2026 年人教版高二数学单元闯关测试卷

2026年人教版高二数学单元闯关测试卷班级：____姓名：____得分：____一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，则椭圆的焦距为（）A.4B.6C.8D.102.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{1}{2}$，则$\frac{b}{a}=$（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$3.椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点(0,3)，则椭圆的标准方程为（）A.$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$B.$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1$C.$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{5}=1$D.$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$4.椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$上一点P到左焦点的距离为6，则点P到右准线的距离为（）A.4B.5C.$\frac{16}{3}$D.$\frac{20}{3}$5.已知椭圆C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，直线l过椭圆C的右焦点F，且斜率为1，则直线l与椭圆C相交所得的弦长为（）A.$\frac{12}{7}$B.$\frac{24}{7}$C.12D.76.若椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则m的值为（）A.2B.8C.2或8D.以上都不对7.设F1，F2是椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积为（）A.4B.2C.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$8.椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过椭圆的上顶点A和右顶点B的直线与原点的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则椭圆C的方程为（）A.$\frac{x^2}{4}+y^2=1$B.$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$C.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$D.$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$二、多项选择题（本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）1.关于椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，下列结论正确的是（）A.长轴长为4B.焦距为2C.离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.右焦点坐标为$(\sqrt{2},0)$2.已知F1，F2是椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的两个焦点，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则这样的点P有（）个A.4B.6C.8D.103.设椭圆C：$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$的焦点在x轴上，其离心率e∈(0,1)，则实数m的可能取值为（）A.1B.2C.$\frac{1}{2}$D.3三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）1.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若∠F1PF2=60°，且|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率为______2.已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，过椭圆的中心作直线l与椭圆交于A，B两点，且|AF2|=3|BF2|（F2为椭圆的右焦点），则直线l的斜率为______3.若椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率的最小值为______四、解答大题（本题共4小题，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分7分）求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长为8，离心率为$\frac{3}{4}$，焦点在x轴上；（2）经过点(2,0)，且与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$有相同的焦点。16.（本题满分7分）已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点$(1,\frac{3}{2})$，求椭圆C的标准方程。17.（本题满分8分）设F1，F2分别是椭圆$\frac{x^2}{4}+y^2=1$的左、右焦点，A，B为椭圆上的两点，且AB过F1，求△ABF2的周长。18.（本题满分8分）已知椭圆$\frac{x^2}{2}+y^2=1$，过点A(2,1)作直线l与椭圆交于M，N两点，若A恰好是线段MN的中点，求直线l的方程。附加题（本题共2小题，共10分）1.（本题满分5分）已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，F1，F2为左右焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，S△PF1F2=√3，离心率e=1/2，求椭圆的标准方程。2.（本题满分5分）已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，过点Q(1,1)作一条直线与椭圆交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹方程。【参考答案+详细解析】一、单项选择题1.答案：C。解析：由椭圆方程知$a^2=25,b^2=9$，则$c^2=a^2-b^2=16$，$c=4$，焦距为$2c=8$。2.答案：B。解析：离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，故$c=\frac{a}{2}$，$b=\sqrt{a^2-c^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，则$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。3.答案：B。解析：焦点在y轴，故设方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$，焦距$2c=4$，$c=2$，过(0,3)，故$a=3$，$b^2=a^2-c^2=9-4=5$，方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1$。4.答案：C。解析：椭圆中$a=4$，左准线$x=-\frac{a^2}{c}=-\frac{16}{\sqrt{16-7}}=-\frac{16}{3}$，离心率$e=\frac{3}{4}$，P到左准线距离$d=\frac{|PF_左|}{e}=6\div\frac{3}{4}=8$，则P到右准线距离为$\frac{2a^2}{c}-d=\frac{16}{3}$。5.答案：B。解析：右焦点F(1,0)，直线l：$y=x-1$，联立椭圆方程得$7x^2-8x-8=0$，弦长$\sqrt{1+1^2}\cdot\sqrt{(x1+x2)^2-4x1x2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(\frac{8}{7})^2+\frac{32}{7}}=\frac{24}{7}$。6.答案：C。解析：分两种情况：焦点在x轴时，$m>4$，$e^2=\frac{m-4}{m}=\frac{1}{2}$，得$m=8$；焦点在y轴时，$0<m<4$，$e^2=\frac{4-m}{4}=\frac{1}{2}$，得$m=2$，故m=2或8。7.答案：A。解析：椭圆$a=3$，由$|PF1|+|PF2|=6$，$|PF1|∶|PF2|=2∶1$，得$|PF1|=4,|PF2|=2$，$c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，在△PF1F2中，由余弦定理$|F1F2|^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1||PF2|\cos∠F1PF2$，即$20=16+4-8\cos∠F1PF2$，得$\cos∠F1PF2=0$，故△PF1F2为直角三角形，面积$\frac{1}{2}\times4\times2=4$。8.答案：C。解析：离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故$c=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$b=\frac{a}{2}$，直线AB：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，距离$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{(\frac{1}{a})^2+(\frac{1}{b})^2}}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，代入$b=\frac{a}{2}$，解得$a=4,b=2$，方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。二、多项选择题1.答案：ACD。解析：椭圆$a=2,b=\sqrt{2},c=\sqrt{2}$，长轴长$2a=4$，焦距$2c=2\sqrt{2}$，离心率$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点$(\sqrt{2},0)$，故ACD正确，B错误。2.答案：BC。解析：椭圆$a=4,b=3,c=\sqrt{7}$，分两种直角情况：①∠P为直角，以F1F2为直径的圆与椭圆交点：圆方程$x^2+y^2=7$，联立椭圆方程得x=±$\frac{2\sqrt{11}}{7}$，共4个点；②∠F1或∠F2为直角，共4个点，合计8个；当P在短轴端点时，∠F1PF2最大，此时$\tan\frac{∠F1PF2}{2}=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{7}}{3}$，$\frac{∠F1PF2}{2}<45°$，故∠F1PF2<90°，无额外点，共8个，选BC。3.答案：AC。解析：焦点在x轴，故$a^2=2>b^2=m$，即$0<m<2$，选项中1和$\frac{1}{2}$符合，选AC。三、填空题1.答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$。解析：设|PF2|=t，则|PF1|=2t，由椭圆定义得$3t=2a$，t=$\frac{2a}{3}$，在△PF1F2中，由余弦定理：$(2c)^2=(2t)^2+t^2-2×2t×t×\cos60°$，代入t得$4c^2=5t^2-2t^2=3t^2$，即$4c^2=3×\frac{4a^2}{9}$，化简得$\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{3}$，故$e=\frac{\sqrt{3}}{3}$。2.答案：±$\frac{4}{5}$。解析：设A(x1,y1),B(-x1,-y1)，F2(3,0)，由|AF2|=3|BF2|，向量AF2=(3-x1,-y1)，BF2=(3+x1,y1)，得(3-x1,-y1)=3(3+x1,y1)，解得x1=-$\frac{3}{2}$,y1=±$\frac{8}{5}$，斜率k=$\frac{y1}{x1}$=±$\frac{4}{5}$。3.答案：$\frac{\sqrt{2}}{2}$。解析：设P(x0,y0)，由∠F1PF2=90°，得$\overrightarrow{PF1}·\overrightarrow{PF2}=0$，即$(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=0$，得$x0^2+y0^2=c^2$，又$y0^2=b^2-\frac{b^2}{a^2}x0^2$，代入得$x0^2+b^2-\frac{b^2}{a^2}x0^2=c^2$，解得$x0^2=\frac{a^2(c^2-b^2)}{c^2}$，因$x0^2∈[0,a^2]$，故$\frac{a^2(c^2-b^2)}{c^2}≥0$，即$c^2≥b^2$，$c^2≥a^2-c^2$，得$2c^2≥a^2$，$e≥\frac{\sqrt{2}}{2}$，故最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。四、解答大题1.解析：（1）长轴长2a=8，a=4，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，c=3，$b^2=a^2-c^2=16-9=7$，焦点在x轴，方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$；（2）椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$焦点在y轴，c²=9-4=5，所求椭圆过(2,0)，设方程为$\frac{y^2}{λ}+\frac{x^2}{4}=1$，代入(2,0)得λ=9，故方程为$\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}