.设，则，，.因为，所以，所以，，解得.14．解析：是边长为2的等边三角形，，取的中点，连接，因为，且是的中点，所以，因为是等边三角形，且是的中点，所以，，，又平面，且，所以平面，因为平面，所以平面平面，且平面平面，过作于，因为平面，所以平面，所以与平面所成角就是，在中，，，由，得，即，当且仅当时，等号成立，所以，所以．15．(1)(2)解析：（1）由复数的几何意义可知，复数在复平面内对应点的坐标为，该点位于第三象限，所以，解得，故实数的取值范围是.（2）若复数为纯虚数，则，解得，此时，设，则，由可得，解得，故，故，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.16．(1)(2)(3)满意度评分在的游客应抽取人，在的游客应抽取人解析：（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，可得：，即，所以，解得.（2）根据频率分布直方图，各组的频率分别为：的频率为；的频率为；的频率为；的频率为；的频率为.估计游客满意度评分的平均数为：.所以，估计游客满意度评分的平均数为.（3）满意度评分在的频率为，则该区间内的游客人数为（人）.满意度评分在的频率为，则该区间内的游客人数为（人）.因为采用按比例分配的分层随机抽样方法，共抽取人，所以抽样比为.故满意度评分在的游客应抽取的人数为（人），满意度评分在的游客应抽取的人数为（人）.17．(1)(2)解析：（1），则，，.所以，因为向量夹角范围为，所以.（2）设，，，由得，与共线，故存在，使得，则，，所以，，即.又等腰梯形腰长相等，即，又，，，所以，整理得，解得或.当时，，与平行且相等，四边形为平行四边形，舍去；当时，，，符合等腰梯形条件.故的坐标为.18．(1)(2)(3)3解析：（1）因为，所以，，，所以.（2）因为，，所以在线段上.因为，所以解得..，，所以，所以.（3）因为，所以，设，，，，可知，所以.所以，因为，所以，所以，因为，所以.所以，所以，所以，所以.19．(1)证：因为平面，平面平面，平面，所以.因为平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以.四边形为平行四边形，故且，，所